Файл: Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 43

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Рассмотрим размерности физических величин, характеризующих

 

электростатическое поле. В абсолютной гауссовой системе

единиц

 

 

' электрические величины измеряются в

единицах СГСЭ. В

этой системе

размерность

величин

Е

и D одинакова,

а

величина £ безразмерная

и

 

для вакуума равна. единице. Благодаря этому в вакууме

вектор D сов­

падает с вектором "В.

 

В Международной

системе единиц

размерность

ве­

личин If

и

D разная,

поэтому диэлектрическая проницаемость среды

и

диэлектрическая

проницаемость

вакуума

£ с (электрическая

постоянная)

являются

размерными:

 

Е = -|r-

;

I-jj— = ~

 

=

КГСГСМ^;

I -

к

'•

 

=

.З .І0 5СГС0 = & . і 0-5СГС!Ц£]=

M -

£ о= ѵД ттпЭ 4 -

[Т)]= - 7

;

 

W ' 3 , ............»

 

- -

 

 

°

4-ЗГ9•

10'

 

Между

fc и

 

существует

связь:

£ = £ ; £0

5

 

 

 

где

£ '

 

- относительная диэлектрическая проницаемость.

Она

чис­

ленно равна диэлектрической проницаемости в абсолютной гауссовой

системе

единиц,

I J L

= І , І 7 - І 0 П СГСЭ

= І,2£-ІСГІ0СГСМ

'

 

 

2. Электростатическая теорема Гаусса. Важной интегральной характе -

ристикои векторного поля является поток вектора в каждой точке пространства. Эта величина характеризует поступательное движение

поля и содержит величины,, непосредственно измеряемые на-опыте.

Следовательно, может быть найдено и само векторное поле. Электро­

статическая теорема Гаусса позволяет вычислить поток вектора элек­ трической индукции, если известна величина заряда, порождающего поле

Вычислим поток вектора

электрической

индукции D через

произ­

вольную замкнутую поверхность $1 , окружающую точечный заряд

q ,

т . е . найдем величину:

§ D-d3

( 8 )

 

N =

 

 

3

 

 

Из рис. I.

9

 

 

 

 

Рис. I

 

 

 

 

видно, что величина цз'::-|-

dS = dS cos(~ d3)

 

является проекцией

элемента

площади

dS

на плоскость, перпенди­

кулярную радиусу -

вектору

в данной

точке. Следовательно,величи­

на

-d|. =

a

Q

 

является

элементом

телесного угла

 

Г

в

стерадианах ,

под которым рассматриваемый элемент

выраженного

поверхности

виден

из точки

расположения заряда q

. Учитывая

выражение (2) и связь между векторами Е и 5 , определяемую соот­

ношением (3), можно записать выражение для вектора

индукции

 

электрического

поля:

5 = ^

г .

 

 

Из этой формулы

видно,

что

в е к т о р о в данной точке

от среды

не

зависит, а определяется распределением и величиной зарядов. С

учетом написанного можно вычислить интеграл (8):ОІ

т . к . полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверх­ ность из точки, находящейся внутри нее, равен ОТ.

ІО

Если заряд находится вне замкнутой поверхности

3

, то

интеграл (8) будет

равен нулю, т .е .

^

'd аз

= О

 

 

 

т.к. его

можно представить в

виде

суммьР двух равных

по абсолютной

величине,

но противоположных

по

знаку

интегралов:

а)

интеграл

по части

поверхности 3

, обращенной

вне

телесного

угла,

под

которым наблюдается.вся замкнутая поверхность; б) интеграл по

оставшейся части

поверхности

3

,

обращенной

внутрь

телесного

угла,

имеющий ту

же

величину,

что

и интеграл'а" ,но

с отрицатель-■

ним знаком.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

имеется

несколько точечных

зарядов

,

то, как пока­

зывает

опыт, вектор

индукции электрического поля Сравен

сумме •

векторов

индукции

 

D^,

создаваемых

зарядами:

В

1

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это положение получило название принципа суперпозиции, который имеет большое значение в науке. Главным его математическим след­

ствием

является

линейность

соответствующих

уравнений, т .е . сум­

ма двух

решений

является

решением,

и

решение,

умноженное

на произвольную постоянную величину,

является также

решением.

В этом случае выражение (8)

будет иметь

следующий вид:

к = §3-ая

і і = £ q .= q

.

 

(з)

 

Т.О., поток вектора электрической индукции через замкнутую по­ верхность равен сумме зарядов, заключенных внутри нее. Это ут- ■

верждение есть электростатическая теорема Гаусса в интегральной форме.

Теорему Гаусса можно записать и для случая непрерывного распределения зарядов. Распределение заряда в пространстве ха­ рактеризуется объемной плотностью р , которая определяется следующим образом:

і5 =a V.

II

где aq

- заряд,

заключенный

в

объеме

дѴ ,(Обращаю внимание

читателя на макроскопический характер объемной плотности за­

рядов). Из этого определения следует,

что величина

заряда dq t

заключенного

в элементе

объема

dV ,

равна:

 

 

 

 

dq

- р

dV

 

 

(10)

Тогда

теорема

(9)

примет

следующий вид:

 

 

 

 

§ D -d S = d p dV-

,

( П )

Аналогичные рассуждения можно^привести и для случаев распре­ деления заряда по поверхности или линейному проводнику, введя поверхностную и линейную плотности зарядов соответственно.

Например, поверхностная плотность зарядов равна

о' = lim

.

dS—о s

 

В системе единиц СИ:

 

f e b - *м1

 

Выражение (I I) можно записать

и в дифференциальной форме.

Для этого необходимо воспользоваться теоремой Остроградского -

Гаусса (п .7). Применив эту

теорему

к левой

части равенства ( I I ) ,

получаем:

 

г _

„

(

 

D dv

•

 

 

 

 

 

Ф 5

dS -

о div

 

 

Поэтому из

(I I )

в .

 

 

V

 

 

 

 

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

I (d iv

D -

p)dV

- 0 •

 

 

 

 

 

 

V

 

 

^

 

 

 

Эго равенство справедливо при произвольном выборе объема интег­

рирования

V .

Но если

интеграл от некоторой функции равен нулю

при

произвольной области

интегрирования,

то сама функция

тож­

дественно

равна

пулю, т .е .

 

 

 

( 12)

 

 

 

 

 

d iv

D =

р,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это

соотношение

является

вторым уравнением

іаксвелла для

элект­

ростатики.

Оно

является

дифференциальной формой теоремы Гаусса.

12

Смотрите также файлы