Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 39

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5

Рис. 8

вания ВС. Точку А соединим с

точкой

К; АК ± ВС — по

теореме

о трех

перпендикулярах.

Z SKA—

линейный угол двугранного

угла

ВС\

Z SKA = я; ВК =

КС,

так

как

ABSC — равнобедренный.

Че­

рез сторону основания ВС прове­ дем плоскость BDC J_ AS. Тогда BD 1 Л5 и CD_\_AS. Следовательно, /, BDC — линейный угол искомого двугранного угла AS. Обозначим его через х. BD = CD, как со­ ответственные высоты в равных треугольниках, а значит, треу­

гольник BDC — равнобедренный. Построим

отрезок

DK\

DKA-BC-, /_BDK = ~

(DK — медиана

и

биссектриса

равнобедренного треугольника BDC).

 

х

ВК

 

Р е ш е н и е . 1)Из

 

 

 

прямоугольного a BDK s i n - j ^ ^ .

 

2) Выражаем ВК и BD через КО.

 

 

 

 

 

 

КО = ±_АО, .

 

 

 

где АО — радиус окружности, описанной

около равносто­

роннего А АВС.

 

 

 

 

 

 

в с = АО V s , в к = к о у ъ . -

 

Из

прямоугольного

AKSO KS = КС)

 

 

 

из

прямоугольного

ABSK BS = V~KS2 +

ВК2.

 

 

Находим

 

 

 

 

 

 

AS — BS —

 

= ^ / 1 + 3 0 0 5 * 0 .

 

78

Так как треугольники BSC и ASВ равные, то

их пло­

щади равны, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

S asb =

S bsc

=

 

 

=

B K - K S =

К О / 3 •

-

W2lA3

С другой стороны,

 

 

 

 

 

cos а

 

В£>-y4S

 

 

 

 

 

 

 

S asb

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отсюда

2SASB .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BD =

BD =

 

2Д'02 ■]/"3

cos а

2КО-УЗ

<4S

 

cos а КО у i

 

з (

VT+3у 1-j-6-cos2с а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i cos2 а

3) Находим двугранный угол между боковыми гранями

пирамиды.

 

К О -уу у 1+3 C0S2a

_ У 1+3 cos2 a

 

ВК

 

Sin-тг = BD

~

 

 

2КОУТ

 

 

2

 

Учитывая,

 

что

/_ BDK =

---- острый угол прямоуголь­

ного треугольника,

имеем

1^1+3 cos2 a

 

 

 

 

 

х

 

 

■

 

 

 

 

 

~2

= arcsin..Е ^ 2-------

 

 

отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х —

0

•

У I + 3 cos2 а

 

 

 

 

 

2 arcsin——

--------.

 

 

И с с л е д о в а н и е

р е ш е н и я .

 

Допустимые

значения

угла а

определяются

неравенством

0 <

Задача при

указанном значении угла а всегда имеет решение, причем оно — единственное. Допустимые значения угла х опреде­

ляются неравенством

< х < я- Величина угла х убы­

вает с

возрастанием угла а.

От

в е т : х —2 arcsin

У 1 +3 cos2 а

79

В а р и а н т 3

1. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если пере­ ставить цифры этого двузначного числа, то отношение вновь полученного числа к первоначальному окажется рав­

ным

Найти двузначное

число.

Р е ш е н и е .

Введем обозначения:

 

х — число

десятков искового числа;

 

у — число единиц искомого числа;

10лг+ у — искомое число.

 

'

По

условию задачи

 

 

 

 

х + у = 9,

 

 

 

10г/ + х

_

3

 

 

10х + у

~

8

Из первого уравнения системы найдем

у = 9 — х.

Подставляя значение у во второе уравнение системы, получим

10 (9 — х) + х

3

Юя + Э— *

— Т ’

отсюда

- З ^ Р = -§": 80 - 8х = Зх 4- 3; 11х = 77; х = 7.

Находим

у = 9 — 7 = 2.

От в е т : 72.

2.Решить уравнение

Y V 23х~'

~

у зг0'6^ 1'8

= о.

Р е ш е н и е . Область

допустимых значений неизвестно­

го х — множество действительных чисел

х ф 1 и хф ~j.

80

Перепишем данное уравнение в виде

* -’/ з*-1

 

„

У 2

»

=

/’ i ,5 (0,6л:—1,8)

ИЛИ

 

Зх—1

Зх—9

 

 

 

2зи—I) _

2ix~1.

Так как степени

числа 2

равны, должны быть равны

и показатели этих степеней.

 

 

Зле — .1

Зх — 9

 

3 (х—1) ~

Зх — 7 '

Приводим дроби к общему знаменателю и освобождаем­ ся от него ^при условии х ф 1 и-хФ -~ -

9х2 — Зх — 21х 7 = 9х2 — 9х — 27х + 27.

Отсюда

 

12х = 20; х

_5_

 

3 ‘

 

 

 

 

 

Так как из области допустимых значений неизвестного

исключены значения

х =

1 и х =

-д-, при которых урав­

нение теряет смысл,

то

проверка

полученного корня не

является составной частью решения данного уравнения.

гч

5

 

 

 

 

О т в е т :

х = -д~.

 

 

 

 

3. Решить неравенство

 

 

 

lg V х — 2 + 0,5 lg (Зх — 5) > 2 ‘

Р е ш е н и е . Левая

часть

неравенства имеет смысл, если

 

| х — 2 >

0;

или

X > 2;

 

13х — 5 > 0

 

х > —з~-

 

 

 

 

 

Следовательно, область допустимых значений неизвестного х > 2.

81

Смотрите также файлы