Файл: Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра основ радиотехники

С. И. БАСКАКОВ

Утверждено Учебно-методическим управлением МЭИ

в качестве учебного пособия для студентов

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Редактор В. Н. КУЛЕШОВ

П Р Е Д И С Л О В И Е

Качественный скачок, произошедший в радиоэлектрони­ ке за последнее десятилетие в связи с возникновением и развитием технологии микросхем, во многом повлиял на формирование новых подходов к решению задач теории электрических цепей. Оказалось, что при чрезвычайно плот­ ной «упаковке» схемных элементов в устройствах микро­ миниатюрного типа весьма вероятной становится ситуация, когда взаимное электромагнитное влияние элементов друг на друга, ранее считавшееся паразитным эффектом,

ся схемными элементами в окружающем пространстве. По­ добный подход характерен для электродинамических задач, решаемых исходя из уравнений Максвелла. В известном смысле можно говорить о том, что уменьшение физических размеров радиоэлектронных устройств заставляет в некото­ рых случаях стереть грань между описанием системы в тер­ минах токов и напряжений, с одной стороны, и электромаг­ нитных полей — с другой. Особенно ярко это проявляется при микроминиатюризации устройств СВЧ — диапазона, когда приходится рассматривать схемные элементы, геомет­ рические размеры которых недостаточно велики для того, чтобы анализировать их работу методами волновой теории, а также недостаточно малы для того, чтобы полагать их со­ средоточенными элементами.

Чрезвычайно важной современной тенденцией в радио­ электронике является стремление к поиску внутренней структуры динамических систем, частным случаем которых являются электрические цепи, которая обеспечивала бы функционирование, оптимальное в том или ином смысле. Синтез электрической цепи по заданным характеристикам является, вообще говоря, неоднозначной задачей, причем

3

Г л а в а I

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Основные положения

1. Поведение любой линейной электродинамической си­ стемы полностью описывается системой уравнений Макс­ велла

родинамических систем особую роль играют часто встреча­ емые на практике системы, обладающие цепной структурой. Отличительным признаком цепной структуры является су­ ществование некоторого множества физических пространст­ венных областей As (/= 1, 2, ...), соединенных между собой системой проводников.

5

Пример цепной структуры изображен на рис. 1.

Строгое решение уравнений Максвелла, в результате ко­ торого могут быть найдены электромагнитные поля в лю­ бой точке пространства, для подобной конфигурации встре­ чает огромные, чаще всего непреодолимые математические трудности. Однако применительно к цепным структурам

в ряде случаев удается путем соответствующей идеализации использовать феноменологический метод описания, базиру­ ющийся не на концепции электромагнитного поля, а на не­ которых интегральных характеристиках поля. В результате мы приходим к известной из электротехники теории цепей.

3. Отличительной чертой системы (1) является ее линей­ ность. В дальнейшем мы будем полагать, что этим свойст­ вом обладают уравнения, описывающие .поля как внутри областей А,-, так и вне их. Физическая система, описываемая линейными уравнениями, также называется линейной си­ стемой. Как важнейшее следствие отсюда вытекает при­ менимость принципа суперпозиции.

Отметим, что по причинам математического порядка наиболее общие результаты могут быть получены именно для линейных систем.

Идеализация, применяемая при описании элементов цепной структуры

• 1. Проводники. Первым этапом на пути к феноменологи­ ческому описанию цепной электродинамической структуры является предположение о бесконечно тонких проводниках. Мы абстрагируемся от того факта, что по сечению реально­ го проводника ток проводимости распределен с некоторой

6

конечной плотностью. Существенным является лишь то, что из некоторого объема V по проводнику уносится некоторый ток электрических зарядов I, являющийся скалярной вели­ чиной (рис. 2), причем

Заметим, что в зависимости от знака последнего интег­ рала ток может быть как положительным, так и отрица­ тельным.

Другой идеализацией является предположение о том, что проводник выполнен из материала с идеальной прово­ димостью. Такое допущение не является обязательным и в

ряде случаев может быть устранено, однако оно очень удоб­ но, поскольку в силу граничных условий на поверхности идеального проводника [1] независимо от формы простран­ ственной кривой проводника L выполняется следующее ин­ тегральное соотношение:

будем понимать элементы того множества пространствен­ ных областей, пример которого изображен на рис. 1. Внут­ ри каждого элемента совершаются те или иные линейные электромагнитные процессы, во всех других отношениях вил тренняя структура каждого элемента совершенно произ­ вольна. В такой же мере произвольной является и прост­ ранственная граница каждого элемента. Здесь можно усмот­ реть полную аналогию с «черным ящиком» — понятием, широко применяемым при рассмотрении электрических сиг­

7

вести первый закон Кирхгофа, гласящий, что алгебраиче­ ская сумма токов, входящих в узел, равна нулю.

Действительно,

Воспользовавшись теоремой Остро'градского-Гаусса, полу­ чим

Введение понятия напряжения в теории цепей

1. Феноменологический метод описания цепной структу­ ры как электродинамической системы может быть действен­ ным лишь в том случае,, когда его результаты оказыва­ ются инвариантными относительно таких деформаций про­ водников, при которых топология системы остается неиз­ менной. Если данное свойство выполняется, то возникает возможность перейти от цепной структуры к ее абстрактно­ му образу — принципиальной схеме. Последний результат чрезвычайно важен, поскольку он дает возможность абстра­ гироваться от пространственно-геометрических форм элект­ родинамической системы.

2. Возможность замены цепной структуры ее принципи­ альной схемой базируется на том факте, что при некоторых ограничениях удается сформулировать интегральный закон, определяющий поведение вектора напряженности электри­

ческого поля Е. Рассмотрим важнейшую структуру в теории цепей — простой контур, изображенный на рис. 4. Здесь полагается,что элементы 1—2 и З —4 являются пассив­ ными, в то время как элемент 5—б — генератор, внутри ко­ торого существует сторонняя напряженность электрическо­

го поля Ест- 3. Соединим зажимы элементов воображаемыми линия­

ми, проходящими вне выделенных областей так, как это по­ казано на рис. 4. Назовем математическим контуром L замк­ нутую кривую, состоящую из отрезков проводников и от­ резков произвольных кривых вне областей, которые изобра­ жены пунктиром.

Криволинейные интегралы вида

U = J ЁШ,

L

9