Файл: Григоришин, И. Л. Моделирование электроннооптических систем на сетках сопротивлений.pdf

В электронной оптике наиболее распространены осе­ симметричные системы, в которых потенциал не зависит от азимутальной координаты и описывается двумерным уравнением

Рис. 1.6. Цилиндрическая сетка сопротивлений в сечениях 0=const (а) и z —const (6)

29

которое может быть решено на «плоской» сетке сопротив­ лений, полученной путем «вырезания» сектора из трех­ мерной сетки, построенной в цилиндрических координа­ тах. В этом случае конечно-разностные уравнения (1.40) не содержат членов с разностями по 0, a qu, « представ­ ляет собой заряд в элементарном объеме rhThzА0, где А0 может быть принято равным единице. Для приосевой об­ ласти элементарный объем равен &Qh2hz/8.

Расчет сопротивлений такой сетки, которая представ­ ляет собой проекцию объемной (рис. 1.6, а), выполняется по формулам (1.42), (1.44), а сопротивления на оси сим­ метрии

Таким образом, для моделирования осесимметричных электрониооптических систем можно применять сетку сопротивлений, ограниченную с одной стороны осью z. При выборе квадратной сетки с hr= h z= h из (1.42), (1.44) и (1.45) получаем следующие выражения для со­ противлений по направлениям z и г:

Осесимметричная сетка омических сопротивлений с квад­ ратной ячейкой изображена на рис. 1.7.

Зачастую задачи о поле, обладающем плоскопарал ­ лельной симметрией, удобнее формулировать и решать в полярной системе координат (г, 0 ) . Этот случай является

частным для рассмотренной выше трехмерной сетки в цилиндрических координатах. Так как потенциал не за­ висит от z, то задача может быть решена на полярной сет­ ке омических сопротивлений, изображенной на рис. 1.6, б, сопротивления которой рассчитываются по формулам (1.42), (1.43). При этом заряд qu., т (на единицу длины по оси z) должен вычисляться в элементарном объеме 2nkh2/M, а в центре — в объеме 7th2/4.

Существует класс задач, в которых приосевая область исключается из рассмотрения. В частности, такое поло­

30

жение возникает при исследовании электроннооптических систем, протяженных в радиальном направлении (так на­ зываемых трансаксиальных систем [56, 57, 67, 75]), в которых электронный поток имеет форму диска. В прин­ ципе для этой цели пригодны и обычные осесимметрич­ ные сетки, однако некоторые особенности трансаксиаль­ ных систем привели к необходимости создания спе­ циализированных осесимметричных сеток омических сопротивлений. Прежде всего это связано с наличием в

траисаксиальных системах центрального электрода, и по­ этому приосевая, порой весьма значительная область осесимметричной сетки оказывается бесполезной. Кроме того, в таких системах радиальная составляющая гра­ диента потенциала, как правило, имеет наибольшее зна­ чение при малых радиусах и убывает с увеличением ра­ диуса. Если сетка построена с постоянным шагом в радиальном направлении, то вблизи оси точность моде­ лирования ниже, чем на периферии, где обычно требова­ ния к точности невысоки. Поэтому для моделирования трансаксиальных систем целесообразно применять сетку с нарастающим в радиальном направлении шагом. Для

31

моделирования траисаксиальных систем была построена сетка сопротивлений в координатах

0 = 0,

где а — некоторый фиксированный радиус (например, минимальный радиальный размер исследуемой системы). Уравнение (1.39) принимает вид

=— р(х, 0, у).

Вконечно-разностном выражении (1.20) коэффициен­

лярной и осесимметричной сеткам, аналогичным рассмот­ ренным выше.

Отличительной особенностью таких сеток является то, что для их построения требуется малое количество номи­ налов сопротивлений. В осесимметричной сетке все сопро­

= R0h y2 e~2khx /^.Абсолютное значение радиального шага такой сетки hT~ rh x.

32

Исходными данными для построения «трансаксиаль­ ной» сетки являются относительные размеры исследуемой области в радиальном направлении. Если а и Ъ— соответ­ ственно минимальный и максимальный радиусы области, а сетка имеет k шагов по направлению х, то шаг Их нахо­ дим как

Интересная возможность открывается при построении в координатах (1.47) полярной сетки. Из (1.48) следует, что все азимутальные сопротивления равны, т. е.

окружности), то из (1.49) и (1.50) получается условие

ная квадратная сетка равных сопротивлений (см. рис. 1.3) может рассматриваться как полярная и с успехом исполь­ зоваться для моделирования систем, анализ которых удобнее выполнять в полярной системе координат.

Рассмотренные сетки сопротивлений построены в де­ картовой и цилиндрической системах координат так, что линии разностной сетки совпадают с координатными ли­ ниями соответствующей системы. Аналогичным образом могут быть построены сетки в любых ортогональных ко­ ординатах. В принципе может быть использована разно­ стная сетка с произвольной конфигурацией ячеек и полученные конечно-разностные формы затем использо­ ваны для построения сеток омических сопротивлений. Известны сетки треугольные, диагональные, шестигран­ ные и т. д. [14, 35, 48], которые обладают определенны­ ми достоинствами. Так, треугольные и диагональные сетки обеспечивают более высокую по сравнению с пря­ моугольными точность аппроксимации частных произ­ водных. Однако подобные сетки не нашли широкого при­ менения ввиду неудобства последующего использования получаемых результатов и усложнения конструкции сеток.

§ 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА СЕТКЕ ОМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Дискретность проводящей среды сетки сопротивлений обусловливает некоторые особенности задания граничных условий. Это относится прежде всего к заданию на сетке сопротивлений контуров электродов электроинооптпческой системы. Поскольку доступными для коммутации являются только узловые точки сетки, то значения по­ тенциальной функции •или ее нормальной производной могут быть заданы лишь в этих узловых точках.

Для определения геометрического места точек, соот­ ветствующего на сетке сопротивлений контурам электро­ дов, вычертим в некотором масштабе сечение электроинооптнческой системы и покроем ее разностной сеткой, геометрически подобной сетке сопротивлений. Для про­ стоты выберем электроннооптическую систему, обладаю­ щую плоскопараллельной пли осевой симметрией и до­ пускающую, таким образом, рассмотрение задачи о по­ тенциале на плоскости. Пересечение линий разностной сетки с граничным контуром чертежа системы определяет точки, в которых на сетке сопротивлений должны быть за­ даны соответствующие граничные условия. Если линия контура совпадает с узловыми точками сетки (например, точки 0, 1,2, 3 на рис. 1. 8, а), то граничные условия реа­ лизуются заданием соответствующих напряжений и или токов / в эти узловые точки. Но не всегда узловые точки сетки совпадают с границей моделируемой области. При криволинейных границах ограничивающая рассматривае­ мую область линия может пересекать линии разностной сетки между узловыми точками (точки 4, 5 па Г р) . Аппро­ ксимация гладкой линии граничного контура ломаной, проходящей через близлежащие узловые точки сетки, до­ пустима лишь на «густой» сетке. Однако е любом случае при этом неизбежна погрешность. Для достижения бо­ лее высокой точности воспроизведения граничного кон­ тура чаще всего применяется один из следующих методов исправления границ. Первый из них (метод Коллатца [63]) состоит в том, что гладкая линия контура аппрок­ симируется ступенчатой (штриховая линия Г' на рис. 1.8, б), но потенциалы в ближайших к границе внешних узло­

соответствовал заданному. При этом предполагается, что

34