Файл: Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета.pdf

единичных векторов

ОМ и О N ,

проекции которых определяются с

помощью формул

( 2 .3 .1 )

) .

Заметам в заключение, что формулу

( 3 .2 .1 )

можно переписать

в виде

Р, ( ^

y )

= 2 Z L

fm .- к .) !

6)' teb lc

л ■p j YcpI O'J-

6к(ь+ «)!

■ооЛ ic. Л.'

■*- Z

Р 1

~ ^ ' ■

e/>'

л

'

(3 ‘ 2 *2)

У— ЬкРи+и-)\

Кы>

'

J

откуда видна полная симметрия Р «. (

У

) в

отношении обеих

групп переменных (

& , Л ) и

( &' ,

Л' ) : каждый из

членов сум­

мы есть произведение основной сферической функции аргументов

&

и

Л

на такую же основную сферическую функцию аргу­

ментов

О

и

Л ' .

Р , С^> у ) -

г У * - ь - ) .‘

Л\ -

Я ') .

д ^ /и + k-j!

4 n - i

Если же пользоваться нормированными

.

рическими основными функ­

циями,

то:

/ г,-

^

Р „ Г и > $ у ) *

А л )'

Л ‘)

Теорема 3 .3 ,1 . Пусть

f (

& , / } ) есть произвольная

функция двух переменных,

заданная

на поверхности единичной сферы

прямоугольной области

[0,ТГ;

0 ,2 П ]

и учитывая,

что

при этом

сЮ . —

&- d-& ■d

Л

, мы получим A nv из

( 3 .3 .2 ) .

Аналогичные рассуждения с использованием в качестве сомножи­

теля

{ се4.&

) ■-К и .

1с.Д

приводят к

.формуле для В

из

( 3 .3 .2 ) .

Теорема доказала.

§4.

Явный вид членов ряда

Лапласа

В предыдущем параграфе мы обсуждали разложение

заданной

на сфере функции

f

(

6

,

Л )

в

ряд по

сферическим функциям

и ® у ~ л ) = Z . u ^ ( q, r X

(3 .4 .1 )

И~е>

Поскольку

каждая сферическая функция

UC „ (

9 ,

Я

) может

ких функций, то задача наша сводилась к

нахождению коэффициентов

А nR и В ч к

в этих линейных комбинациях.

Сейчас мы ставим перед собой задачу установить вид самих сфе­

рических функций

Ы.Ц { & ,

Л

) ,

являющихся членами ряда Лап­

л аса ( 3 .4 .1 ) .

Заранее ясно, конечно,

что члены ряда должны как-то

зависеть от заданной функции

^

(

& ,

Л ) .

К установлению ви­

да этой зависимости мы и приступаем.

Подставим значения коэффициентов А „„ и В

„ „ и з ( 3 .3 .2 ) в

П -ы й член ряда

( 3 .3 .1 )

2и + !

(и -ic) /

и . (в, л )

8к. ■2.1Г (и +

1с.)!

•CoMt-Jl'-cLQ

■СоЛ !<- А + \((б',С')-

^ ь - Л

'■с№ . ■V n к.Л 7.

п

-*

Здесь штрихами сопровождены переменные

Q'

к

Л ‘ ,

тто которым ведется интегрирование.

Введем pttfK^(c<>3 6> ),

и

под знаки

интеграла:

- <

) ~ \ Ш ? ) - £ (K>f a e

) ’

* '/

•

к- а; ■ гл>* к- ,1 a

/I ■/к ’-ъ. /£)■ сЛ Я

—

Полагая» что М (

9 , Я ) есть фиксированная точка сферы, а

М1( &1, Л' ) -

ее текущая точка, удобно воспользоваться обозна­

чением ( 3 .2 .1 ) .

Тогда окончательно получаем

^

(о, ?.) -

^4 r ~ j

' P*

у) d Q ,

.я.

(3 .4 .2 )

Функции ( 3 .4 .2 )

называют функциями Лапласа.

Таким образом,мы доказали следующую теорему.

Теорема 3 .4 .1 .

При разложении

заданной на поверхности сферы

о 2

функции

£

( 9 , Л ) в

ряд

(3 .4 .1 ) по сферическим функ­