Файл: Баскаков, С. И. Дополнительные главы теории цепей учебное пособие.pdf

тельности вещественной части входного импеданса не мо­ жет быть выполнено.

Наглядная формулировка доказанной теоремы состоит в следующем: при стремлении частоты о к бесконечности любая пассивная цепь ведет себя либо как резистор (сте­ пени числителя и знаменателя совпадают), либо как кон­ денсатор (степень знаменателя на единицу превышает сте­ пень числителя), либо, наконец, как индуктивность, когда имеет место обратное соотношение. В чисто реактивных цепях, как можно доказать, возможны только два последую­ щих случая.

Упражнение. Составить принципиальные схемы двух­ полюсников, состоящих не менее чем из трех элементов, которые относятся к трем рассмотренным выше случаям.

Связь между вещественной и мнимой частями входного импеданса пассивного двухполюсника

Непосредственно легко проверить, что при веществен­ ных частотах со входной импеданс схемы, изображенной на рис. 19, выражается следующим образом:

Обращает на себя внимание то, что величина резистора г1 влияет лишь на вещественную часть импеданса и никак

не связана с его мнимой частью. В этом смысле можно го-

Рис. 19

ворить о том, что резистор гх не является существенным элементом цепи. В частности, его величина может быть по-

40

ложена равной нулю; оставшаяся часть схемы характеризу­ ется тем, что величины всех входящих в нее элементов в равной степени влияют как на вещественную, так и на мнимую часть входного импеданса.

Совершенно аналогично, схема, изображенная на рис. 20, обладает тем свойством, что величина индуктивности_L\ входит лишь в выражение для мнимой части входного им­ педанса:

Цепи, составленные из элементов, каждый из которых одновременно влияет как на вещественную, так и на комп­ лексную часть входного импеданса, носят название цепей минимального комплексного сопротивления. В качестве примера такой цепи можно привести параллельную гС-це- почку. Однако легко проверить, что последовательная гС- цепочка не принадлежит к числу цепей рассматриваемое типа.

Для цепей минимального комплексного сопротивления может быть поставлена задача о связи между вещественной

Z(p) оказывается аналитической.

Сказанное позволяет сформулировать поставленную вы­ ше задачу теории цепей в форме математической пробле­ мы: пусть на мнимой оси задана вещественная часть функ­ ции комплексного переменного, которая является аналити­ ческой в правой полуплоскости. Требуется найти значения мнимой части этой функции на мнимой оси.

41

Явный вид решения дается преобразованиями Гильберта

(а)

(91)

оо

(б )

оо

Входящие сюда интегралы понимаются в смысле глав­ ного значения, т. е. как пределы соответствующих несобст­ венных интегралов. В качестве иллюстрации рассмотрим параллельную rC-цепочку. Здесь

Проверим, что с помощью преобразований Гильберта можно восстановить мнимую часть входного импеданса, зная вещественную часть. Введя обозначение а = 1 /гС и под­ ставляя (92) в (91а), будем иметь

Получающийся здесь интеграл проще всего взять, раз­ ложив подынтегральную функцию на простые дроби

Коэффициенты в числителе находятся по общим прави­ лам и имеют следующие значения:

Как легко проверить, отдельные интегралы имеют вид

00

ld \

— 0;

42

что и требовалось показать.

По поводу преобразований Гильберта (91) необходимо сказать следующее. Если в качестве исходных взять произ­ вольные функции R (со) и Х(со) и подставлять их в преоб­ разования Гильберта, то в общем случае правильные ре­ зультаты получены быть не могут, поскольку обе эти функ­ ции обязаны быть аналитическими:, т. е. представимыми в виде рядов Тейлора с бесконечным интервалом сходимо­ сти. Кроме того, существеннейшее физическое ограничение на вид допустимых функций вытекает из того, что вещест­ венная часть импеданса при любой физической частоте со

чтобы она могла соответствовать некоторому физически реализуемому двухполюснику, составленному из элементов R, L, С и М. Тем не менее, преобразование Гильберта име­ ет большое значение при теоретической' оценке интеграль­ ного поведения входного им­

Неравенство Боде является действенным инструментом при оценке возможности широкополосного усиления на лампах и транзисторах. Так, легко проверить, что создание

43

Г л а в а IV

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Постановка задачи

Электрическим четырехполюсником называется цепная структура, имеющая вид «черного ящика» с двумя парами доступных зажимов. Те из них, к которым присоединяется генератор, носит название входных зажимов, другая пара представляет собой выходны,е зажимы. Схема включения четырехполюсника изображена на рис. 22.

Рис. 22

Принципиально важно отметить, что стрелками на ри­ сунке изображены направления напряжений и токов, ус­ ловно принимаемые за положительные. Так, в нашем слу­ чае увеличение тока 1\ ведет к повышению потенциала верхнего зажима на входе; рост тока h ведет к понижению потенциала верхнего зажима на выходе.

В дальнейшем мы будем интересоваться исключительно линейными четырехполюсниками, для которых исчерпываю­ щее описание может быть получено из рассмотрения гар­ монических входных воздействий.

Матричное описание линейных четырехполюсников

С феноменологической точки зрения свойства четырех­ полюсника определены полностью, если в любой момент

45

времени уравнение состояния цепи, имеющее вид неявной функции относительно комплексных амплитуд

может быть однозначно разрешено относительно любой ве­

личины U{, Ii. Отличительное свойство линейной цепи со­ стоит в том, что для нее уравнение состояния вида (100) принимает вид системы линейных алгебраических уравне­

ний относительно комплексных амплитуд Uh 1\, U2, 12. При этом две произвольно выбранные комплексные амплитуды могут быть приняты за независимые величины, а две другие должны определяться через них. Это соображение служит основанием для матричного описания линейных четырех­ полюсников. Данный вопрос хорошо освещен в учебной и специальной литературе (см., например [11]). Для иллюст­ рации последующих выводов мы будем пользоваться описа­ нием четырехполюсника с помощью т. н. АВCD-матрицы (матрицы передачи). При этом за независимые величины принимаются комплексные амплитуды напряжения и тока

Коэффициенты А, В, С и D . обладают разными физи­ ческими размерностями и могут быть в принципе найдены экспериментально на основании опытов холостого хода и короткого замыкания.

Матрицы ABCD специально приспособлены для описа­ ния каскадного включения четырехполюсников, поскольку результирующая матрица представляется как результат про­ изведения матриц отдельных звеньев. Следует лишь иметь в виду, что матричное умножение некоммутативно и поэто­ му не все равно, в каком порядке включаются отдельные элементы каскадной цепи.

В большинстве практически важных случаев нет нужды знать все четыре параметра матрицы четырехполюсника. Например, в общем курсе теории цепей показывается, что матрица четырехполюсника, обладающего симметрией внут­ ренней структуры, характеризуется следующим свойством:

46