ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 79
Скачиваний: 0
вполюсе Р и направленным по перпендикуляру к плоокости,
вкоторой лежит сил_а_ F и точка Р (‘плоскость (Q)) в ту сто
рону, откуда сила F будет казаться направленной против часовой стрелки, по величине равным произведению
модуля силы F на ее плечо h относительно полюса Р
| MP(F) | =Fh.
Момент силы F относительно полюса Р равен нулю, если линия действия силы_ F проходит через полюс Р, и не изме
няется, если силу F перенести в любую точку по линии ее действия.
Определение момент силы относительно точки через векторное произведение
Из полюса Р в точку приложения силы F (точку Н) про
ведем радиус-вектор г = РН (см. рис. 20). Момент силы F относительно полюса Р равен векторному произведению
радиус-вектора г на вектор, равный силе F, |
но мысленно |
построенный в точке Р |
|
Mp(F) = [r"x(/]p]. |
(1) |
Следует заметить, что в этом векторном произведении второй
множитель — вектор |
F — мысленно построен |
в той точке, |
|
из которой |
проведен |
первый множитель — радиус-вектор г. |
|
Докажем, |
что векторное произведение (1) |
действительно |
|
соответствует данному нами определению момента силы относительно точки. Для этого установим, что величина и направление этого произведения совпадает то величине и на правлению моменту силы F относительно точки Р. Величина векторного произведения
|[гХ (Д )Р]| = r-f’.sin(r,A(F)P).
На_ рис. 21 изображена плоскость, проходящая через силу F и полюс Р. Из этого же рисунка видно, что
sin (г, (F)P) = sin (180°—a) =sin а,
a
_ л _
/■sin (г, {F)P) = г sin a = h.
Поэтому величина векторного произведения будет
|[гХ(Д)р]|=Д-/г,
16
что соответствует определению величины момента силы F относительно полюса Р. Остается определить направление векторного произведения (1). Как известно, векторное про
изведение векторов г и (F)P направлено по перпендикуляру к плоскости, проведенной через эти векторы (a sjra плоскость
совпадает с плоскостью, проходящей через силу F и точку Р) в ту сторону, откуда поворот от первого множителя г ко вто
рому (F)P кажется совершающимся против часовой стрелки, т. е. по той же линии и в ту же сторону, что и момент силы относительно точки Р.
Таким образом, справедливость определения момента
силы F относительно полюса Р через векторное произведе ние (1) доказана.
Зависимость момента силы от выбора полюса
Из определения момента силы F относительно полюса Р следует, что величина и направление момента будут раз
личны в разных точках. Однако между моментами силы F
f
аР1П
Рис. 22
относительно двух различных полюсов можно установить зависимость, ^оторая выражается следующей теоремой:
момент силы F относительно полюса Р равен геометрической разности момента силы F относительно полюса О и момента
относительно полюса О силы, равной F, но построенной при
полюсе Р |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
_ |
(2) |
|
M p ( F ) = M o ( F ) - M |
0 ( F ) p . |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим |
силу F, |
начало которой |
||||
находится |
в точке Н |
(рис. |
22). |
Пусть О и Р произвольные |
|||
точки, положение одной из которых, например точки Р, отно сительно другой (точки О) определяется радиусом-векто
ром гР. Момент силы F относительно полюса О определится векторным произведением
|
M0(F) = [7HX(F)o], |
|
|
|||
где |
гп — радиус-вектор |
точки |
Н |
относительно |
полюса |
О. |
Момент силы F относительно полюса Р определится также |
||||||
векторным произведением |
|
|
|
|
||
|
MP(F) = [ряХ (Л я ]> |
|
|
|||
где |
ря — радиус-вектор |
точки |
Н |
относительно |
полюса |
Р. |
Из рис. 22 видно, что между радиусами-векторами гп и ря существует зависимость ря—Гц—Гр, поэтому
Mp(F) = [ряХ (F)р] = [ (ги — гР) X (F)o]* =
_________ |
= [гяХ (F) о] —[ГиХ (F) о]. |
* Вектор F мысленно построен теперь в точке О, так как из этой |
|
точки исходит вектор |
(гя — гР). |
18
Но |/лХ (F) о] — Mo (F), а |
|>РХ (F) 0] =M0 {F)P — это следует |
||
из определения |
момента |
силы |
(F)Р относительно полюса О. |
Значит, |
_ _ |
_ _ |
__ _ |
Mp(F) =M0(F) —M0 (F)p,
что и требовалось доказать.
Момент силы, относительно начала координат
Пусть точка О является началом прямоугольной системы координат Oxyz. Тогда координаты точки Н — точки прило
жения силы F — будут (х, у, z), а радиус-вектор этой точки относительно полюса О запишется в виде
гп = х11щ-\- ук^о + гкзо,
где кю, /е2о, /езо — ед1-шичные векторы осей Ох, Оу, Oz соот-
ветственно. Силу F разложим на составляющие по осям
—> —> ->
Ox, Оу, Oz
F = Fxk\n + Fукзн + Fzkзн,
где Fx, Fy, F^z— алгебраические величины проекций силы F на оси Ох, Оу, Oz соответственно.
Момент силы F относительно полюса 0 записывается известным нам векторным произведением, которое может быть вычислено с помощью определителя третьего порядка
Мо |
k20 |
^30 |
Mo(F) —[z'/rX (Оо] = X |
У |
х |
F, |
Fy |
F, |
Вычисляем этот определитель, раскладывая его по элементам первой строки:
Mn{F) = (yFz- z F v)kl0+ (zF.,-xFz)kw+ (xFv- y F x)k>-3 0 . ( 3)
Из равенства (3) видим, что |
|
|
|
(yF,-zFv)kl0, |
(zFx- x F :)k20, |
(xFy- y F x)k30 |
|
являются_ проекциями |
—> |
-> |
- > |
на осп Ох, |
Оу и Oz соответственно |
||
вектора M0(F) (рис. 23).
2* |
19 |
|
Момент силы относительно оси
Пусть к твердому телу приложена сила F, начало которой
находится в точке Н, а I — некоторая ось. В произвольной
точке Р оси / проведем плоскость (Q), перпендикулярную
оси / (рис. 24). Силу F спроектируем на плоскость (Q) и обозначим эту проекцию Fq. Моментом силы F относи
тельно оси I называется момент проекции этой силы на пло скость, перпендикулярную данной оси, относительно точки пересечения данной оси с плоскостью, т. е.
Ml(F ) ^ M P(FQ).
Воспользовавшись известным нам определением момента силы относительно точки, запишем
Mp (Fq) = \7qX (Fq)p\,
где Гр — проекция |
радиуса-вектора г на плоскость (Q). |
|
Следовательно, |
_ _ |
_ |
Из определения момента силы относительно оси следует:
1.Момент силы F относительно оси I изображает
скользящим вектором, являющимся отрезком оси /, т. е.
Ml(F)=Ml(F)F>,
20
где Mt(F) — алгебраическая величина момента силы F отно
сительно осп I, 1°— единичный орт оси I.
2. Момент силы F относительно оси I равен нулю, если
сила F ъ ось I компланарны (линия действия силы F и ось I параллельны пли пересекаются).
Связь между моментом силы относительно оси и моментом этой же силы относительно произвольной точки данной оси
Теорема. Момент силы F относительно оси I равен проек
ции на эту ось момента силы F относительно любой точки, лежащей на данной оси.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть О — произвольная точка |
оси I, примем ее за начало системы координат Oxyz, ось бу
Рис. 25
которой проведем так, чтобы она совпала с осью I (рис. 25). Тогда нам нужно будет доказать, что
Mt{F) =M 0y(F) - (zFx - x F z)k2о
—проекции на ось Оу M0(F) (см. формулу (3)). По опре делению момента силы относительно оси Mqv(F) =Mr)(Fxi),
21