Файл: Зенова, Е. Ф. Статика учебное пособие.pdf

Направление вектора М0 {Т) определяется с помощью на­ правляющих косинусов

cos [Ох, /И0(7')] =0 означает, что М0(Т) ±Ох, т. е. М0 (Т)

лежит в плоскости Oyz. Этот результат непосредственно сле-

§ 6. Статические методы преобразования системы сил

Статическими методами преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, называются приемы, при по­ мощи которых некоторая система сил преобразуется в новую систему сил, эквивалентную первоначальной. К простейшим статическим методам преобразования системы сил, прило­ женных к твердому телу, относятся: 1) прибавление или отбрасывание уравновешенной системы, состоящей из двух

§ 7. Основная теорема статики

Всякую систему сил, приложенных к твердому телу, можно преобразовать в эквивалентную ей систему, состоящую из двух сил, при помощи простейших статических методов.

мощью простейших статических методов эту систему мы преобразуем к эквивалентной ей системе, состоящей из двух

сил. Пусть это будет система сил ( / , F2, F3), каждая из ко­

28

торых приложена к твердому телу в точках Я ь Я2, Я3 соот­ ветственно (рис. 29).

Построим плоскость (Q2), проходящую через начало пер­

вой силы — точку Н\ — и через линию действия силы Fs. Точно так же построим плоскость (Q3), проходящую через точку И] — начало первой силы — и линию действия силы F3. Плоскости (Q2) и (Qз) будут пересекаться по некоторой прямой, проходящей через точку Нх.

Через точку Н\ и точки Я2 и Я3 проведем прямую Я]Я2,

расположенную в плоскости (Q2), и прямую Я]Я3, располо­ женную в плоскости (Q3). На линии пересечения плоскостей

проведем прямую Я4Я2, расположенную в плоскости (Q2), и прямую Я4Я3, расположенную в плоскости (Q3).. В резуль­ тате произведенного построения получили, что через точки Я2 и Я3 проходит по две прямых Я)Я2, Я4Я2 и Я ,Я 3, Я 4Я3 соответственно. Поэтому воспользуемся четвертым простей­ шим статическим методом преобразования системы сил — разложение силы на две составляющие_по правилу геомет­ рического разложения векторов. Силу F2 разложим на две

29

(Уь У2, Уз)- Силы У2 1 , У31 по линиям их действия переносим

номерами, но с добавлением штриха. Тогда, на основании второго простейшего статического метода преобразования

системы сил, получим, что система_смл^|, F2\,Fu', Уз/. Уз/) эквивалентна системе сил (Уь У2ь У24. Узь Уэ4),_а значит, эквивалентна и исходной _системе трех сил (Уь У2, Уз) - Полу­ ченная система сил (Уь У2/, У2-/, Уз/, У34') характерна тем,

что силы F24 и Уз/ приложены в одной точке # 4, а поэтому могут быть геометрически сложены. Обозначая их геометри­

ческую сумму через У4, имеем У2/ + Уз-/= У4 • Три оставшихся силы Уь У2/, У3/ также имеют общее на­

чало /У], поэтому тоже могут быть геометрически_сложены.

шего статического метода преобразования системы сил, по­

лученная система двух сил (У4, У5), имеющих начало в точ­ ках /У4 и /У[ соответственно, будет эквивалентна системе сил

(Уь F2i',_F2 4 , Уз/, У34О, а значит, и данной системе трех сил

(Уь Уг, Уз), что и требовалось доказать.

Если первоначальная система состоит не из трех, а из большего числа сил, то, выбрав произвольные три силы из этой системы, мы можем при помощи простейших стати­ ческих приемов -преобразования системы сил свести их к двум силам. Тогда число сил в первоначальной системе уменьшится на одну. Затем, поступая таким же образом, еще раз умень-

30

uiii.M па единицу число сил рассматриваемой системы, и так далее, пока не дойдем до системы, состоящей всего из двух сил. Эта система двух сил будет эквивалентна первоначаль­ ной, поскольку мы все время пользовались только простей­ шими статическими методами преобразования системы сил, приложенных к твердому телу. Таким образом, теорема доказана полностью.

§8. Задачи статики

Встатике рассматриваются две основных задачи:

к твердому телу, другой, более простой системой, ей эквива­ лентной (приведение системы сил к простейшему виду).

Г Л А В А II

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СИСТЕМЫ СИЛ

ИИХ СВОЙСТВА

§1. Определение характеристических величин системы сил

Характеристическими величинами системы сил, прило­ женных к твердому телу, называются величины, характери­ зующие совместное действие рассматриваемых сил на твер­ дое тело. К ним относятся: 1) главный вектор системы сил,

построенный в произвольном полюсе Я — FP, 2) главный мо­

мент системы сил относительно того же полюса Р —• LP\ 3) характеристическое произведение системы сил НР.

Дадим более подробное определение каждой из характе­ ристических величин, считая что к твердому телу приложена

система сил (Fu F2, ..., Fn) .

1. Главным вектором системы сил, построенным в про­ извольном полюсе Я, называется вектор, равный геометриче­ ской сумме векторов, соответственно равных силам данной системы, но построенных в полюсе Я, т. е.

ЯР = 2 (^)р. У=1

2. Главным моментом системы сил, приложенных к твер­ дому телу, относительно полюса Я, называется геометриче-

31

ская сумма моментов всех сил данной системы относительно указанного полюса, т. е.

1 Р = S MP(F.j).

3. Характеристическим произведением системы сил, пр ложенных к твердому телу, называется скалярное произве­ дение главного вектора данной системы сил, построенного в произвольном полюсе, на главный момент этой же системы сил, вычисленной относительно указанного полюса

Н р = ( F p L p ) .

В ы ч и с л е н и е х а р а к т е р и с т и ч е с к и х в е л и ч и н

Характеристические величины легко могут быть найдены, если заданы величины сил, их направление в выбранной системе координат, а также координаты точек их прило­ жения.

Пусть Охуг^- система координат, неизменно связанная с некоторой системой отсчета или с твердым телом, к кото­

(Fi, F2, . . . , F n) заданы, то каждую из них можем разложить на составляющие по осям координат: Fj — FjXki + FjVk9+ FjZk3,

32

проекций главного вектора системы сил на оси Ох, Оу, Ог соответственно. Отсюда величина главного вектора

Fo=\F0 \ = 1 FoJ + FoJ+Fo*,

а его направление относительно осей координат Oxyz опре­ деляется направляющими косинусами

Аналогично можно определить величину и направление

Раскладывая главный момент Lq на составляющие по осям координат

Fo = Loxk\a-|- Loyk^a-j-L0zkso.