Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 41
Скачиваний: 0
Данное неравенство представим |
в виде |
|
|||||||
|
4 - i g (x - 2 |
) + 4 - ig(3x |
- 5) > 4 - . |
||||||
Сократив все |
члены на |
|
получим |
|
|||||
|
|
|
lg(* — 2) + lg (Зле — 5) > 1. |
|
|||||
После |
потенцирования |
неравенство |
примет |
вид |
|||||
|
‘ |
|
lg (х — 2) (Зх — 5) > 1. |
|
|||||
Так |
как логарифм числа по основанию |
10 больше еди |
|||||||
ницы, |
то само число |
должно |
быть больше |
10, т. е. |
|||||
Отсюда |
|
(х — 2) (Зх — 5) > |
10. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Зх2 — 1 1х + |
10 > 10; х (Зх — 11) > 0. |
|||||||
Последнее |
неравенство справедливо при |
условиях: |
|||||||
1) |
|
х > 0; |
или |
/х > |
0; |
|
|
||
(зх -- |
11 > 0 |
|
|
1 |
11 |
|
|
||
|
|
|
х >"3” |
|
|
||||
2) |
|
х < 0; |
|
|
о V ч |
|
|
||
|
|
|
V д |
|
|
|
|||
{ зх --13 |
< 0 |
или |
|
|
|
||||
Значения |
х > |
удовлетворяют данному неравенству, |
|||||||
а значения х < 0 — не |
удовлетворяют, так как не принад |
||||||||
лежат области допустимых значений неизвестного. |
|||||||||
„ |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
О т в е т : х > -у . |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Доказать |
тождество |
|
|
|
||||
sin2 (а + Р) — sin2 а — sin2 р = 2 sin а sin Р cos (а -f- Р). |
|||||||||
Р е ш е н и е . |
Преобразуем |
левую часть тождества сле |
|||||||
дующим образом: |
|
|
|
(sin a cos р -f sin Р cos а)2 — |
|||||
sin2 (a -j- Р) — sin2 а — sin2 Р = |
|||||||||
— sin2 а — sin2 Р = sin2 а cos2 р + 2 sin а cos р sin р cos а +
82
+sin2 p cos2 a — sin2 a — sin2 p = sin2 a (cos2 p — 1) -f-
+sin 2P (cos2 a — 1) + 2 sin a cos a sin P cos P = —sin2 a sin2P—
—sin2 p sin2 a + 2 sin a cos a sin p cos p =
—2 sin a cos a sin p cos p — 2 sin2 a sin2 p =
= 2 sin a sin p (cos a cos P—sin a sin P) = 2 sin a sin P cos (a + p).
Левая часть приведена к такому же виду, какой имеет правая часть, тождество доказано.
5. В треугольнике сумма боковых сторон равна 30 см, основание 24 см, а один из углов при основании 60°. Опре делить боковые стороны (рис. 9).
Дано: Треугольник АВС;
АС = 24 |
см; |
|
|
АН ВС — 30 см; |
|
||
L ВАС = |
60°. |
Рис. 9 |
|
Определить АВ |
и ВС. |
||
|
|||
Р е ш е н и е . Строим BD ± АС. моугольный. /_ ABD = 90° — 60° = тет прямоугольного треугольника,
Треугольник ABD пря 30°. Известно, что ка лежащий против угла в
30°, равен половине гипотенузы, т. е. AD — АВ .
Введем обозначения: АВ = х, ВС = 30 — х.
По теореме о квадрате стороны, лежащей против остро го угла треугольника, можем написать
ВС2= |
АС2 + АВ2 — 2ЛС • AD |
||
или |
|
|
|
(30 — х)2= |
242 + л:2 - 2 - 2 4 - -J-. |
||
Отсюда |
|
|
324 = 36л:; х — 9. |
900 — 60л: -f л:2 = |
576 + л:2 — 24л:; |
||
Следовательно, |
9; |
ВС = 3 0 - 9 |
= 21. |
АВ = |
|||
От в е т : АВ = 9 см; |
ВС = 21 см. |
, |
|
83
4^ |
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ , |
ПОМЕЩЕННЫМ В ПРИЛОЖЕНИИ 1 |
|||
00 |
|
|
|
|
|
ГЗ S |
|
|
Задачи |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
|||
CQ о. |
|||||
1 |
1 |
*i = 4; |
2х(х — 1) |
х%— 1 |
х < 0 ;
2
х > 3
12 мин',
1 ч
_8_ 5 '
„ _ я ( 2 * + 1 )
8
(4; 5);
3_
32;
2
|
1 * |
■ог• |
|
Й |
m 2 s i n a |
е д . |
|
! чГ |
sin*^L |
|
|||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
со |
• |
а |
|
|
- i3- я R* |
|
— |
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
- ( l - s i n - ^ ) |
2+ sin y j |
куб. ед. |
|
||
X — |
п ( k — |
1 ), |
я <РsinP cos2 ft |
куб ед |
|
4 sin3 |
|
||||
где k = 1, |
2, 3 |
|
|||
Xi =— 4“ |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
24 кв. |
см |
|
|
|
|
||
Х2 = ±-g—+2 kn
|
Ва риант |
1 |
|
5 |
50 км1ч; |
|
40 км/ч |
||
|
||
6 |
1 |
|
7 |
0 |
|
8 |
9а |
|
9 |
1 |
10(25; 16); (16; 25)
| 2
( * 4 -)
(-2 ; 4)
*= ± — +2kn
3
х = 3
Продолжение
Задачи
3 |
| |
4 |
|
— |
|
|
16,8 |
|
*х = |
arctg 2 + |
йя; |
*2 = |
з |
йя |
arctg-^- + |
2лй2 sin (a + (3) sin a sin2 p
Xsin^a + -|-jcos-|-K e. ed.
x= 7 ■
504я /q/б. сж
*i = 7; *2 — 3 * = arctg (2±)^3) + йл |
2я5 "J/^S tg |
кг/б. ед. |
0 < * < 2
/5 3 3 “
Xl = |
45° (4k + |
1); |
ft = |
30° (1 — 6k); |
|
*2 = |
30° (6Й + |
1); |
ft = |
45° (1 - |
4k) |
—
Y 8 d? sin a sin (45° + p) |
4/ |
sin2 p |
X |
X Y sin (« + P) sin (P~a ) Ke■ed.
o
— tf3 sin a ctg p ctg у куб. ед. 3
н |
|
я |
|
* сз |
|
03 к |
1 |
CQО- |
|
|
па3 У cos а |
и12sin.il
2
к(/б. ед. 2 /он;
12
2,5 /си
13349-L
12
14k = - 5
48 ябл.
15
60 ябл.
16 1000 пт
2
*i = —1;
х2 = —1.5
х1==JL; хг= — 1 2 2 2
Ж= _ J L + йя 3
0
2/2cos2-|-sin(45°+a)
cos а
1
Задачи
3
х, = — -учкп-,
1 2 *2= (-!)*• 40- + Ая
21А2* s in ^ - j-— a j sin 2а
л: — 1
a) atj= -1 - 4-
5
jc2 = arctg -g- +kn\
б) л; = 4
(~ПГ 2 ): ООО:- 1 )
&зт
“ 3“
Продолжение
4
2зха2 sin 6 sin а ^ ^ cos а |
^ |
|||
|
w |
2 |
|
2 |
/се. |
sin а |
|
|
|
ед |
|
|
|
|
|
зт£>2 |
кв. |
л |
|
|
sin2 а |
ед. |
|
|
|
|
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
г 4 |
а3 sin а cos* а |
куб. |
ед. |
|
2a3sin Р cos3/ 45°---- я - ) |
|
|||
|
' |
|
' |
кв. ед. |
|
cos а |
|
|
|
2а6 sin а ]/"—ab cos а /а/6. ед.