Файл: Гром, В. П. Экспресс-анализ данных сдаточных испытаний судов с помощью бортовой ЭЦВМ.pdf

Введем обозначения

совокупности дискретной случайной величины, имеющей гипотети­

ческое распределение s.

можно получить предельные значения для величины Ql(Z) при объеме выборки, стремящемся к бесконечности. При этом удобнее

в выражениях (21) — (23) принять натуральное основание логариф­

При n→ ∞ можно считать щ—пРі, так что

Аналогично можно найти предел для Q2 (/ : s)

средняя информация от наблюдения распределения j для различия

в пользу гипотезы j против гипотезы s:

∑plj^U : s). (31)

Í(≤ JJ-

Вработе [8] доказана выпуклость функции /(/ : s) как для не­

прерывных распределений, так и для дискретных, т. е.

26

Величина Q(/:s) может служить статистическим критерием.

Его состоятельность, очевидно, следует из соотношений (32), (33).

Распределение Q-критерия для каждой пары распределений / и s

и заданного объема выборки п должно быть определено достаточно

точно. Только в этом случае можно будет количественно совер­

шенно точно охарактеризовать различимость любых выборок и ста­

тистических гипотез при любом заданном объеме выборки п,

а также решить обратную задачу — определения (именно точного

определения, а не оценивания) объема выборки, необходимого для

различения тех или иных распределений и гипотез с заданной дове­

рительной вероятностью.

Построение распределений Q-критерия для конечных объемов

выборок ЛЦ/г) может быть осуществлено путем статистического

моделирования на ЭЦВМ. Для выполнения этого следует по резуль­ татам /И-кратного моделирования выборок объема N построить эмпирическую функцию распределения критерия fN[Q(j : s)], кото­

рая будет тем ближе к истинной функции распределения критерия при данном объеме выборки N, чем больше величина Μ.

Несколько непривычным может показаться то, что сам крите­

рий, характеризующий степень доверительной вероятности, оказы­ вается протабулированным с некоторой доверительной вероят­ ностью. Однако это в действительности имеет место применительно

ко всем известным критериям. Например, распределение χ2 пред­

ставляет собой распределение суммы квадратов нормально распре­

деленных случайных величин. В случае же применения критерия χ2

для проверки статистических гипотез о законах распределения

наблюдаемых случайных величин, фактически вычисляется сумма

квадратов, имеющих распределение не нормальное, а близкое к би­ номиальному (с учетом корреляции). Степень его близости к нор­ мальному определяется количеством наблюдений на интервале

группирования. Поэтому в каждом случае (каждого нового соче­ тания) случайной выборки и статистической гипотезы критерий,

называемый χ2, будет иметь свое собственное, отличное от других случаев распределение.

Пользуясь таблицами критерия χ2, следует отдавать себе отчет в том, что с фактическим распределением критерия совпадает лишь несколько первых знаков. В случае Q-критерия эта ошибка табули­

рования, во-первых, принципиально может быть сделана сколько

угодно малой за счет затрат машинного времени при табулирова­ нии, что в случае критерия χ2 в принципе невозможно, а во-вторых,

может быть легко оценена и учтена в ходе проверки статистических

гипотез о законах распределения.

Для реализации этого подхода необходима разработка машин­ ных программ, которые при высоком быстродействии обеспечили бы достаточную точность вычисления величин Q(j:s, N), являющихся малыми разностями больших величин, и построение их эмпириче­

ских распределений. Это достигается путем ввода значений лога­ рифмов факториалов в память ЭЦВМ в табличной форме.

27

стоянная. Ограничение накладывается только на максимумы вели­ чин Ni(ιti). Ошибки оценивания вероятностей ошибок первого и

второго рода (рис. 6) могут быть оценены как ошибки оценивания параметра биномиального распределения — непосредственно или

с использованием аппроксимации-нормальным законом.

Рис. 6. Вид доверительных областей значений параметров для однопа­ раметрического (ɑ) и двухпараметрического (б) законов распределений.

Система машинных программ, включающая в себя программы расчета и статистического моделирования типовых законов распре­

деления с произвольно задаваемыми параметрами, позволяет про­

верить любую последовательность статистических гипотез. Расши­ рение управляющей программы системы позволяет априорно оцени­

вать различимость гипотез, необходимые объемы выборок и строить

опорные таблицы различимости.

§ 4. Анализ и расчет представительности статистических данных

Точность и достоверность результатов статистической оценки

непосредственно наблюдаемой случайной величины определяются

абсолютным объемом выборки, по которой производится оценка.

Применительно к программно-логическому методу это, например,

означает, что с ростом объема выборки стягиваются доверительные

области значений параметров для фиксированных уровней довери­

тельной вероятности и все больше типов гипотез оказывается воз­ можным обоснованно исключить из рассмотрения.

Однако на практике точность и достоверность статистического анализа столь однозначно абсолютным объемом выборки не опре­

деляются вследствие того, что экспериментальные данные часто бывают получены в результате наблюдения лишь некоторой части

эксплуатируемых или подлежащих проверке технических устройств.

28

И вопрос о том, в какой мере результаты наблюдения части сово­

купности могут быть распространены на всю совокупность, требует отдельного рассмотрения.

Предположим, что на 10 машинах зафиксировано 25 отказов и определены типы и значения параметров распределений времени наработки на отказ. Но в одном случае вся совокупность эксплуати­

руемых машин составляет 20, в другом— 1000 единиц. Без прове­

дения каких-либо расчетов представляется достаточно очевидным,

что о 10 оставшихся не обследованными машинах в первом случае

в том, что в современной постановке задачи статистического кон­ троля производства принимаются во внимание только показатели

среднестатистические, по большому количеству проверяемых пар­

тий продукции, тогда как в задаче анализа данных сдаточных испы­

таний каждый раз рассматривается одна-единственная совокуп­ ность изделий или машин данного типа, назначение и т. д.

Заключение по каждому проверенному изделию при выборочном статистическом контроле принимается исходя из того, удовлетво­ ряет или нет оно некоторому граничному условию. Выбор и обосно­ вание планов выборочного статистического контроля осуществля­

ются по их оперативным характеристикам. Оперативная характери­ стика плана выражает зависимость вероятности принятия партии

от степени ее засоренности дефектными изделиями.

Вид оперативной характеристики представлен на рис. 7. Для

каждого плана выборочного статистического контроля обычно ука­

зывают две ее нетривиальные точки: вероятность а браковки пар­

тии с малым содержанием дефектных изделий d↑ — риск постав­ щика и вероятность β принятия партии с недопустимо высоким

содержанием дефектных изделий d2— риск заказчика.

Такое описание является вполне достаточным для решения по­

ставщиком и заказчиком массовой продукции экономических вопро-

" сов, оно позволяет определить и многие количественные показатели

29