Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 43

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ОШИБКИ В РЕШЕНИИ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ

Рассмотрим ошибки, наиболее часто встречающиеся на вступительных экзаменах по математике.

1.Ошибки по алгебре

1.Нарушается порядок действий при выполнении тож­ дественных преобразований. Например, выражение

 

1 _ У"*

. У х— 1

 

 

х — 1

X

 

преобразовывалось следующим образом:

.

У х

 

х — У х — 1.

1

х - 1

~

х — Г ’

х -г -У х -I

 

y j - i

и т. д.-

X— 1

 

X

 

 

Абитуриенты забывают, что сначала выполняются

действия высших,

а затем

низших ступеней. В приведен­

ном примере следовало вычитание произвести после вы­ полнения деления дробей.

Довольно часто нарушается правило раскрытия скобок.

Многие не знают,

что в дробном выражении,

записанном

с помощью черты,

последняя заменяет собой

скобки. Все

это приводит к ошибочным записям. "

Примеры.

1) ( У х + У х — а 2) ( У х — У х — а 2) —

х — (х — а2) = — а2.

10

0,

,

a2 -j- Ь2. _ 2ab — а2 + Ьг

•

 

>

1

ш>

 

ш

 

Надеемся, читатель самостоятельно выявит характер до­

пущенных ошибок.

 

 

 

2.

 

Наблюдаются

случаи, когда при тождественных

преобразованиях

алгебраических

выражений абитуриенты

«отбрасывают»

общий

знаменатель

складываемых дробей.

Например,

допускают запись

 

 

 

 

 

2a2b

aW = З а^

+ 8‘

Общий знаменатель обычно «отбрасывают» при реше­ нии уравнений (следя при этом за равносильностью). Здесь же абитуриенты незаконно применяют метод аналогии, распространяя свойство уравнений на тождественные пре­ образования алгебраических дробей.

3. Неверно применяются формулы сокращенного умно­ жения и деления, нарушаются правила действий над сте­ пенями с рациональными показателями.

Примеры.

 

j _

_i_

1

 

1)

( а 2 + Ь 2 )- з .

 

: JL

JL

 

пг _иг

 

а 2 + 6

2

2)

= а2—Ь2.

 

Л — 0

 

’

а — Ь

 

 

 

3) т 2 — п 2 = (т — п)2

4)

а - ‘ -I- ^

^

 

 

1

1

5)

<a V

5

= (a2F -

 

__2_

 

_3_

6)

т 3

=

т 2 .

п

7) (— &*)-* = — b.

 

 

 

8) 5ix — 5м +

5 =

4x -

2x + 1.

 

9)

16г — 4г =

4г (42 — 1).

 

 

 

10)

92~л' =

92 — 9х.

 

 

 

 

Рекомендуем читателю найти ошибки самостоятельно.

4.

Неверно производятся действия над радикалами.

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

1) у а3 ■у 4Ь = 4а3Ь.

 

 

 

2)

у а3 ■3/

46 =

у' 4а3Ь.

 

 

 

3)

У V — I)4

=

,

 

 

 

 

 

V (X - I)4

 

 

 

 

 

 

Следует помнить,

что

нельзя

перемножать

и делить

подкоренные

выражения,

если

радикалы не

приведены

кодному показателю.

5.Дробь ошибочно считается равной ее степени ил корню из нее.

Примеры.

.,

2а Y о,3— ЬS"

 

4а2 (а3 — Ь3)

 

'

а3— Ь3

 

(а3— Ь3)2

 

о\

(а — Ь)3

 

а — Ь

 

*

_L 2_

_

_L

'

 

(а3 + 6 3 )3

 

а 3 + 6 3

 

6.

Сокращение

дробей производится с грубыми нару

шениями существующих правил или не производится

вообще.

 

 

Примеры.

 

 

2т + 2 (т + п)3

2т + 2 (т + п)

1) (т + я)2 (2т + п)

2т + п

12

(сокращено одно из слагаемых

числителя

данной дроби

на множитель знаменателя).

 

 

-

4/ а « - ^ 6 «

 

V

2) -гЁг

4/ 7 - 4/ F

_ V

У '

у а ■-Уь “

(сокращены отдельно соответственно уменьшаемые и вы­

читаемые

разностей).

 

У аЧ (а У а + Ь У b)

а У аЬ( аУ а - \ - Ь У b)

'

Уа + Y F

Уа-\-У~Ь

(дробь не

сокращена на

(Уа'+ У ь ) ) .

- 7. Часто вместо простейшего общего знаменателя дро­ бей находят общий знаменатель, что значительно услож­ няет математические выкладки.

Примеры,

а - а ? х

-

1

а + а?х — х — ах2

 

1)

 

 

 

 

х-\- У с

 

х + у^ах2

 

 

 

 

 

 

(до приведения

к

общему

 

знаменателю дробь

следовало

сократить

на (у

х

3/--..

 

 

 

 

у

а)).

 

 

 

 

а2 — Ь У o'

.

З/т

 

а2 — Ь У а -у а У~а У Ь — а У Ь2

2)

■Vb

-У а У Ь —

 

У а — j/ Ь

 

Уа

 

 

 

 

 

сократить

(в левой части дробь следовало

предварительно

на (У а — уУb )).

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3(х

— х л (х — 2)

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(х — 2) (х

 

(вычитаемое не сокращено

на х 3).

 

 

У х

 

а

 

 

У х(х — а) — а ( У х — У а)

4) У х — У а

 

 

 

 

 

( / * ’— У а ) ( х — а)

 

3 в. А. Тупиков

13

Смотрите также файлы