Файл: Михайлов, Ю. Я. Электромагнитные колебания лекции.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.11.2024

Просмотров: 29

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8

 

 

x-A

cû$ù>0t .

 

 

В дифференциальном уравнена (3)

коэффициент npi x

 

есть всегда квадрат угловой частоты колебаній

О)0 , а

в

его решении величавы Л

и

(j> зависят от заданных началь­

ных условий.

Определите А

и </> в уравнена

 

 

Задача I .

(I), если

известно,

что в момент

і ж0

х=х0 и х=-ѵ0.

 

 

 

§ 2 . Пр и в р и

вычисления периода колебаний

 

I . Колебания груза на типшне.

Пусть на пружине с

коэф­

фициентом жесткости к

подвешена гирька массой лг (рис.З).

 

 

 

Вес гирьки тр. уравновешивается на-

 

 

 

тякеяием пружины. Ясли гирьку

оття­

 

 

 

нуть вина на расстояние х М

и от­

 

 

 

пустить, то она начнет совершать

 

 

 

колебания около положения равнове­

 

 

 

сия о амплитудой А т а

действием

 

 

 

упругой силы пружины f жкХ • По

 

 

 

второму закону Ньатоиа

 

 

г

в

-

 

 

 

-Ах,

 

 

 

 

 

 

 

 

Х-Д

*

tJcx

п и

 

 

 

 

 

M ir

 

 

 

* + £ - * “0-

 

с»)

РЫС.8

k i получики дифференциальное уравыеии rajaiom necnx колебаний, такое ае, как уравнена (8 ). Сравнивая іи Ц н пиентн при х . ваходп:

г

 

соо

»

откудапериодгармоническихжалованийгирькя

 

Т0 - г 7 Г ^ -

 

 

(ІО)

Задача 2 .

Зная, что

решение уравнения (9) есть по-преж­

нему функція

(I) ■ что

гирька каосоі 100

г, подвешенная к

пружине, уджиняѳт ее на I си, нашижте

уравнение

гармониче­

ских колебаний гирьки,

если в момент і

=

0 гирька

была от­

тянута внив от положения равновесия на

2

ом и отпущена.

Дифференциальное уравнение (9) можно получить, исходя из закона сохранения анергии. Если никаних потерь анергии в колебательной системе не происходит, то сумма потенциаль­ ной и кинетической анергий системы остается постоянной и в наиен случае равной:

(II)

где первое слагаемое в левой части равенства - потенциаль­ ная анергия пружиня, а второе - кинетическая анергия гирь­ ки. Дифференцирование атого равенства по времени дает:

X (кх+/пх)-0,

откуда и получается уравнение (9).

2. Колебания Физического маятника. Физическим маятником называется любое тело, которое может совермать колебания около точки подвеса, не совпадающей о его центром инерции (центром тяжести). На рис.4 изображен физический маятник, отклоненный от положения равновесия на угол ос. . При атом, как видно ив рисунка, возникает момент сил, возвращающий маятник к положению равновесии, равный

Согласно основному уравнению динамики вращения зтот мо­ мент равен произведению момента инерции маятника относи­ тельно точки подвеса на угловое ускорение £ = ос :

Обе= -wfyL Sinoc .

IO

Рве. +

Прж малых колебаниях Sinос"»ос , ■ дифференциальное уравненне гармонических хеиебавик физического маятника имеет вид:

* +

=0 .

(12)

Сравнивая уравнение (12) с уравнением (8 ), находим.™

II

о і щ а

 

 

Z

mgL

(13)

 

Математический маятник данной

Ыдl^J/mLb

имеет тот

хе период малых колебаний, что і

физический,

а величина

3JmL называется приведенной длиной физического маятника. Так как но теореме Ітейнера момент инерции тела J =J0 W S 2

где

ü0 - момент инерции тела

относительно оси,

проходяцѳй

черев

центр инерции, то і ж30/тЬ+Ь , т .в . приведенная

длина физического маятника t

больно расстояния

L

центра

инерции от точки подвеса. Точка, лежащая на одной прямой с центром инерции и точкой подвеса на расстоянии t от по­ следней, называется центром качаний маятника.

Задача 3. Докажите, что если подвесить фияический маят­ ник в центре качаний, то период его колебаний останется прежним.

§ 3 . Энергия гармонические колебаний

Если рассмотреть колебания гирьки на пружисе, то легко увидеть, что в крайнем ее отклонении от положения равнове­ сия при вся анергия колебательной системы будет рав­ на потенциальной анергии пружины:

А так как к жтсог ,

то

окончательно получим:

 

г

_

тс&К

(1 4 )

£ ~

г

 

т .е . энергия гармонических колебаний пропорциональна

квад­

рату амплитуды колебаний.

 

 

Задача 4. Получите формулу (14) для любого отклонения х от положения равновесия, для этого воспользуйтесь уравнени­ ями ( И ) , ( І ) Г (3) и (75. ■

12

Задача 5 . Найдите формулу анѳргжж гармонических коле­ баній физического маятника.

§ 4 . Сложение двух гармонических колебаний.направленных до одной и той же прямой

I . Частоте слагавшиколебаний одинаковы. Пусть урав­ нения слагаемых колебаний будут:

фв1+й)

■х=Агш(со0і+&) .

Для того чтобы сложить эти колебания, воспользуемся гра­ фическим способом. Построим векторы-амплитуды обоих колеба­

ний так, как^это было указано

в

§ I .

Так как векторы-ампли­

туды Т

и Аг

вращаются в

одну и ту же сторону с одинако­

выми угловыми скоростями,

равными CùQ ,

то и частота сум­

марного колебания будет так же равна

Сі0

. Из рис.5 вид­

но, что

суммарное колебание х =ху + хг ,

 

так как из равных

треугольников

0АгЬг и

А^АС

следует,

чтоВ^І)=Ар=QBj*

- Xг

. Уравнение сунмарного колебания будет иметь вид:

 

 

X - А

c o s(со0Ь

,

(15)

где А - вектор-амплитуда суммарного колебания, равная геометрической сумме векторов-амплитуд слагаемых колебаний:

а ее модулъ определяется как диагональ параллелограмма, сторонами которого служат векторы-амплитуда слагаемых ко­

лебаний Ті и Тг ,

образуйте между собой угол

- у»

Тогда

_________________________

 

А ~ І А < + А 1+2А <А г С0Н % ~ к І •

( Ю

Из уравнения (16)

следует, что А есть фунжция только

разности фаз слагаемых колебаний.

 

13

X

 

Рас.

5

 

E c u

у > - у , -А у = гт Г / л г - 0 , / , 2 , 3 , ........ ),

 

то

 

 

 

 

АтЬ+Ьг .

(17)

feu ю A i f - ( 2 n + i ) j r

( / n = 0 , f , 2 , 3 , ......),

 

то

 

 

 

 

Л - Й , - Л 21.

(18)

ітаж,

о с и разность Даа слагаемых колебаний равна

чет­

ному числу ЗГ , то амплитуда

суммарного колебания равна

сумме щпдитѵя слагаемых колебаний, если лэ разность Фаз

слагавш и колебаний равна нечетному числу 7Г . то суммарняя амплитуда равна абсолютной величине разности амплитуд слагаемых колебаний.

Задача 6 . Рассмотрите случай, когда разярсть фаз слагае­ мых колебал! р ем а £ ^/£ ? • Этот случай встречается в элек­ тротехнике.

14

Начальная фааа суммарного колебания определяется на треугольника AOD :

Ulfi- * C_+cA _ J,8lnfi+A,sLri£_ ш

(19)

OB.+BJ)

+4гсо$<рг

 

2 . Частоты слагавмнг колебаний различны» вовьмем урав­ нения слагаемых колебаний в виде:

x f =/?f cos(cj^ +(/>) ;

хг=4,со5((огі+<р)

и предположим, что

C O ^ CJS

. Тогда

вектор-амплитуда

Аі

в некоторый момент времени,

который мы будем_считать за

начало отсчета, "догонит" вектор-амплитуду

А& . it этот

момент

у?

= у> =

, и вектор-амплитуда

суммарного

коле­

бания будет

равна

Af + A£ . Через

некоторое

время Аі

ока­

жется

направленной противоположно

А

и вектор-амплитуда

суммарного колебания будет равна\At ~Аг\.

Итак, при сложении двух гармонических колебаний различ­ ных частот подучается колебание о переменной амплитудой, ивменявиейся в пределах:

K 4 M «

4 4 •

 

 

Для упрощения выкладок положим, что Аі *

•А

• Тог­

да уравнение слагаемых колебаний будут:

 

 

x^A co S fcjjt+ tf) ;

 

 

x £=Acos(ùJ2i+<p).

 

 

Суммарное колебание получится в виде :

 

 

 

 

_

(20)

Амплитуда этого колебания

равна:

 

 

2+^> ^ ÛS(CÔ1- CÔ£) t =2 Acoâ

 

.(21)

15

Смотрите также файлы