Файл: Гром, В. П. Экспресс-анализ данных сдаточных испытаний судов с помощью бортовой ЭЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.11.2024
Просмотров: 29
Скачиваний: 0
качества массовой продукции. При этом схема решения будет сле
дующей: расчетчик задается некоторым количеством дефектных
изделий в партии, определяет соответствующие ему издержки (для
поставщика, возможно, и выгоды) и сопоставляет с вероятностью
принятия или браковки такой партии.
Сопоставив результаты расчетов для партий различной засорен
ности и различных планов контроля (т. е. различных оперативных
характеристик), можно выбрать план контроля, который в среднем,
по большому количеству партий продукции, гарантирует достиже ние той или иной цели. Но следует иметь в виду, что результирую
щая эффективность любого плана выборочного статистического
контроля зависит от закона распределения числа дефектных изде
лий в партиях.
Возможны такие сочетания плана контроля и распределения
числа дефектных изделий в контролируемых партиях, что проведе
ние контроля увеличит засоренность дефектными изделиями прове
ренной продукции по сравнению с непроверенной — такой пример
приведен в работе [4]. Это означает, что при выборе плана кон
троля расчетчик должен исходить из некоторой концепции о распре
делении числа дефектных изделий в партиях и принимать некото рый мажорантный вариант контроля.
По результатам полного контроля или исходя из других сообра
жений эта концепция может быть проверена и даже определено это
распределение, уточнена эффективность контроля и при необходи мости изменен план. Но для одиночной партии нужно решать
обратную задачу, а именно исходя из результата ее выборочного контроля определить вероятности наличия в остатке партии того
или иного количества дефектных изделий.
Ниже дается вывод такого распределения вероятностей. Изло жение материала ведется в терминологии, принятой в статистиче
ском контроле производства.
Если в партии объема содержится (d- -x) дефектных изде
лий, то вероятность попадания в выборку объема N именно d де фектных изделий записывается с помощью гипергеометрического
распределения
P (М d R, d ɪ л) = |
|
• |
(34) |
||||
Вероятность наличия |
х |
дефектных изделий в остатке партии при |
|||||
условии того, что в |
выборке их оказалось |
d, |
может быть |
записана |
|||
по формуле Байеса |
N, d) ≈ |
^(^d R,d + x)P(d + x)..., |
(35) |
||||
P (х R, |
|
|
|
|
|||
∑ P (N. d R, d + z)p (d+z)
Z-O
где
, x≈Q,R-N. (36)
30
Тогда
|
cci |
K-N |
|
cx |
|
P (xιR, N, d) |
^N |
R-N |
cd+x |
||
|
cR |
|
R-N
— n'R~n (R,-N) N
Cd Cx Vl
Qd-γx R\
(d + z) (R — d — z) V1
z d (R-N — zy.(N-dy. /
Z==O
s>d (-'X |
( І ɪj Cz+dCR-z-^ |
rN |
cNcR-N |
cR |
|
Qd-γx |
(jd-i-x rN+ l |
|
|
z=0 |
c/?-H |
AH-I_ cncr-n
r+x C^x
(37)
Примечательно, что тот же результат может быть получен дру
гим путем — условно 'считая, что доля дефектных изделий в партии
может принимать любые значения от нуля до единицы, т. е. является непрерывной величиной. Тогда для q — вероятности случайно вы
бранному изделию оказаться дефектным, по результатам выборки можно записать функцию правдоподобия
|
|
|
T(<z) = ^(1-<7)λ'Λ |
|
|
(38). |
|||
а через нее — вероятность того, что |
в остатке |
партии содержится |
|||||||
X |
дефектных изделий |
|
|
|
|
|
(39) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Раскрывая |
PYdR, N,d) = l Crx -nqxY - q)R-N-xL(q)dq. |
||||||||
L(q) |
и используя выражение для |
бета-функции, |
полу |
||||||
чаем |
|
о |
|
|
|
|
|
||
P (x∕R, N,d) |
= ∫ <W+' (1 - |
q)R-d~x dq = |
|
||||||
|
|
і |
|
|
|
||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ɪ-hɪ+1____ |
cN0K-N |
|
|
(40) |
||
|
|
|
|
R |
|
cdγrx ' |
|
4j' |
|
Выполнение соотношения
r∑P(x R,N,d) =
х=0
очевидно из формулы (35) и может быть доказано с помощью соот ношений и выкладок, использованных при выводе формулы (37).
31
Математическое ожидание величины |
х |
(41) |
|||||
|
|||||||
|
|
|
R-N |
|
|||
M { xl'R, N,d} = ∑xP(х R, N, d) |
|||||||
|
|
|
|
.V=O |
|
||
с использованием подстановки вида |
|
|
|||||
x-- =x'; |
d+l=d'; |
N+I = N' |
|
||||
преобразуется к виду |
|
|
|
|
(42 ) |
||
M |
I |
X R, N, d ] =.. |
. |
|
|||
Двойной подстановкой такого вида может быть получено выра |
|||||||
жение для дисперсии |
|
|
(/?~Д(2+1) × |
|
|||
D { |
х R, N, d} = |
|
|
||||
х/ ^1 |
|
(R — N) (d + 1) |
|
, (R - N- 1) (d + 2) |
|
||
ʌ . |
|
-V ■ |
2 |
"^t^ |
n + 3 |
|
|
Табулирование распределения с достаточной точностью в широ
ких пределах по' R возможно на современных ЭВМ, если использо
вать таблицу логарифмов факториалов. Вычисления осуществля
ются по формуле
log P (x lR, N, d) = leg (N + 1)! + log (∕? — /V)! —
- log d — log (N — dy. — log x! — log (R — N — x)l —
— log (R φ-1)! - - log (cZ ɪ л)! + log (R — d — x)! |
(44) |
Соотношение (37) позволяет по результатам выборочного кон |
|
троля партии определить распределение вероятностей |
наличия |
в остатке партии любого количества дефектных изделий от нуля до
(Д — (V).. Вероятность того, что количество дефектных изделий за
ключено в пределах (Л'і, x2), вычисляется по формуле
P(xuxiR, N, d)-^P(xR, N,d). |
(45) |
|
.V ≈ .ri
Приведенные соотношения и формулы могут быть использованы для анализа представительности данных об отказах и наработках,
полученных в результате наблюдения некоторой части всей совокуп
ности эксплуатируемых или подлежащих проверке изделий или машин. Например, если из N машин, проработавших свыше 100 ч,
в течение этого времени имели отказы d машин, можно вычислить
вероятность того, что из остальных (R— N) машин в течение 100 ч
будут иметь отказы не более s машин:
P(x + s R, N,d) = y,P(X R, N, d). |
(46) |
х=0
32
Единственным условием применимости предлагаемого матема тического аппарата является случайный характер выбора изделий и машин для наблюдения. Выделение из выборки может осуществ ляться не только по признаку дефектности, но по любому другому.
Полученные соотношения позволяют построить удобные графи
ческие зависимости для выбора и осуществления планов выбороч
ного контроля. Например, на |
рис. 8 изображен вид графика для |
|
определения объема выборки, |
необходимого |
для подтверждения |
с заданной вероятностью бездефектности всех |
изделий в остатке |
|
Рис. 8. Вид графиков плана выборочного контроля для опре деления вероятности отсутствия дефектных изделий в остатке партии.
Отдельные ветви графика построены для фиксированных значе
ний количества дефектных изделий в выборке и выражают зависи
мость вероятности P (х—0/R, N, d) полного отсутствия дефектных
изделий в остатке партии от объема выборки. Ветви, соответствую щие меньшим значениям d, располагаются соответственно выше.
Горизонтальная штриховая линия означает значение вероятности,
которое необходимо подтвердить. В ходе последовательного кон
троля изделий осуществляется движение по ветви вверх, с появле нием на контроле дефектного изделия — переход на ветвь, располо женную ниже. И так до достижения заданного уровня вероятности
пли до прекращения контроля по другим причинам.
В зависимости от стоящей задачи графики могут быть построены
для любых — точечных и |
интервальных — значении |
х, |
для фикси |
|||||
рованных |
объемов партий (переменный объем |
остатка партии — |
||||||
∕< = const, |
R— |
7V |
= var) |
и, наоборот, |
для фиксированных объемов |
|||
остатков |
партий |
(переменный объем |
партии |
в целом — /? = ѵаг, |
||||
R — τV = const).
§ 5. Анализ точности аппроксимации результатов измерений при наличии случайных погрешностей
Материал параграфа не относится к тем основным положениям,
на которых построена методика экспресс-анализа данных сдаточных
3 В. П. Гром, Р. В. Кузьмин |
33 |