ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
где Fxz— проекция |
силы F на плоскость Охг. По определе |
||||||
нию момента силы относительно точки |
|
|
|
||||
|
M0(Fxl) = [rxzX (F xz)o], |
|
|
|
|||
где гхг — проекция |
радиуса-вектора |
г на плоскость Охг или |
|||||
радиус-вектор точки НХ1— точки |
приложения силы Fxz отно |
||||||
сительно полюса О. Следовательно, |
|
|
|
|
|||
|
M0„(F) = [Г.г.-Х (Д,г)о], |
|
|
|
|||
но г. хкм + гкзо, |
[Fxz) o— FxliioFFz^zo, поэтому |
|
|
||||
Mou(F) |
“ДО |
k20 |
^30 |
|
|
|
|
X |
0 |
z |
|
|
|
||
|
|
Fx |
0 |
Fz |
|
|
|
Вычисляя этот определитель, находим, что |
|
|
|
||||
|
Mo,j{F) = (zFx- xFz)Ti2о, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
а это и требовалось до |
|||
|
|
|
|
казать. |
|
1. До |
|
|
|
|
|
С л е д с т в и я . |
|||
|
|
|
|
казанная |
теорема |
может |
|
|
|
|
|
служить |
вторым |
опреде |
|
|
|
|
|
лением момента силы от |
|||
|
|
|
|
носительно оси (момен |
|||
|
|
|
|
том силы F относительно |
|||
|
|
|
|
оси / называется проек |
|||
|
|
|
|
ция на эту ось момента |
|||
|
|
|
|
силы F относительно лю |
|||
|
|
|
|
бой точки, расположен |
|||
|
|
|
|
ной на данной оси). |
ве |
||
Рис. 2Г, |
|
|
2. Алгебраическая |
||||
|
|
|
|
личина момента |
силы |
F |
|
относительно оси / равна алгебраической величине проекции на эту ось момента силы относительно какой-либо точки, расположенной на данной оси.
3. Момент силы F относительно оси I равен моменту это силы относительно точки О, лежащей на данной оси, если
плоскость |
(Q) проходящая через точку О и линию действия |
_ |
—► |
силы F, перпендикулярна оси / (рис. 26).
22
4.Момент силы F относительно начала координат О раве
геометрической сумме моментов силы F относительно коор динатных осей (рис. 27), т. е. формула (3) может быть записана так:_ _ _ _ _ _
А10 (F) =M0x(F) +M0u(F) +M 0z(F).
Вспоминая определение момента силы F относительно начала координат, получим значения алгебраических вели
чин моментов силы F относительно осей координат
M0x(F) = yFz — zFv\ |
|
Moy(F) = zFx —xFz\ |
(4) |
Moz(F) = xFv- y F x. |
|
Теорема о моменте равнодействующей сходящейся системы сил относительно произвольной точки (оси)
Момент равнодействующей сходящейся системы сил отно сительно произвольного полюса (оси) равен геометрической сумме моментов всех сил данной системы относительно ука занного полюса (оси)-, т. е.
M0(S) = S М0(Р,); |
M((S) = S MdF.,), |
)-1 |
y=i |
где О и / — произвольная точка и ось соответственно, а
23
S = |
2 Fj — равнодействующая |
сходящейся |
системы |
сил |
||
_ i-L |
|
этой |
теоремы |
проведем |
для |
|
(Fi, |
F2, .. ■, Fn) . Доказательство |
|||||
случая полюса (рис. |
28), второй |
случай — относительно |
||||
оси — доказывается аналогично. |
|
линий |
действия |
сил |
||
Пусть Я — точка |
пересечения |
|||||
Fь Fo,...,Fn. Положение точки Я относительно полюса О
определяется радиусом-вектором гн■ Каждую силу данной системы перенесем по линии ее действия в точку Я, тогда
Mo (Fj) = [ПгХ (Fj) о], /= 1, 2,..., п.
J ~ I . <?... О
Рне. 28
Складывая |
геометрически |
п |
векторных равенств, получим |
|
^M„(Fj) = |
2 |
[/Тя Х (Л )(Л- |
|
ЬI |
Я 1 |
|
Так как Гц — общий множитель у п слагаемых, то |
|||
S M0(Fj) = \rH X 2 (Fj)oJ |
= [П/Х (S)о] = AT0 (S), |
||
i~\ |
j~i |
|
|
что и требовалось доказать.
Пример 1. Прямоугольная плита ABCD шарнирно закреп лена в точках В и С и удерживается в горизонтальном поло жении веревкой АК. Определить и изобразить на_чертеже
моменты относительно координатных осей силы Т — силы реакции веревки, если Z /04С=60°, АВ = а, ВС=2а.
Ре ше н и е . Силу реакции веревки Т, направленную по веревке от А к К, разложим на три составляющие по осям
координат T= Tx+Tv-\-Tz. Вычислим Тх, Tv, Tz — алгебраиче ские величины проекций силы Т на оси координат:
7^= Г sin а;
В этих формулах
sin 8 =
cos р =
Ту= —Т cos a sin (3; |
TZ= T cos а cos р. |
||||
a = Z / 0 4 C = 60°; |
Р |
Z ACD\ |
|||
AD |
2а |
|
sin р |
2 / 5 |
|
АС |
я / 5 |
’ |
|
||
|
|
|
|||
DC |
а |
|
cos р= / I |
||
АС |
а V 5 |
’ |
|
|
5 |
”ozM
Поэтому получаем окончательно |
|
|
Тх = ^ - Т , Ty = - £ L r , |
Т. |
(а) |
Определяем искомые моменты силы Т относительно осей |
||
координат двумя способами. |
чисто |
мате |
Первый способ — алгебраический — требует |
||
матических вычислений искомых моментов силы Т на осно
вании формул (4). Запишем эти формулы для силы |
Т: |
М0х(?) = ул Тг- г АТу\ |
(б) |
Моу(Т) = zATx— xATz\ |
|
М0г{Т) = хАТ у - у АТх, |
|
25
где хА, |
уа , |
— координаты точки А — точки приложения |
силы Т. |
Имеем |
хА= 0, ул — 2а, гл = а. Подставляя в фор |
мулы (б) координаты точки А и алгебраические величины проекций силы Т на оси координат, получим:
Мо,(Т) = 2я |
|
г] - |
^ |
г ) = |
__ _ а ')fЬ у | |
& У'*5 |
^ _Q. |
|
|
|
5 |
5 |
’ |
|
М 0у{Т) = а - & - Т - 0 - |
V 5 т |
a. -\f3 Т : |
||
|
|
К) |
|
|
м 0г{ Т) - 0 ■( - |
rV - 2а |
Т —- |
а УЗ 7’. |
|
Анализируя полученный результат, заметим, что равенство нулю М0х(Т) очевидно, ибо линия действия силы Т проходит через ось Ox. MOv(T)>0, означает, что момент силы Т
относительно оси Оу направлен по этой оси в сторону ее поло жительного направления. Поэтому изображаем М0у(Т) век-
торомЛ направленным по оси Оу в сторону положительной оси. Moz(T) <0\ следовательно, момент силы Т относительно оси
Oz направлен в сторону отрицательных z, поэтому этот век
тор откладываем по оси Oz в сторону, противоположную
этой оси.
Второй способ основам на теореме, доказанной в данном параграфе (см. стр. 23), т. е.
М, (?) = М, (Тх) + М, (?„) + М, (Т\ ) .
-^ ..>.
Или, применяя данную теорему для осей координат Ох, Оу
-->*
и Oz соответственно, получим:
М0х(Т) =M „,(fv) + M0s(?„) -1-М0х(?г) ;
Моу(Т) —М0у(Тх) +М0у{Ту) +М 0у(Тг) ;
Мог(Т) =М0г{Тх) +М 0г(Ту) +М Oz(Tz).
Как и в предыдущем случае, вычисляем алгебраические
26
величины моментов |
силы относительно координатных осей |
М0х(Тх)= О, так как |
Г* II Ох |
M0x(Tu) = \Ty\-DC=& -Ta -
О
MoATz) = - \ T z\ - B C = - £ j - T 2 a -
Мох( Т ) = & - Т а - ¥ 2 - Т а = 0.
Оо
|
М0у(Тх) = |
| Тх | -АВ = Т sin а-о; |
М0у(Тх) = ^ а Т \ |
|
||||||||||
|
|
|
М<)и(Т„)=0, |
так |
как |
Ту \\Оу-ч |
|
|
|
|||||
Мо„(Т2) =0, |
так |
как |
линия |
действия силы |
Тг пересекает |
|||||||||
ось |
- > |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
М0и{Т) = ^ - а Т > 0 , |
что |
означает, |
как |
мы |
уже |
видели, |
||||||||
что Mov{ f) \\ O y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
>И01(ГЖ) ---- |ГЛ| -AD, |
M0z(Tx) = - |
-2а= - i3 T a . |
|||||||||||
Muz(Tu)= 0, |
так |
как |
линия |
действия силы |
Ту пересекает |
|||||||||
|
—> |
— |
|
|
|
— —> |
|
|
|
|
— |
|||
ось Oz\ M0z(Tz) = 0, |
так как Tz || Oz. Таким образом, М0г(Т) — |
|||||||||||||
= —а У 37'<0, т. е. M0z(T)\\Oz. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример |
2. По условиям |
примера |
1 определить |
и |
изобра |
|||||||||
зить |
на чертеже |
момент силы |
7' — силы |
реакции |
веревки |
|||||||||
относительно начала координат О. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Ре ше ние . В |
примере |
2 |
|
определены |
алгебраические |
|||||||||
величины |
моментов |
силы |
относительно |
осей |
координат |
|||||||||
М0х{Т) =0; |
М0у(Т) = ^ - а Т - |
М0г(Т) = - a f 3 T . |
|
|
|
|||||||||
Известно, что М0 (Т) =М 0х{Т) +М 0у(Т) -\-M0z(T). Поэтому
величину момента силы Т относительно точки О находим как величину диагонали 'прямоугольного параллелепипеда, реб
рами которого являются моменты силы Т относительно коор динатных осей
М0(?) = Mqx2(T) +М0у2{Т) +M0z2(T) Мо (?) = о ^ Г.
27