Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

§1. Свойства ортогональности

сферические

функций

Мы уже видели при доказательстве

теоремы 2 .5 .1 , что полиномы

Лежандра Р 0

( ^ ) ,

Р ,

( J

( ^

) ,

. . . ,

Рп. (■) ) , . . . образуют

ортогональную систему

на отрезке

[ —I , I j

. Оказывается, что т а -

югми же свойствами обладают и присоединенные функщи Лежандра

( 0 )

(см.

гл.П , § 3 ).

Ш не будем этого доказывать, но саму

ная)

система функций на отрезке

( - 1 ,1 ) ,

т .е .

1

ПН. "4=ITL,

P

f r o j -

Л

)i

(*■

О

J

ЗП.ч-1 fH -le-Jj

УН« Ух.

- 1

Для удобства дальнейшего изложения будем обозначать все

2 п

+ I

основные

сферические функции двух переменных

В , Л

с помощью одной буквы

С%.£ ,

гд е

£

=

0 ,

I ,

2 ,

. . . . , 2

гь .

Тогда,

очевидно,

З ле. = Р^е,(^ ) ■

,

если

С < >ъ

,и

= P j e

Л ,

если

£

>

г ъ

Таюш образом,будем полагать, что

Зие.

~

PJ

C'C’"J

*=- Л

(ъ .1 .г )

~ P i

^ Л

С > п. ,

£ - П-’

Индекс

tt называется степенью функции

/5 и е

• индекс

fc

-

порядком ее .

Теорема 3 .1 .2 . Все

множество основных сферических функий

З ч£. >

соответствующих обозначениям

( 3 . 1 . 2 ) ,

гъ

= О,

I ,

2 , з ,

f •••

£

-

Q, X, 2 , . . . ,

|

гъ +

I ,

•••» 2

г ъ ,

отлича­

ющихся друг от друга хотя бы одним соответствующим индексом

(

*г-

или

£

) ,

представляет

собой

систему

ортогональных

(но не

нормированных) функций на поверхности

Q

единичной

сферы,

т .е .

„-.'О h.-f-я-,..

■ J * '

3 х

- o L u = ■

£■~Ф

е с . ^

л

2п+- i

j

*=у,

*

и,

gf.£

где

д к

=

I

при всех К >

0

и лишь при К =

0 надо положить

S. =2.

Лия доказательства

заметим,

что при переходе от участвующего

здесь поверхностного интеграла I -го

рода к

двойномуинтегралу

№ получим в качестве области интегрирования прямоугольную

плоскую область

»), Я

£ 3

Г -I,

+1;

0 ,2 it I

.

Раздели?

L

**

переменные,

щ придем к произведена;-,

двух определенных интегралов

типа

г

J р.T C V - K ' V o j d J

И

2тг

jrr

I Со1 £л •.'Лл'р Л ■!‘d.

,|

6 Г* ■V2н.

/£ •г/ у? .

V

—f ' с

ПозтомУ, если

£

*

^ .

ТО

/-*

-

0

в силу ортогоиал;.-

НОСТИ 00 5 С л

и

Л

или

б". и. £

УТ?

И

3 « ^

Л

на

отрезке

[О ,

2 п ] .

Кеди же

^

=

,

но

(7..

i

П-Ч.

,

?0

=-

0

в

силу

( 2 .1 .1 ) .

Если яе

н.

-

л

(

-

и

.

то обычное интегрирование приводит к значению

ЗЛ

» приве­

денное в формулировке теоремы.

-

39 -

Теорема 3 .1 .3 . Бесконечная последовательность

произвольных

сферических функций двух переменных

L L ^ (& , Я )

различных

степеней

ГЬ

:

LCP ( Q, Я )

,

LCI (&,

Я ) ,

.

. .

,

*.£& ,

Я )

г

• -

•

образует на поверхности единичной сферы

J 7

ортогональную

(но

не

нормированную)систему функций, т .е .

О .

»-и -ф

Si

2тт

j r о

„

Р

(t' + к-Л

где

К

=

L

, если

.£ *г о .

и К =

£

^

,

если 6 > п ,

а

8^

=

I

при всех

К >

О,

кроме К =

0 ,

когда

S .

= 2.

Доказательство. Действительно, ведь всякая сферическая функ­

ция

п.

-ой

степени

Лс ^

(

О f

Я

) может быть пред­

ставлена

в

силу

теоремы 2 .3 Л

в

виде линейной комбинации 2 tz + 1

основных сферических функций

( 3 .1 .2 ) , т .е .

'■

* **•

(в. я ).

(в,я.) = eZ--s.£«• З-г

(3 .1 .3 )

Аналогично

U.^. (в, Я) = Z-

я ) ,

( 3 .1 .3 )

ние. Теорема доказана.

Заметим липь для установления связи записи (3 .1 .3 )

с

более

распространенной записью

( 2 .3 .4 ) , что

CZ-~e = Аик

при

i .<

Хи

,

причем К принимается равным

б

:

К =

б

и

(2-„с

=

В

при

с

> rt , но только

теперь К =

С - П. .

Некоторых разъяснений

требует случай

^

=

kv7_

.

При

-

40

-

личными, т .е .

они вправе иметь различные коэффициенты

й -хе

и

в разложении по основным сферическим функциям

( 3 .1 .3 )

и

( 3 . 1 .3f). Если же вычислить

интеграл

от квадрата одной и той же

сферической функции степени

гь

то

получим

а .)с С Л

Z 7Г

С*-* <<■)!

=

Если в (3 .1 .3 ) использовать

нормированные основные

сферические

функции

я )= Z .

( 9‘ # )

где

С-*о

2тг-5Х

(и + U.)!

'J "e- >

То

J U'-l®’

Сс^е. .

л

§2. Теорема сложения для сферических функций

До сих пор мы обычно разграничивали понятия сферических функ­

ций и основных сферических функций.

Такое разграничение

полезно

в рассуждениях, и мы впредь

его будем придерживаться. Однако сле­

дует иметь в виду, что существенных различий между упомянутыми

понятиями нет и все зависит от используемой системы координат.

Действительно, пусть ось

Z

проходит через

точку

еди­

ничной сферы

А/

так ,

как показано на

р и с.1 ,

ст р .1 7

,

М (

б , Л )

-

текущая точка

сферической поверхности,

a

(М)

-

- некоторая

сферическая функция степени

п*

этой точки.

Тогда, как мы уже знаем,

/

(М) можно разложить на 2 п,

+ I

основ­

ные сферические функции, причем одной из основных сферических функ

ций будет Р w

( <-ал & ) .

/у/ удобно

называть

полюсом разложе­

ния (по сферическим функциям).

Пусть теперь система ОХУ2

повернута так ,

что

новая ось

аппликат О Z '

проходит

через

точку

/V 1 ( б \

я '

) ,

где

в ' ,

Л

- координаты т .

л / 1

в старой системе. Другими слова­

ми,

пусть теперь полюсом разложения служит новая точка

Я/'