Файл: Ильинский, Д. Я. Обоснование решений при проектировании и эксплуатации машин и линий легкой промышленности учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Период

эксплуатации

I

( / = 1 )

II

( / = 2 )

III ( / = 3 )

 

 

 

Т а б л и ц а 2 0

Начальные условия задачи

Решение задачи

Модернизация не проводится

Модернизация проводится

Модернизация не проводится

Модернизация проводится

(стратегия 0)

(стратегия 1)

(стратегия 0)

(стратегия 1)

6 , = 0 , с л е д о в а т е л ь н о ,

й] = 2 0 % , с л е д о в а т е л ь н о

3 1 = 0 и C°1-= D 1

3 1 = 0 ,2 0 Д ;

С } = Д — 0 ,2 0 Д = 0 , 8 0 D l

 

Т р ет и й ш а г р еш ен и я

П р и б ы л ь з а I — IV п е р и о д ы С ш =Сх-\-Ст

/->0000

/■>() \/->000

/-•1000

/->1

1 /->000

° 1234

—*и 1

234 —

° 1234

— и 1 "Г0 234 —

= 0 ,8 0 D , 4 - 3 D 2=

= n i + 3Z)2= Z ) 1+ 3 D 1= 4 D 1

= 0,80 д + з - 1,2 д = м д

 

 

В ы в о д .

П о с к о л ь к у

< С } ! ^ ,

т о на I п е р и о д е

 

п р и н и м а е т с я с т р а т е г и я 1

 

В с о о т в е т с т в и и с о с т р а т е г и е й н а I п е р и о д е :

В т о р о й ш а г р е ш е н и я

 

е с л и f t j = 0, т о а2= 0,

с л е д о в а т е л ь н о , £>2= Д ;

 

П р и б ы л ь з а II, III и IV п е р и о д ы С 534= С

5+ С з 4

е с л и Ь±1= 20%, т о д 2= 2 0 9 6 , с л е д о в а т е л ь н о ,

 

 

/

2 0 \

 

 

^ = ( 1+ шо) D l = 1 ’2 D l

b2= 5 0 % , с л е д о в а т е л ь н о ,

й2= 0 , с л е д о в а т е л ь н о ,

3 2= 0 ,5 0 D 2,

3 2= 0 и С ? = £ > 2

C l2= D 2— 0 ,5 0 /) j= 0 , 5 0 £>,

В с о о т в е т с т в и и с о ст р а т е г и е й на II п е р и о д е :

е с л и

Ь2 = 0, т о

а г =

0 , cjч е д о в а т е л ь и о , D B — £>,;

е с л и

&2= 5 0 % , то

й 3= 1596, с л е д о в а т е л ь н о ,

 

 

° - ( ,+ sfj z j i - и б д

 

 

 

 

&3 = 7 0 9 6 , с л е д о в а т е л ь н о ,

= 0, с л е д о в а т е л ь н о ,

З в =

0

и С £ =

D s

Д = 0 ,70 О я,

С ‘ « Д - 0 , 7 0 D3 = О .ЗО Д

 

 

 

 

 

/--•100

/~*1

| /-00

С ™ = С 2° + С 3° ° = Д + 2 Я 3=

и 234

— и 2

1 ^ 3 4 —

 

 

 

 

= D 2+ 2 £ ? 3= 3 Z ) з

=

0 ,5 0 Д +

2 Д =

= 0 ,5 0 Д

+

2 - 1,15

D 2= 2 , 8 0 / ) г

 

В ы в о д . П о с к о л ь к у

> ^ 23i ,

т о н а И п е р и о д е

н е з а в и с и м о о т с т р а т е г и и н а I п е р и о д е п р и н и м а е т с я с т р а т е г и я 0

 

 

 

П е р в ы й ша г р е ш е н и я

 

 

 

П р и б ы л ь

з а

III и IV

а ер и о д ы

С |4= С 3 -{-

С ,

jZ-'Oi)

 

|

L‘-l—

 

 

c'ai

— Д

“г Д

—

u 34 — ^ 3

i

 

 

= о . з о д - |- д -

=

 

 

D * « 2 0 g

 

 

 

 

= < х з п д + ] , 1о

-н а д

 

 

 

 

В ы в о д .

П о с к о л ь к у С !^

> С

^

,

т о

зга

ЗП

п ер к о д е

н е з а в и с и м о

о т

с т р а т е г и й

на

[

и

II

п е р и о д а х згриагк-

м а ет с я ст р а т е г и д 0

В с о о т в

е т с т в и и

с о

с т р а т е г и е й н а 111 п

е р и о д е :

е с л и Ь3 = 0,

т о в 4= 0 , с л е д о в а т е л ь н о , Д = Д

и С < = Д ,

е с л и &3= 7 0 % ,

т о

«4= 1096, с л е д о в а т е л ь н о ,

A = ( i + ^ j ) А г = М 0 Д

й4 = 0, с л е д о в а т е л ь н о ,

С т р а т е г и я 1 п о у с л о в и я м

Д = 0 и С°л= а 4

з а д а ч и в ы б р а н а б ы т ь н е

м о ж е т

 

Примечание. Доход от эксплуатации

оборудования в течение (у—1)-го

«ода составляет

DJ.-1

 

./-ом периоде доход от эксплуатации обору­

На

каждом

последующем

дования составляет

Dr

(‘ + ~ )

°]

г

где a j

 

 

 

}

\

100/

Г”1

— прирост прибыли в результате модернизации, проведенной и конце

предыдущего периода.

%.

предыдущем

периоде не проводилась, то а -=0

Если модернизация

на

Затраты

на

модернизацию

в конце каждого /-го периода составляют

 

bj

 

 

 

 

 

 

 

 

/

юо

•*

 

 

 

 

 

 

 

где bj— отчисления па модернизацию от доводов, подучеши.* а теченпа этото периода. SJ.

Если модернизация не проводится, то bj~ 0 н 3 ^ — 0.

Прибыль за /-и период составляет Су = D j

— 3 ~

/

*/\

II

- ——- / О у

Если модернизация не проводится, то Су =

Яу.

 

 

Периоды III и IV рассматриваются вместе, так как на IV периоде модернизация проводиться не может, т. е. на IV периоде нет выбора стратегий.

Описанная процедура на I шаге коротко записывается так:

о : q х q

=

max

0 !

Ds + Ds

•СЯ( = шах

L: q + q

 

 

1 :

0,3003 + 1,ЮО;)

=

0

;

2D3

 

= о :

2D3.

max

:

1,40.

 

 

1

 

 

 

На втором и третьем шагах

ход решения аналогичен описан­

ному (см. табл.20).

Таким образом, набором оптимальных стратегий, обеспечива­ ющих макоимум суммарной прибыли за все периоды, является на­ бор «1000». Общее количество возможных вариантов стратегий составляет 23= 8 (число стратегий на .каждом периоде возводится ■в степень, равную числу периодов, на которых возможен выбор). Если число стратегий на каждом шаге увеличивается, например, до 4, а общее число шагов увеличивается, например, до 6, то об­ щее, число (вариантов стратегий составляет 4°=2048.

Аналогично задаче 2 решаются задачи оптимального распреде­ ления допусков, передаточных чисел в ступенчатой зубчатой пере­ даче (по критерию инерционности), 'межмашинных бункерных за­ пасов, задачи оптимизации процессов сушки, охлаждения, замены катализатора, складских запасов и т. д.

При анализе моделей замены оборудования также рассмат­ ривается задача обновления оборудования, решаемая методом попятной пошаговой оптимизации.

Общее решение задач 1 и 2 может быть интерпретировано, как многошаговый процесс принятия решений на каждом шаге. При этом множество возможных решений графически представля­ ется как упорядоченная сеть, т. е. ориентированный граф. Одна и

та же

задача может интерпретироваться

как

ярусный

граф

(рис.

11), иллюстрирующий задачу 1,а,

или

ветвящийся

граф

(рис. 12), иллюстрирующий задачу 2. Чаще, целесообразно пополь­ зовать ярусные графы, количество элементов на каждом ярусе ко­ торых соответствует количеству .выбираемых на каждом шаге зна­ чений, управляющих переменных (возможных управлений). В за­ даче 1,а возможные управления состоят в том, чтобы тип А1 при­ менить в сочетании с типом Б1 или Б2, или тип А2 в сочетании с теми же типами и т. д. В задаче 2 возможные управления состоят в применении стратегии 0 или 1.

Количество ярусов определяется количеством шагов, па кото­ рое разбивается общее решение задачи.

На графах (см. рис. 11, 12) жирными линиями показаны вари­ анты, соответствующие оптимальным решениям. Цифры слева от каждого графа показывают общую нумерацию шагов. Стрелки по­ казывают направление, в -котором осуществляется пошаговая оп­ тимизация.

56

Сущность

 

динамичес­

 

кого

программирования

 

состоит именно в возмож­

>г

ности замены решения N-

шаговой задачи решением

 

сначала

задачи,

рассмат­

 

ривающей

один шаг, за­

 

тем задачи, рассматрива­

 

ющей два

последователь­

 

ных шага и т. д.,

вплоть

 

до задачи, рассматриваю­

 

щей все N шагов.

 

 

Решение задачи на /-м

 

шаге получается из реше­

Рис. II. Ярусный граф возможных ре­

ния

задачи

на

(г—1)-м

шений задачи динамического программи­

шаге путем

 

добавления

рования:

i-ro

шага

(табл.

21).

I, II — шаги решения задачи 1, а

Структура

 

и

процеду­

 

ра решения, а также так

С=С„

называемые

фазовые пе­

ременные У,

которые опи­

 

сывают

состояние проек­

 

тируемой

иди

планируе­

 

мой системы, не зависят,

 

т. е. инвариантны относи­

 

тельно числа шагов.

 

Решение, принимаемое

 

на каждом шаге, состоит;

 

как

уже

 

указывалось, в

 

выборе

таких

значений

 

переменных

 

X,

чтобы

 

максимизировать

(или

шепни задачи динамического программиро­

минимизировать)

целе­

вую функцию F (У).

вания:

I, И. Ш — шаги решения задачи 2

Решение эквивалентно

преобразованию я в соответствии с выбранным управлением X, за­ ранее сформулированными правилами, уравнениями и т. д.

Акт управления может состоять в выборе того или иного ва­ рианта управляющей переменной, стратегии, процедуры преобра­ зования и т. д.

Целевая функция чаще всего имеет аддитивную форму, т. е. получается простым сложением величин целевых функций, полу­ ченных на отдельных шагах. Целевая функция является в общем' смысле доходом (для задачи 2 это буквально так), зависящим от

количества

употребленных

ресурсов

(в задачах 1,а и

1,6

этими

ресурсами являются типы элементов)

и выбранных вариантов ме­

роприятий

(процессов,

производственных способов

и

др.).

Целевая функция оценивает полезность распределения

ресурсов,

в целом.

 

 

 

 

 

5Т

Характеристика задачи

1Управление движения н

количество шагов

Значения управляющих переменные, Л:

на первом шаге

„втором

„третьем стратегия 0

. 1

Фазовые переменные У

Ограничения

Целевая функция Я (У)

Преобразование л ( )

 

Табл ii ца 21

 

Задачи

1а

о

Прямое, 2

Попятное, 3

Л1, А2, АЗ, А4

—

Б1, Б2, БЗ

—

Bl, В2, ВЗ

—

—

tij=0

 

aj>0

Вероятность безотказной работы Рj

Р> Р*, где Я =

=ЯА X ЯБ X я в

Стоимость элементов А, Б, В

С= J (ЯА) + /(Я Б) +

+/(Р В) -*п,|п

Присоедпмеппе элемен­ тов и выбор домини­ рующих стратегии

Доход Dj п затраты на модернизацию 3j

В явном виде пет

Прибыль от эксплуата­ ции оборудования на четырех этапах

23| = Ct + Са ф-

+с3 -г

1)Cj = Dj — 3j

2)Выбор на каждом эта­ пе той стратегии, ко­ торая обеспечивает

максимальную при­ быль

В процессе пошаговой оптимизации составляются так называе­ мые рекуррентные, уравнения вида

Fk (У) = max \fk (Хк, У) + Fft_, (к (Хк, У))\,

 

А',,

 

 

пде вместо знака max может фигурировать знак min.

«дохода» на

Первое

слагаемое уравнения — это

значения

k-м шаге,

которые могут быть получены

в зависимости от выбо­

ра того или иного управления Хк; второе слагаемое — суммарное значение целевой функции, полученное на (/г—1)-м шаге при использовании соответствующих управлений X к и соответствую­ щих преобразований я ( ).

.53

Часто рекуррентные уравнения записываются в виде

Sl = 71 (s k + ^л-О-

Для задачи 1, а я( ) означает преобразование на основе воз­ можных управлений, реализуемое

1) прибавлением поодиночке к тем сочетаниям типов элемен­

тов

S А_ь которые получены на {к—1)-м

шаге, всех типораз­

меров элементов S k, присоединяемых на /г-м шаге;

2)

выбрром на каждом шаге наилучших

сочетаний из общего

числа сочетаний, которые получаются при использовании управле­ ний данного шага.

Например, в задаче 1,а на втором шаге (k = 2) имели:

S* - А1 X БЗ; А2 X БЗ; АЗ X БЗ; А4 х БЗ;

S2 = В1ХВ2-ХВЗ; о* = АЗ X БЗ X В2.

Для задачи 2 фигурирующее в рекуррентном управлении преоб­ разование л ( ) по существу означает процедуру

I/ , !

. • • - ,(/г — 1), п] — шах О : Ста.\[у"Ь1 >• • • j (л —1)> Н1+С0(у) 1

 

. I : Сш.1х [у + !,•••> (11— 1), ^ Н -С 1(/) J

где /= 1 ,

2, 3, 4.

В математической литературе указывается, во-первых, на воз­ можность 'существования необозримого множества задач, уклады­ вающихся в схему динамического программирования, во-вторых, на необходимость только общего и несколько неопределенного трактования характеристик динамического программирования и круга задач, которые могут быть сформулированы в его рамках.

В связи с этим укажем еще на одну разновидность задач ди­ намического программирования, несколько отличающуюся по своему характеру от изложенных выше.

Рассмотрим задачу составления оптимального расписания ра­ бот.

Найти такую последовательность запуска изделий- 1, 2, 3, 4 и 5, чтобы суммарное время обработки партии из всех пяти изделий

на .машинах А и В было бы минимальным.

на

каждой

машине

Заданы длительности

обработки

изделий

(табл. 22).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 22

 

 

Изделие,

1

 

Длительность обработки изделия,

 

2

 

 

 

мин, на машинах А и В

I

3

4

5

 

*А1

4

3

10

6

2

h i

5

1

4

15

3

59

Смотрите также файлы