Файл: Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf

ламп или транзисторов, то определитель матрицы ABCD ра­ вен единице:

Знание матрицы четырехполюсника в той или иной форме позволяет осуществить исчерпывающее описание си­ стемы. Так, зная импеданс нагрузки на выходе, можно без труда определить входной импеданс четырехполюсника

Отсюда, в частности, без труда получается выражение для характеристического импеданса четырехполюсника Zc,

L

т. е. такого импеданса, который будучи подключен к вы­ ходным зажимам, обеспечит равный ему по величине вход­ ной импеданс. Читателю предлагается доказать, что при выполнении условия (103)

Вторая важная задача, решаемая на основании знания матрицы четырехполюсника, состоит в нахождении коэф­ фициента передачи. Для схемы, изображенной на рис. 22,

47

коэффициент передачи в прямом направлении определяет­ ся в соответствии с формулой

Подчеркнем как очень важный факт, что коэффициент передачи, с одной стороны, зависит от 'импеданса нагруз­ ки, а с другой стороны, определяется тем направлением передачи энергии, которое выбрано в качестве прямого.

На предыдущих этапах развития радиотехники, когда повсеместно использовались ламповые схемы с исключи­ тельно высокими входными сопротивлениями, первому из перечисленных фактов не приходилось уделять должного вни­

мания и в формуле вида U2 = K-U\ просто предполагалось, что измерение коэффициента передачи проводится в режи­ ме холостого хода на выходе. Для сокращения записи мы также будем применять это обозначение, но будем иметь в виду, что при перемене местами генератора и нагрузки изменяется и направление потока энергии, так что соот­

ношение вида U\ = U2/K является в общем случе несправед­ ливым и должно быть заменено на формулу вида:

Поскольку импеданс ZH связывает собой комплексные амплитуды напряжения и тока на выходе, то на основании общих соотношений (101) получим:

Исследование свойств коэффициента передачи линейного четырехполюсника

Коэффициент передачи произвольного линейного четы­ рехполюсника, рассматриваемый как функция комплексной частоты р, может быть исследован методами, принципиаль­ но не отличающимися от тех, которые применялись ранее при изучении свойств двухполюсников. Поскольку многие методы и результаты здесь аналогичны, ограничимся более кратким изложением.

48

Аналитичность коэффициента передачи четырехполюсника

Рассмотрение общей схемы на рис. 22 по методу кон­ турных токов приводит к выводу, что при любом импедан­ се нагрузки коэффициент передачи выражается в виде дробно-рациональной функции с вещественными коэффи­ циентами:

Расположение особых точек коэффициента передачи

Определим импульсную характеристику g(t) четырех­ полюсника как функцию, описывающую выходную реак­ цию при подаче на входные зажимы импульсного напряже­ ния вида б(^) в момент времени t —Q. Поскольку по опре­

Данное спектральное представление может быть анали­ тически продолжено на всю плоскость комплексных частот (см. главу III). В результате будем иметь

с

Поскольку импульсная характеристика должна удовлет­ ворять очевидному требованию g ( t ) = 0 при £< 0, то функ­ ция К(р), подобно импедансу двухполюсника Z(p), не должна иметь полюсов в правой полуплоскости. С другой стороны, при V>0 импульсная характеристика должна быть вещественной функцией, откуда вытекает условие, налагае­ мое на коэффициент передачи:

К этому же выводу можно прийти и с другой стороны, учитывая, что все коэффициенты в многочленах, входящих в (109), являются вещественными числами.

Рассматривая входные импедансы двухполюсников, мы были жестко ограничены требованием, согласно которому Z (р) или Y(р) обязаны были быть положительными веще-

ственными функциями. Применительно к четырехполюсни­ кам данное требование должно быть снято, поскольку от­ рицательность K(ia>) на некоторой физической частоте со просто означает дополнительный фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами на ±зт радиан. Отсюда не­ посредственно. вытекает, что никакого ограничения на сте­ пени числителя и знаменателя в (109) не существует.

Наконец, существеннейшее отличие между четырехпо­ люсниками и двухполюсниками с точки зрения их частот­ ных характеристик может быть усмотрено, если вспомнить, что иммитанс двухполюсника, обладающего свойством ус­ тойчивости, не может иметь нулей в правой полуплоскости комплексной частоты р. Этот, по сути дела, математиче­ ский факт является следствием того физического положе­ ния, что операторы Z(p) и У(р), действующие на комплекс­ ные амплитуды, являются взаимно-обратными.-

z{p)=.Y-'(Py, Y(p)=z-l(p). (из)

Если обратиться к случаю четырехполюсников, то это ста­ новится уже неверным: при перемене местами генератора и нагрузки обратный коэффициент передачи fC06p(t©) уже не будет равен в общем случае Кпр~1(ш). Отсюда вытекает, что для четырехполюсника, обладающего нулями коэффи­ циента передачи в правой полуплоскости, импульсная ха­ рактеристика gofjp(t), снятая в условиях обратного направ­ ления распространения энергии, не будет непременно об­ ладать конечными значениями при t<g0. Наглядным приме­ ром устойчивого четырехполюсника, имеющего нуль коэф­ фициента передачи в правой полуплоскости, служит мосто­ вая схема, собранная из элементов г и С (рис. 24). Эле­ ментарный расчет, предоставляемый читателю, показывает, что здесь

(114)

так что z = l/rC>0.

Устойчивые четырехполюсники, коэффициенты передачи которых не имеют нулей в правой полуплоскости, носят название минимально-фазовых цепей. В противоположность этому те цепи, для которых это свойство не имеет места,

принадлежат к цепям неминимально-фазового типа.

Данная терминология связана со следующим обстоятель­ ством. Рассмотрим комплексную плоскость, на которой обозначены две произвольные точки Z\ и 22,— в левой и

80

правой полуплоскостях соответственно (рис. 25). Предпо­ ложим, что эти точки являются нулями коэффициента пе­ редачи некоторого четырехполюсника. Каждому из нулей соответствует свой вектор, указанный на рисунке, вращаю­ щийся при изменении физической частоты ад. Разница со­

стоит в том, что вектор Vzi при изменении частоты от — °о до + оо увеличивает фазу коэффициента передачи на я радиан (от —я/2 до я/2), в то время как вектор VZ2 умень­

шает фазу коэффициента передачи на я радиан (от Зя/2 до я/2). Однако, поскольку К(р) является дробно-рацио­ нальной функцией, и, следовательно, приращение аргумента

то при одинаковом числе нулей и полюсов неминимально­ фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютной величи­ не изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью [9].

Расположение нулей коэффициента передачи в плоско­ сти р тесно связано с топологическими особенностями це­ пи. Так, было показано, что к минимально-фазовым цепям принадлежат все схемы, обладающие лестничной структу­ рой в виде каскадных цепочек П- и Г-образных четырех­ полюсников. Характерной топологической особенностью лестничных цепей является тот факт, что в них всегда мож­ но осуществить единственный разрыв, полностью прекра­

щающий поступление сигнала со входа на выход. В про­ тивоположность этому неминимально-фазовые цепи имеют, как правило, структуру мостовых схем, в которых прохож­ дение сигнала на выход осуществляется по двум или более независимым каналам. Тем не менее указанные здесь приз­ наки не являются одновременно необходимыми и доста­ точными, так что при необходимости следует строго анали­ зировать факт наличия или отсутствия нулей в правой полуплоскости.

Минимально-фазовые цепи обладают замечательной осо­ бенностью, которая состоит в том, что вещественная и мни­ мая части коэффициента передачи этих цепей (а следова­ тельно, модуль и фаза) не могут выбираться независимо друг от друга. Приведем без вывода окончательный резуль­ тат [12]. Пусть К (гео) — коэффициент передачи минималь­ но-фазовой цепи. Всегда возможно следующее представле­ ние:

где

М( со) =£>(со)+гА(со).

Назовем £)(со) дисперсивной, а А (и ) — адсорбтивной

частью коэффициента передачи. Действительно, легко про­ верить, что при подаче на вход четырехполюсника гармо­ нического колебания U\ (t) = Umcosco^ напряжение на выхо­ де будет равно }

Отсюда видно, что коэффициент А (со) обусловливает изменение амплитудного входного колебания, в то время как D (со) указывает на возникновение в четырехполюснике нового колебания, ортогонального по отношению ко вход­ ному.

При весьма общих ограничениях связь между D (со) и

А (со) устанавливается преобразованиями Гильберта-.

00

—00

(117)

00

52