Файл: Гром, В. П. Экспресс-анализ данных сдаточных испытаний судов с помощью бортовой ЭЦВМ.pdf

наглядно она может быть представлена в случае, когда гипотеза G0

определена путем ограничений, наложенных на одномерный пара­

метр закона распределения, например θ ≥ θ,*

В обозначении и наименовании этой функции в литературе имеет место расхождение. В некоторых источниках она обозначается

через W,(θ) и именуется функцией мощности критерия. Однако

в большинстве случаев обозначение fl∕(θ) и упомянутое наименова­

ние относится только к величине, определяемой соотношением

Это обозначение и принято в настоящей работе.

Вероятность ошибки первого рода а при этом определяется как

Гипотеза Gj при альтернативном задании не проверяется.

Если гипотезы G0 и Gi заданы эквивалентным образом, напри­ мер в виде точечных значений θ0 и θɪ параметров, возможна про­

верка каждой из них как таковой, при этом показателями критерия проверки являются вероятности ошибок первого и второго рода. Величина ошибки первого рода при проверке гипотезы G0 опреде­ ляется из соотношения

P{S(x) sS∕θo} =αoo∙ (9)

Индексация введена вследствие необходимости отличить соотно­

шение (9) от

P {ЭД ∙⅛>7θ1} = (10)

определяющего вероятность ошибки первого рода при проверке гипотезы Gi.

Аналогичным образом определяются вероятности ошибок вто­

рого рода: принять гипотезу G0 при ее проверке, когда верна Gb

каждой пары величины вероятностей ошибок первого и второго рода зависимы. Если допустимые значения вероятностей ошибок первого рода заданы, они могут быть обеспечены выбором критиче­ ских множеств S<c0> и sω, чем, в свою очередь, однозначно опре­

деляются величины βoι и βιoЕсли статистика S (х) является одно­

мерной, зависимости величин вероятностей ошибок первого И ВТО­ РОГО! рода от выбора Sκp могут быть представлены графически.

Такие кривые изображены на рис. 1—4.

Статистические критерии характеризуются понятиями состоя­

тельности и несмещенности. Состоятельность критерия означает, что при объеме наблюдений N → ∞ можно указать такую критическую

область, что вероятности ошибок первого и второго рода будут

равны нулю. Требование несмещенности заключается в том, что при проверке гипотезы G0 против альтернативной гипотезы Gi, вклю­

чающей в себя множество (может быть, бесконечное) распределе­

ний, вероятность принятия ни одного из них не должна быть

больше, нежели распределений, входящих в G0.

Рис. 1. Вид функций плотностей вероят­

Таким образом, задача разработки статистического критерия

для проверки гипотез о распределениях заключается в выборе такой

статистики S (я), которая обеспечивала бы наилучшее разделение

распределений, входящих в G0 и Gi. Однако практическое решение

этой задачи в каждом случае очень затруднительно.

Если гипотеза G0 определена как класс каких-то распределений,

а к Gi отнесены все распределения, не вошедшие в G0, стремятся отыскать такую статистику S(я), распределение которой могло бы быть определено и оставалось бы неизменным для любого распре­ деления случайной величины, входящего в G0, и в критическую

область S(я) >Sκp включают те значения S(я), которые наименее

вероятны именно при этом распределении статистики S(я). При использовании этих критериев никакие конкретные конкурирующие

гипотезы из Gi не рассматриваются. Объясняется это не только

невозможностью перебора всех гипотез из Gi, в результате чего

исследование было бы неполным, но и тем, что распределение ста­ тистики S (я) для распределений, не входящих в G0, неизвестно, и

потому проведение такого исследования просто невозможно.

Именно таким является наиболее широко используемый критерий

Пирсона χ2. Распределение статистики

20

также отличается от распределения χ2. Поэтому при проверке гипотез о распределениях по критерию χ2 имеет место погрешность

случайной величины, так и из-за конечного объема наблюдений.

В основу предлагаемого программно-логического метода про­

верки статистических гипотез о законах распределения наблюдае­

мых дискретных случайных величин положен принцип статистиче­

ского моделирования на ЭЦВМ некоторых вероятностных моделей,

связанных с мерами теории информации. В работе [8] теория

информации рассматривается как ветвь теории вероятностей и ма­

тематической статистики. Непосредственно книга посвящена

вопросу применения логарифмических мер информации к проверке

статистических гипотез в плане унификации методов статистики.

Вводится определение собственно информации с этой точки зрения,

а также информационных мер, характеризующих различимость статистических гипотез, рассматривается интерпретация в понятиях

теории информации целого ряда вопросов математической стати­

стики, выдвигается идея создания некоторых информационных кри­

териев для проверки статистических гипотез, однако все эти во­

просы разработаны в теоретическом плане.

При создании методики принята легко реализуемая на ЭЦВМ

программно-логическая модель (рис. 5) метода максимального

правдоподобия для случая дискретной случайной величины и пока­ зана связь ее с мерами информации. В результате проведенных

исследований удалось разработать:

—некоторые асимптотические свойства информационного кри­

терия максимального правдоподобия, названного в работе Q-крите-

рием, позволяющим определять вероятности ошибок первого и вто­ рого рода;

—методику и машинные алгоритмы реализации Q-критерия,

учитывающие фактический точный объем выборки;

—машинные программы реализации программно-логического

метода;

—проверки гипотез;

—методику построения областей значений параметрических

законов распределения по заданным ошибкам первого и второго рода и априорного оценивания необходимых объемов выборок.

22

Вероятность произвольного, исхода выборки объема N из гене­

ральной совокупности дискретной случайной величины х, прини­

мающей значения X0,Г Xi, • ■ ∙, x>∙ с вероятностями P0, Pi, ..., Pr соот-

ветственно, так что ɪ Pl=^ , равна

і=0

(14)

r

где ɪ Ni = N.

Z = (I

Полиномиальное распределение (14) может быть представлено произведением частного биномиального и условного полиномиаль­

ного распределений

где

V∕7=ι. (20)

ZI1X

Вдальнейшем все выкладки производятся для условного поли­ номиального распределения (16). Его совпадение с полным распре­

делением (14) рассматривается как частный случай. *Индекс везде-

опускается.

Запишем логарифм вероятности, определяемый соотноше­

нием (16),

24