Файл: Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf

Границы применимости квазистатического приближения

Для того, чтобы наглядно проиллюстрировать вопрос о тех требованиях к элементам цепей, которые обеспечива­ ют справедливость квазистатического метода описания, рас­ смотрим задачу о высокочастотном поле в плоском конденраторе с дисковыми об­ кладками. Подробное и весьма изящное решение данной задачи методом последовательных при­

Пусть плоский кон- .

■денсатор образован дву­ мя дисковыми обкладка­ ми диаметром 2а, разде­ ленными произвольным воздушным зазором h

(рис. 10).

Всюду в дальнейшем £удем пренебрегать краевым эффектом, т. е. будем считать, что электромагнитное поле со­ средоточено исключительно в области зазора.

Если заряды на обкладках неизменны во времени, то очевидно, что поле Е будет ориентировано и распределено в пространстве так, как это указано на рис. 10, т. е. будет пространственно однородным.

Тем не менее, есть все основания считать, что при про­ текании через конденсатор переменного тока электрическое поле в нем не будет однородным по отношению к прост­ ранственным координатам. Причина состоит в том, что про­ текание тока смещения ведет, в соответствии с первым уравнением Максвелла, к возникновению неоднородного магнитного поля. Последнее, будучи переменным во вре­ мени, вызывает в силу второго уравнения Максвелла доба­ вочное неоднородное электрическое поле.

Метод анализа, принятый нами в дальнейшем, состоит в следующем. Вначале найдем цилиндрически симметрич­ ные решения уравнений Максвелла в идеальной системе из двух бесконечных плоскостей, т. е. при а-> со . Затем будем приближенно полагать, что поле на краю обкладки конеч­ ного радиуса будет таким же, как и в бесконечной системе

при г=а. Точность подобного предположения непосредст­ венно оценена быть не может, но этот факт не столь важен, поскольку наша задача касается не процедуры расчета, а по­ священа выяснению принципиальной физической стороны явления.

Цель состоит в отыскании электрического поля Ег(г) в цилиндрической системе координат (г, ф, z), удовлетво­ ряющего волновому уравнению

___ v2£* + f e = o, (35)

где ро — со V е0ц0 — 2зт/Х — волновое число.

В соответствии с физической постановкой потребуем, чтобы решение Ег{г) оставалось конечным при г —0, Данное условие вытекает из предельного перехода к однородному полю при со->-0.

Координатная запись (35) имеет вид

Решение последнего уравнения, обеспечивающее выполне­ ние поставленных условий, хорошо известно в матема­ тической физике:

Здесь /о(|Зог) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Примерный график этой функции изображен на рис. 11.

Анализируя полученный результат, можно прийти к сле­ дующим выводам:

1) Плоский конденсатор, включенный в цепь перемен­ ного тока, не является, строго говоря, электростатическим

20

элементом. Распределение интенсивности электрического поля в нем при сколь угодно низких частотах отличается от равномерного. В подавляющем большинстве практически значимых случаев данный эффект пренебрежимо мал. Если воспользоваться асимптотическим представлением функции Бесселя при малых аргументах

то легко подсчитать, что в плоском конденсаторе с радиу­

2) Если частота электромагнитного поля повышается на­ столько, что аргумент |Зоп становится в точности равным значениям корней функции /о(|Зог) (Рое=2,405; 5,520; 8,654 и т. д.), то поле на краю дисков обращается в нуль, т. е. локализуется в области между обкладками. Граничные ус­ ловия для электромагнитного поля не будут нарушены,

если обкладки конденсатора замкнуть проводящей цилин­ дрической поверхностью. В результате мы приходим к ко­ лебательной электромагнитной системе, носящей название

объемного резонатора (рис. 12).

В диапазоне СВЧ объемные резонаторы успешно выпол­ няют функции колебательных контуров, частотных фильт­ ров и т. д.

Итак, предел применимости квазистатической идеализа­ ции ставит волновой характер электромагнитного поля. Если через I обозначить характерный геометрический раз­ мер цепной структуры, то условие справедливости квазистатического метода приобретает вид р0/<С1 или 1/К-C l - Последние неравенства допускают и другую эквивалентную

21

Г л а в а II

НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЦЕПЯМ

Роль гармонических входных воздействий

Исключительная роль гармонических функций в теории линейных колебательных систем с постоянными парамет­ рами объясняется тем -фактом, что при подаче на вход по­ добной системы гармонического колебания во всех физиче­ ски интересных случаях выходной сигнал продолжает оста­ ваться гармоническим. Докажем это, основываясь на том, что поведение линейной динамической системы описыва­ ется линейным дифференциальным уравнением п-,го по­ рядка

Здесь x(t ) — искомая реакция на выходе, F(t) — функция входного воздействия, av — постоянные вещественные коэф­ фициенты, определяемые внутренней структурой системы. Положим, что

Будем полагать, что уравнение относительно переменной Q

п

23

не имеет вещественных корней. Физически это условие оз­ начает наличие в системе конечных омических потерь, что ведет к невозможности идеальных резонансов. Принимая во внимание (40) и учитывая, что (42) должно выполняться

Данное равенство доказывает первоначальное утвержде­ ние. В качестве упражнения читателю предлагается продол­

жить рассуждения и доказать, что если

П

Итак, линейная динамическая система с постоянными параметрами, и в частном случае, линейная электрическая цепь, не обогащает спектр выходного сигнала по сравне­ нию со спектром входного воздействия.

Известный теоретический интерес может представить рассмотрение идеализированного случая системы без по­ терь. При этом уравнение (43), носящее название характе­ ристического, имеет по крайней мере один вещественный корень. В случае, если частота входного сигнала численно совпадает с этим корнем, то имеет место резонансное воз­ буждение и выходная реакция становится неограниченной, изменяясь во времени по закону вида t cos соt. Более под­ робные сведения можно найти в курсах теории дифферен­ циальных уравнений, например, [6].

Операторная связь токов и напряжений в линейных цепях

1. Если выполнены все электродинамические ограниче­ ния, обеспечивающие применимость цепной идеализации, то поведение любого многополюсника полностью определяет­

ся заданием совокупности токов / к и напряжений UK на его зажимах. Рассмотрим вначале случай двухполюсника. Здесь, полагая известными мгновенное значение напряжения U(t) при любых t, можно в самом общем виде выразить мгновен­ ное значение тока I(t) следукйцим образом:

24

Здесь У —некоторый линейный оператор, действующий на функцию U(t). Факт линейности данного оператора вы­ текает из линейных свойств уравнений Максвелла. Заметим,

что с физической точки зрения оператор Y является раз­ мерным и по известной аналогии может быть назван опе­ ратором проводимости.

Линейность оператора У обеспечивает выполнение прин­ ципа суперпозиции, т. е. если

h^Y U i и h = YU2,

то

Ii~hh —У[£Л+^г]

и, кроме того,

AI =YAU —A YU,

где А — произвольная постоянная.

2. Взаимно-однозначная связь между током и напряже­ нием будет установлена, если наряду с оператором У суще­ ствует обратный оператор У-1, осуществляющий следующее

л

Применив оператор У-1 слева к обеим частям (48) и

откуда непосредственно вытекает операторное соотношение

где 1 — безразмерный единичный оператор, осуществляющий тождественное преобразование.

По аналогии с электротехнической терминологией и на

А

основании размерных свойств оператора У-1 последний в дальнейшем будет называться оператором сопротивления:

3. В случае произвольного линейного двухполюсника.

А —

запись конкретной формы операторов У н Z может быть

25

Такие формы записи говорят о том, что действие опе­ раторов сводится к умножению (значок т) тока или напря­ жения на соответствующее число,

б) Конденсатор. Здесь

откуда

t

(55)

—oo

Отметим, что прямая пропорциональность между током и напряжением в любой момент времени, т. е. обычный за­ кон Ома, выполняется только в случае активного сопротив­ ления.

4. Вообще говоря, весь класс линейных операторов не исчерпывается лишь операторами умножения на число, ин­ тегрирования и дифференцирования. Примером может слу­ жить оператор запаздывания, определяемый формулой

где а — размерная постоянная, ом,

т — время запаздывания.

26