Файл: Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf

взятые по отрезкам, соединяющим зажимы, носят название напряжений на элементах цепи. По своему физическому смыслу напряжение отвечает работе сторонних сил, вы­ полняемой над единичным зарядом при перенесении его с одного зажима на другой.

4. Выясним условия, обеспечивающие однозначное вве­ дение понятия напряжения, не зависящее от выбора пути интегрирования L. Рассмотрим элемент цепи, изображенный

на рис. 5. Пусть L\ и Ьч — два криволинейных отрезка, сое­ диняющих точки А и В и образующих замкнутый контур, на который опирается поверхность S. Из второго уравнения Максвелла (1а) по теореме Стокса получаем

переменное магнитное поле отсутствует, так что dB/dt = 0. Отсюда сразу следует, что

<(> 7?Ш = О,

т. е.

иЬг

Итак, для однозначного введения напряжения на элемен­ те цепи необходимо, чтобы магнитное поле было локализо­ вано внутри элемента.

10

5. Важно подчеркнуть, что путь интегрирования обяза­ тельно должен проходить вне элемента. В качестве примера рассмотрим катушку индуктивности, изображенную на рис. б. Здесь

в силу обращения в нуль касательной составляющей элект­ рического вектора на поверхности проводника. В то же самое время

J Е dl =f=0.

L%

6. Отсутствие переменного магнитного поля в простран­ стве вне элементов обеспечивает потенциальность электри­ ческого поля. Действительно, поскольку при данных усло­

виях rot£ = 0, то поле Е может быть представлено как гра­ диент от некоторого скалярного поля, называемого потен­ циалом:

Выбор знака в формуле (б) диктуется традиционным соглашением, согласно которому силовые линии векторного поля Е считаются выходящими из положительных зарядов.

Сторонняя напряженность электрического поля и электродвижущая сила (ЭДС)

Пусть внутри области, занятой источником, существует сторонняя напряженность электрического поля Ест неэлект­

II

ромагнитного происхождения. Ёсли данный источник не создает тока (внешняя цепь разомкнута), то во внешнем пространстве образуется некоторое электрическое поле. Криволинейный интеграл от этого поля по произвольному пути, соединяющему зажимы источника, т. е.

2

1

называется электродвижущей силой (ЭДС) данного источ­ ника. Из такого определения следует, что ЭДС численно совпадает с напряжением, измеренным на зажимах источ­ ника в режиме холостого хода.

Второй закон Кирхгофа

Этот важнейший закон теории электрических цепей устанавливает связь между напряжениями на элементах, входящих в замкнутый контур. Он формулируется следую­

щим образом:

П

т. е. сумма напряжений при обходе замкнутого контура рав­ на нулю. Доказательство непосредственно вытекает из того факта, что поле вне элементов потенциально, поэтому

j>Edl - 0.

Обычно принято особо выделять напряжения на источни­ ках, которые равны ЭДС с обратными знаками. При этом можно записать

Второй закон Кирхгофа легко допускает обобщение на случай, когда контур пронизывается переменным во време­ ни магнитным потоком, и по этой причине электрическое поле уже не может рассматриваться потенциальным. В этом случае закон электромагнитной индукции дает не­ посредственно

5

12

Ёпоследней формуле величина

-— ГВ Is, dt J

s

т. e. скорость спадания во времени магнитного потока, свя­ занного с контуром, называется ЭДС электромагнитной индукции.

Приближенный метод исследования цепных электроди­ намических структур, когда вместо полных уравнений Мак­ свелла записываются первый и второй законы Кирхгофа, носит название квазистатического приближения. Ниже в специальном разделе будут обсуждены границы примени­ мости такого приближенного подхода.

Энергетический баланс в элементах электрических цепей

Важнейшей энергетической величиной в электродинами­ ке является вектор Пойнтинга [1], мгновенное значение ко­

Физически вектор Пойнтинга характеризует собой плот­ ность потока мощности излучения в данной точке прост­ ранства.

Рассмотрим с электродинамических позиций вопрос о мгновенной мощности электромагнитного процесса в про­

цепи и в этом смысле элемент ве­

дет себя подобно генератору. Аналогично, при w(t)^>0 мы имеем случай, когда элемент потребляет энергию из внеш­ него поля и ведет себя подобно нагрузке. Отметим, что в рамках подобного рассмотрения совершенно безразлична

13

судьба потребленном энергии. В частности, она может пре­ вращаться в тепло, либо зап-асаться внутри элемента.

Как уже было отмечено, методологическая особенность теории цепей состоит в том, что здесь, по крайней мере,

внешне игнорируются полевые величины Е и Н, вместо ко­ торых рассмотрению подлежат напряжения U и токи I. По­ ставим задачу выразить интеграл (12) через ток, протекаю­ щий через двухполюсник и напряжение на его зажимах. Для этого рассмотрим еще раз воображаемую поверхность S, окружающую двухполюсник, и осуществим параметриза­ цию этой поверхности, т. е. укажем способ взаимно-одно­

значно сопоставить каждой точке поверхности два неотри­ цательных числа. Вели поверхность 5 выбрать достаточно гладкой в обычном математическом смысле слова, то наи­ более очевидным способом параметризации будет следую­ щий (рис. 8):

1.Точки встречи проводников с поверхностью S выби­ раются в качестве особых точек параметризации (подобно северному и южному полюсам на сфере).

2.Строится однопараметрическое семейство кривых, сое­ диняющих точки Pi и Р2 (подобно географическим мери­

дианам).

3.Строится второе однопараметрическое семейство, ор­

тогональное к первому (подобно географическим парал­ лелям) .

14

В соответствии с определением понятия напряжения бу­ дем иметь:

Выразив элемент поверхности ds в виде — [dl\dl%\, получим следующую форму записи мгновенной мощности:

Воспользовавшись известной формулой векторной алгебры

мы можем написать развернутое выражение для поверхност­ ного интеграла:

Легко видеть, что второе слагаемое в правой части тожде­ ственно равно нулю. Откуда

Таким образом, из строгих электродинамических сооб­ ражений нами получена одна из основных формул теории цепей, которая при другом изложении обычно принимается как постулат.

По-иному данный результат формулируется следующим образом. В некоторый момент времени двухполюсник пот­ ребляет энергию электромагнитного поля тогда и только тогда, если увеличение тока ведет к повышению потенциала того зажима, к которому в данный момент притекает ток из внешних цепей.

В справедливости данного утверждения читатель может удостовериться самостоятельно, рассмотрев ориентацию векторов Е и Н на рис. 9 и воспользовавшись определением вектора Пойнтинга.

Если перейти к рассмотрению электрических цепей об­ щего вида, то, прежде всего, следует отметить возможность

15

выбора такой поверхности S, которая полностью охватыва­ ла бы все элементы цепи, включая нагрузки и генераторы. При этом суммарная цепь окажется энергетически изоли­ рованной от внешнего пространства, т. е. автономной.

Условие автономности можно сформулировать в виде

которое, как легко проверить на .основании вышесказанно­ го, эквивалентно следующему:

п

Последнее равенство составляет содержание теоремы Теллегена [2], которая в общей теории цепей является услови­ ем баланса мгновенных мощностей.

—ос k = l

Физически эта величина означает полную энергию, посту­ пившую в цепь от внешних источников. Для пассивной электрической цепи данная функция неотрицательна

16

при любых t и при любых способах воздубждения, т. е. ком­ бинациях источников на входах. В работе [3] подробно изучаются требования, накладываемые условием пассив­ ности на внешние характеристики цепей.

Энергетические соотношения в линейном двухполюснике, находящемся под гармоническим воздействием

Формула говорит о том, что данная мощность состоит из двух частей: а) постоянной составляющей мощности

Р = COS ф, (26)

имеющей смысл мощности, усредненной за период коле­ баний Т,

то средняя мощность положительна и элемент является пас­ сивным.

Следует обратить особое внимание на то, что вводимая в электротехнике реактивная мощность

2-1177

прямого физического смысла не имеет. Более подробно по этому поводу см. [4].

Энергетические соотношения в двухполюснике при негармоническом входном воздействии

Рассмотрим простейший случай, когда на входе двух­ полюсника существует сумма двух гармонических напряже­ ний с разными частотами

Среди слагаемых правой части (32) можно выделить два, являющихся средними мощностями обоих гармонических источников. Итак, средние мощности в данном случае аддитивны, чего нельзя сказать о составляющих колеблю­ щейся мощности. Причина этого формально заключена в появлении взаимных колеблющихся мощностей.

Выражение средней мощности, потребляемой двухполюсником, через комплексные амплитуды

Пусть монохроматический колебательный процесс в двухполюснике характеризуется двумя комплексными ам­ плитудами

Тогда, как легко проверить, выражение вида (33) может быть представлено в двух следующих эквивалентных фор­

18