Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

дг

(3 .6 .1 0 )

где

О.

-

коэффициенты разложения функции

, Я )

по яо.аароз&нкым сферическим функциям.

Гакям обрааой!,сумма квадратов всех коэффициентов разложения

тесно связана со средним квадратом заданной на сфере функции.

Равенство

(3 .6 .1 0 )

есть обобщение теоремы Пифагора дня бесконеч­

номерного

пространства.

Важный вывод этого параграфа состоит также в

том, что аппрок­

симация ( 3 .6 .3 ) ,

осуществленная интегральным методом наименьших

квадратов,

дает

как раз сумму первых членов ряда Лапласа.

Заметим,

что

на практике функция

4 ( & ,

Л )

задана,

как

правило,

не как непрерывная функция сферической поверхности,

а как функция множества дискретных точек,неравномерно

покрыва­

ющих сферу.

При этом вычисление по формулам типа

(3 .6 .7 ) сводит­

ся к

численному

интегрированию по

специально

разработанным

схемам. Эти вопросыотносятся к

так

называемому

численному

(практическому) сферическому гармоническому анализу, и мы не

можем сейчас заниматься этими вычислительными схемами.

Отметим еще, что если заданная на сфере функция не зависит

от долготы

Ji

,

то ее

разложение

осуществляется не по функ­

циям Лапласа

( 3 .4 .2 ) ,

а по полиномам Лежандра.

Действительно,

поскольку

от

Л

ничего

не

зависит,

то

надо

в ( 3 .3 .1 ) положить все

А

ПJ\

и В

„

= О для к = I ,

2 ,

3 , . . .

itК

-

56 -

и лишь A nQ ^ 0.

Поэтому

будем иметь:

i ( В ) - ^

(ссг) & ) /

(3 .7 .1 )

(Пример

такого рода мы уже имели в

§5, гл.П , с т

р .3 5 ). Мы

убедимся в

этом в последующих главах,

относящихся к

приложениям

сферических

функций к задачам математической физики.

Пусть

£1

-

произвольное

тело (линейное, плоское

или пространственное

-

неважно), а

л/ (x j у', z ' ) - его

т е -

-

57 -

кущая точка,

в которое сосредоточена элементарная притягивающая

масса

d ж.

. Обозначим непрерывную функцию точкк

V

, описв-

ващую плотность масс тела

Q

через

S

(ж',

у', г '

).

Очевидно,

что

cL*

- 8(х,у,'г‘) -cCS2,

(4 .1 .1.)

Пусть теперь М(х, у,

г )

-

некоторая фиксированная точка про­

странства.

Тогда потенциал

\/ (И)

в этой точке может быть най­

ден по формуле

V (x .

*

(4.1.2)

Л

еде

Z-

- расстояние между точками

N и И,

т.е.

т г

г

; 1

Если перейти к сферическим

координатам

X =f>tibeccrtZ ,

х '= р ‘ь.к<9'ь4%'

у -р u-*e;-u-*xj

2=pbri6>;

Z'

то по теореме косинусов из

•2.1 = p i +р '" - г р р ‘'

V

,

где

У

есть угол между

векто­

рами ОЙи 0 w и потому

у ' ■=

^

Q. Содв'+

в' £*>*■&■ Lob^fl- /I )_

р р

Итак,

подынтегральная функция в (4.1.2) есть

-

58 -

~Z =

f>"' '

P'O** y)

P

^ P

T S Z

~p^■«

£ ( f ^

^

p

< ? ' . (4Л.З)

»•**

•

VH(?> в>я) -2 -

Jp'

^ ^

(4.1.4)

у? 1<

*•**

о

«

Я

*=

? ■

Изменяющийся в процессе интегрирования угол

У '

отсчитыва­

етея всегда от фиксированного направления ОМ (

<5,

Я ).

Подчеркнем, что здесь Рл (соЧ Y

)

есть полином Лежандра

для каждой фиксированной точки

Л/

(когда можно предположить,

что ось Z

проходит через точку л/

).

Но поскольку точка

/V

.пробегает" все положения в теле

-Q

, то Р«.

(соЧ>

Y )

есть,

конечно,

функция точки

л/

(

р'

,

&'

,

Л

) ,

при­

чем,

согласно теореме сложения (3.2.1)

именно сферическая функ­

ция

п. -ой степени. Поэтому интегрирование в (4.1.4)

приведет

снова к некоторым сферическим функциям той же степени

гь .

Обозначим их через Х„(

9 , Я )

и У„( в ,

я

) ,

т.е.

JP

Р„ (ил у ) ot>и

=

Л)

(4.1.5)

л

S

= У. <4 A)

j° <_P.

- 6 0 -

к точкам М, не принадлежащим телу

Q

Итак, ш доказали очень важное и общее положение, которое

сформулируем, в заключении, в виде творены.

Теорема 4 .I .I .

Потенциал

VM

произвольного тела Q

как функция произвольное точки пространства М( р ,

в , л )• не

принадлежащей телу

-О

,

всегда может быть представлен в ви­

да сумм рада, составленного из паровых функций

или •/>"

я )

:

от

VH ~ 2 L

при

р ' < р

( 4 .1 .8 )

•*

Для всех точек М, длина радиуса-вектора

jp

которых пре­

v H - i р ~ у„ & л )

• пр" р “ р '

( 4 л - й

и»*»

ничивавшей тело

&

. Входящие сюда сферические функции

( 4 .1 .5 )

находятся по формулам ( 4 . 1 . 6 ) , коэффициенты в которых

суть ( 4 .1 .7 ) .

Таким образом,

с

помощью сферических функций можно всегда

описать потенциал.совершенно произвольного тела

-Q

, отнюдь

не обязательно представляющего из себя шар. Причем, что очень

важно,

форма этого

тела и распределение масс в

нем (

cl *w. =*

-

г ) d Q

) отражается только ка коэффициентах

( 4 .1 .7 ) . Конечно,

непосредственное разложение (4 .1 .8 )

осуздествля-