Файл: Канин, Е. С. Тождественные преобразования учеб. пособие.pdf

ft/^ej»o«tM

;

(è*cja

-

êa

иг

Здеоь

буквы

сс) ê, ô обозначают

любой одночлен

или многочлен

(далее - любое рациональное алгебраическое

выражение).

Кроме этих аксиом

выполняются

аксиомы

о действиях

с нулем

и единицей и аксиомы равенств:

Ш. 6)

л +

Огсь - а,;

дг.

9)

а

' Си

7)

а,-0~

0 ci - О-

Ю) Еоли

»

J

, M ^ « f t .

ѳ )

У • а

- а> •

и )

Если

а--

&

и

è>* е

,чо а°-е

Вое остальные преобразования должны быть обоснованы осылкой

на эти аксиомы, введенные определения

или доказанные уже предло­

жения

Пример.

Доказать

справедливость

равенства

а - ê - Cl г (- &) •

свойство уменьшаемого

(выражено

через

разность

и вычитаемое)

ассоциативность

сложения

(аксиома 2)

определение суммы противоположных чисел (выра­

жений)

= ci •

'

аксиома

§ 3. Степени с натуральными показателями и их преобразования

Аналогично тому, как сумма нескольких одинаковых слагаемых

заменяется произгчдекием ( 3+3+3+4 = 3»4 -

12 )

к

записывается

записать

короче:

3 ' 3 ' 3 ' Э

= 34 = 81,

4-t-4 = 43 = 64,

2-2-2-2-2-2

-2-2 - 2 е » 256

Такая сокращенная

запись произведения

нескольких

множителей

-

17

-

часто

употребляется и называется степень».

Определение.

Произведение

нескольких равных

множителей

на­

зывается степенью. При этом каждыГ из разных множителей называ­

ется основанием степени, а число разных множителей в произведе­

нии -

показателем

степени.

В степени

З^

основанием

является

число 3 (равными мкожите-

Л.ІНИ являются

тройки),

а

показателем

-

число 4 (число множителей-

троек равно четырем). Осноинио степени

пишется в отроке, а пока­

затель

степени пишется

справа

вверху

от

основания.

к

Неправильно

будет

говорить,

будто

3

означает,

что "3 умно­

жается

само

на

себя

4 раза" .

Если выполнять

умяоиение,

то

тольтсо

З ' З

есть умноЕвниѳ числа 3 на себя самого. Уиѳ

3-"»3

=

9*3,

т . е .

далее

на

3

умножается

уже

число

9,

а не 3. Кроме того в сте -

пени

3 = 3-3«3»3

обозначено

не

4,

а 3

действия

умножения (это

множителей

4) .

Символически

степень

записывается

в

виде

д л

,

где

а.

-

основание,

ft

-

натуральный

показатель

степени.

Для степеней с натуральными показателями справедливы сле­

дующие

теоремы:

Il

Теорема

I .

а

•

ft

=

ft

Доказательство.

3

произведении

&

-a

U

берется мно­

жителем

tu-

раз

в

а

14

и еще

П

раз

в

а* .

Таким

обра­

зом,

в

заданное

произведение

Ci

входит

в

качестве

множителя

mt

п

р а з ,

что

по определению

степени

записывается

Û.

Замечание:

удобно

считать

^исло множителей

в

произведении

5

4

Гос. публичная

{

.?. -2

содержится

5

Поэтому

и ^ множителей 2,

т . е . 9 множителей 2.

каучно -

тс.лч,-, .

'-ГГ.»

;

2 5 - 2

Ч =

г 9 .

библиотека

С ••...•

ѵ

>

Э К З Е М П Л Я Р

'

ЧИТАЛЬНОГО

3'К'Г

- 19

-

В приведенных примерах

имеются одночлены,

записанные

впол­

не удобно (например, а,Ч

и 0,%х-хр*£ ) .

в других одно­

членах имеются явные неудобства: рчоднократно

вотречается

в К Е - Ѵ

честве множителя одно и то же переменное

, За,і>а,с

и д р . ) ;

дважды встречаются числовые

множители,

запиоанныѳ

с помощью цифр

( 3aê • Zù,c~)) в различных

одночленах

различен

порядок

записи

ночлена, сделать

ее более побной, вводится понятие

канонического

вида одночлена.

Определение.

Каноническим видом

одночлена называется одно­

член, в котором постоянный и..;ояитель

пишется первым, переыѳнпѵч

же записываются в алфавитном порядке

каждое в виде

степени один

р а з .

3aê • ZcbC =3 Zaa êc -

|коммутативность

умножения

ассоциативность

умножения

*( 3-2

теорема I

л

~- е&Чс •

определение произведения патуральных

чисел.