Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

j a . p j . w - d )

+ о .

-f

О к (^0)

Qo

ведь

очевцдво, что

есть доливом К-ой степ е-

вж, прочем К ^

П, .

Поэтому

в силу следствия 2 из теорем» 2 .5 .1 ,

обязательно

К ш п,

, а

это и означает, что все

П,

корней Р *. (

0 ) дей­

ствительные и лежат в интервале

( - 1 ,

I ) .

Их симметрия относи­

тельно 0 непосредственно вытекает из

того ,

что

Р*.

( 0 )

есть

всегд а функция либо четная

(если

п,

четно), либо нечетная.

Теорема полностью доказана.

Иллюстрацией может

служить

рис. 2 .

Следствие

I .

Полиномы Лежандра относительно

co-s 6

, т . е .

Р ^

(с о *>9 } ,

заданные на поверхности единичной сферы,

обращают­

ся

в 0

на

УЪ

различных параллелях,

симметрично располо­

поверхность на

гг +

I зону.

Внутри этих зон P*. (cod 9

)

попе­

ременно принимает положительные и отрицательные значения (см .

рис.З для полинома Р^

( с о 5 9

) 4-ой степени).

По этой причине

t *

(со^

0

) часто

называ­

ют зональными сферическими

функциями.

Доказательство

сразу

следует из теоремы 2 . 5 . 2 ,

если вернуться к нашей ста­

рой переменной c o i

&

= д

Теорема 2 .5 .3 .

Полино­

мы Лежандра Р

( 0

)

явля­

ются коэффициентами разло-

-

33 -

_

f O

,

o r )

■ fi+ °c

- г

oLi?

где

o( -

параметр, в

степенной ряд по степеням параметра о(

в

окрестности

его нулевого

значения,

т .е . справедливо

равенство

=

р » о ) .

(2 .5 .2 )

Справедливость этой формулы проверяется непосредственно.

Можно доказать, что ряд ( 2 .5 .2 ) сходится при

|\) |

<

I абсо­

лютно и равномерно, если

|<*'| <

I . Левую часть (2 .5 .2 )

называют

производящей функцией полиномов Лежандра.

Полезно

неравенство:

,----- гг----------,

*

( 2 .5 .3 )

ИЗ котрого

ВИДНОк ЧТО при

И.

оо

,Р „. ( 0 )

0

как

(цри фиксированном

\)

) . Поэтому, если в ряде

( 2 .5 .2 )

ограничиться конечной

суммой из

т,

членов, т .е .

ri

+

-

2 ы . ^ у г

~

^

<*"■ р ^ ( 1 / ;.

О

И я С

N

т.

-го

то погрешность легко оценить. Действительно, сумма

остатка

,5?

«о

Т. К*. j p . M h I

= Z - с*" - l i f t ) < 2 L <*

Но

ы

— /— с<

как

суш а

бесконечно

убывающей геометри-

ческой

прогрессии со

знаменателем

р<| < I .

Таким образом, погрешность замены суммы ряда суммой конечного

числа

i-vl

членов

(О,

I ,

2 , . . . ,

п-а, - I)

не превышает вели­

чины

ex'

Л.

^

I - сх

( 2 .5 .4 )

Рассмотрим в заключение важный пример использования полиномов

Лежандра в

теории потенциала.

сы (см .

р и с.4) и пусть М

{ р , в ,

Л )

- текущая точка простран­

ст в а , имевдая сферические

координаты

&

причем

эта точка; может находить­

ся и внутри единичной сфе­

ры

( р <

I ) ,

и вне

ее

( Р

> I ) . Значение потен­

циала

V

в

т.М за ­

висит

лишь

от расстояния

}л/ ля [ =

7р

ж оп­

ределяется

величиной

V .

=

I

Z* '

' м

Из треугольника Oi^M по

теореме косинусов

имеем

Поэтому

/

V ,

I + р * - г . р

соР бГ .

( 2 .5 .5 )

\J

Сравнивая это с левой

частью

( 2 . 5 . 2 ) , узнаем в

выражении

( 2 .5 .5 )

производящую функцию полиномов Лежандра

(достаточно поло­

жить, как всегд а , c o i &

= \)

) .

Поэтому на основании ( 2 .5 .2 ) имеем:

VM= Z.' Р* £

(2*5*6)

и -о

ю т к

единичной сфере точек. Действительно,

при

р

>

I формулу

( 2 .5 .5 )

можно записать так

У

.—

/

I

I

О

ГГ

' •-

-

i

^ ( 2 .5 . *7)

м

V

! 1- р i - гр<*>1&

0?д9

J

у /

/

'“«2 р

и, принимая з а параметр теперь

- L -

I ,

снова обращаемся к

sP

р

>

( 2 . 5 . 2 ) .

В результате для точек Ы,

у которых

I ,

получаем

V»

= 2 ^

( и * 9 ) ,

( 2 .5 .8 )

Каждый член этого рада,

как и

следовало

ожидать, ,( т .к . VM-•

_ _L~

—*■ о

при

р

—-

«о

)

стремится

к

нулю при неограни­

ченном увеличении

р

Результаты ( 2 .5 .6 )

и (2 .5 .8 )

легко обобщить для

сфере любого

радиуса

R . Для этого

надо

будет

только

в

выражении

v;

I

/

Г

y/k W

5"

- г

р

'

выносить из-под знака радикала

или

°°

р

FL (ил&J *г-ли' Р ^ • ( 2 .5 .9 )

V ” = ^

Т Г

За параметр принималось отношение

Р / В_.

Vr< = 2 1

7

.

при

p

*

R.

( 2 .5 .1 0 )

>■»*•-

Здесь

за параметр принималось отношение

р Р р

. По формуле

( 2 .5 .4 )

можно оценить погрешности замены

Рм

суммой

конечного числа слагаемых.

Если точка М лежит на самой поверхности сферы (

р

= R .) ,

то , как

непосредственно

видно

из

рис.

4,

у м ~ с

______L

г и- so .г Я г

Предел каждого члена разложений (2 .5 .9 )

и

(2 .5 .1 0 )

при

Р

R слева и справа один и тот же

и потому можно

получить,

кстати ,

суг.му рада,

членами которого

являются по­

линомы Лежандра:

г и

-§-

f?=7

м‘°

( 2 . 5 . I I )

n jrn -

р — R- ,

т .е .

(

(2 .5 .1 2 )

Z .

=

Полученное сейчас соотношение

(2 .5 .1 2 ) интересно

как результат

ношения к рассматриваемому

примеру. Конечной целью примера явля­

ются формулы (2 .5 .9 )

и

( 2 .5 .1 0 ) , дающие разложение потенциала

точечной массы, расположенной на оси

2

, для любой точки

пространства. Подчеркнем, что важен именно тот факт, что притя­

гивающая точечная масса расположена на оси

2

. Участвующие

в наших рассуждениях сферы радиуса

I

или В,

играют лишь роль раз­

деления всего пространства на две

части - внутри

сфер! и вне ее -

для каждой из которой предназначена специальная формула (2 .5 .9 )

или

( 2 .5 .1 0 ) , причем ясно,

конечно, что само

значение Цможно

выбирать произвольно.

Важность же расположения притягивающей точечной массы на оси

I?

обусловлена тем,

что

при этом потенциал любой точки про­

странства И ( р ,

в

,

Л )

не зависит

от долготы

Л

этой

точки.

Вообще следует

иметь ввиду, что полиномы Лежаццра появляются

в разложении

потенциала во всех тех случаях, когда поле притяже­

ния обладает

осевой симметрией относительно оси

з?

. В спра-

ведаивсмжи этого

мы пока убедились лишь на примере функции VM

специального

вида

( 2 .5 .5 ) .