Файл: Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие.pdf

<D1n

D2n^3o - q

•

И, поскольку g

о , окончательно имеем

Din"Dai=

6

(23)

т .е . нормальная

составляющая вектора D

терпит оазрыв в том слу­

Условие

(23) характеризует также и поведение нормальной

составляющей

вектора еГ:

fj .

(24)

разрыв на

границе

сред,

однако в пределах переходного

слоя он

остается

непрерывным.

*

Пересечем поверхность раздела достаточно малой прямоуголь­

ной площадью . д у ограниченной

контуром

ь

, стороны

которой хА

а l j параллельны

поверхности

раздела,

а

стороны,

пересекающие

поверхность

раздела,

имеют длину

х^

.

Эта

площадка

пересекает

поверхность

раздела

по линии

10

(рис.2).

Проинтегрируем уравнение

(4)

по поверхности

g

и

преобразу­

ем его по

теореме

Стокса:

$ rotE

d l Г S EdX +

S EdX +

5 EdX -

0 .

3

ld

l i

i s

ъ

примем

В качестве положительного направления обхода контура

направление,'указанное на рисунке.

Тогда

имеем:

^

Edl-ZlE^ X ^ o s f f ^ d l ^ -

En x1

^

EdX Z |e 2I X2C 03(E2 j “ dX2 ) r - S 2 t X2

Интеграл

по

вычисляется при помощи теоремы о среднем:

Учитывая

это,

получим:

0

< w

•

Пусть

Ei t W

2 +< Ef > 4 = ° '

то l-1- ^ i o>i 2-*-io>3-*- о.Следовательно,в пределе

-

получается:

Т .к.

о

,

то,

(B1t “ B2t ^ o “ 0 *

ВП - B2t

(25)

т . е .

тангенциальная составляющая

вектора

электрической

напряжен­

ности непрерывна. Однако тангенциальная составляющая вектора

электрической

индукции терпит разрыв, если

•

5 ,Энергия электростатического поля.

'^вычислим

энергию' системы взаимодействующих

зарядов.

Всякая

система зарядов обладает определенной энергией

взаимодействияW

,

за счет

убыли

которой и совершается работа А:

ДА - —дѵ? .

Исходя

из

этого, подсчитаем энергию двух

точечных зарядов q-j

и

,

находящихся на

расстоянии

г 12 друг от друга.

Всякое изменение

взаиы

ного

расстояния зарядов

сопровождается

работой

электрических

сил.

Предположим,

например,

что заряд

q2 считается

неподвижным,

тогда

как

заряд

q1

перемещается в поле заряда q2

в

некоторую точку,

находящуюся

на

расстоянии г 12 от

второго

заряда.

Работа

электри­

ческих

сил

при

этом перемещении равна

откуда

tU = ~ 4 i d ' f l

»'

следовательно’,

^

т = *

$

r

■’l =e, Ф ь

(r=oo J

J

ние заряда q2 в поле

неподвижного заряда q, . в результате име­

ли бы:

„

®“

0-2 ^ 2 ■

электрическую энергию зарядовq1

и q2 в симметричной форме:

* - \

+ «2 ^

: 4 ^ 1 ЧіѵРі .

(Это выражение можно также получить, рассматривая одновременное

перемещение обоих зарядов).

Для трех зарядовq1f q2,q 3

имеем:

W1”'lK

2+«2^21

кУіЗ+^ЗіРзі

W3-'2^2^23'*'q3

32?*

Здесь

^

означает потенциал

поля заряда^qk

в точке, занимае­

мой

зарядом

Чі у .

Значит,суммарная энергия равна:

w : ^ (

w1 + w2 + w5) .

Обозначив і | т = ^ 2

+i

и^г. д. ,

имеем

* =

*

Аналогичное выражение для энергии можно получить для системы

П

точечных

зарядов і введя

в рассмотрение

потенциал ij>

,

который

создается всеми зарядами, кроне

і

т о

,в месте

расположения

послед­

него:

п

w z i ^ a

« if i

*

(26)

Полученную Формулу можно обобщить и на случай непрерывного

распределения Зарядов,

разлагая

эти заряды на совокупность эле­

ментарных зарядов рсиг и

6dS

и

переходя в

(формуле

(26)

от

сум­

мирования к интегрированию:

w г

•£(

+ ^б -^аз

+ ^ е ^ < и

)

,

(2?)

где

-

значение потенциала поля всех объемных, поверхностных

и линейных

зарядов в

элементе объема <іу , на элементе поверх­

ности

dS

или длины

dl ,

Из второго

уравнения

Максвелла (12)

найдем объемную

плотность

заряда

ja -

d lv

D .

Тогда

'-Ч -

\

^ d lv D dV.

Используя

анализа

(п .І5) и

теорему

соотношение

из

векторного

Остроградского-Гаусса

(п.7),

можно преобразовать выражение для

энергии \ѵ

:

_

'Ѵ

±vDclV ■-•^div(D<y )dy ”

Dgred^

dV Z

Z ^ \

dS +

DEdV .

*

ленной поверхности, равен

нулю,

т. к. на

бесконечности

равно нулю

подынтегральное

выражение.

Окончательно находим:

-

Ц

, г

л

* =

Ш dV

(28)

-

аѵ

Уравнение

(28) выражает

электрическую энергию в виде

бесконеч­

ной суммы

слагаемых, каждое

из

которых

равняется £ в 2ат

и

относится

к определенному

элементу объема

dV . Поэтому физи­

лизована в пространстве

так,

что

в каждой единице объема содержит

ся количество

энергии

*.

,

равное

'

w

= £ е 2

(29)

Величина

-иг

есть

2

объемная плотность электрической энергии.

Чрезвычайно

важнь

отметить,

что энергия электрического поля