ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.11.2024
Просмотров: 42
Скачиваний: 0
8
|
|
x-A |
cû$ù>0t . |
|
|
|||
В дифференциальном уравнена (3) |
коэффициент npi x |
|
||||||
есть всегда квадрат угловой частоты колебаній |
О)0 , а |
в |
||||||
его решении величавы Л |
и |
(j> зависят от заданных началь |
||||||
ных условий. |
Определите А |
и </> в уравнена |
|
|
||||
Задача I . |
(I), если |
|||||||
известно, |
что в момент |
і ж0 |
х=х0 и х=-ѵ0. |
|
|
|||
|
§ 2 . Пр и в р и |
вычисления периода колебаний |
|
|||||
I . Колебания груза на типшне. |
Пусть на пружине с |
коэф |
||||||
фициентом жесткости к |
подвешена гирька массой лг (рис.З). |
|||||||
|
|
|
Вес гирьки тр. уравновешивается на- |
|||||
|
|
|
тякеяием пружины. Ясли гирьку |
оття |
||||
|
|
|
нуть вина на расстояние х М |
и от |
||||
|
|
|
пустить, то она начнет совершать |
|||||
|
|
|
колебания около положения равнове |
|||||
|
|
|
сия о амплитудой А т а |
действием |
||||
|
|
|
упругой силы пружины f жкХ • По |
|||||
|
|
|
второму закону Ньатоиа |
|
|
|||
г |
в |
- |
|
|
|
-Ах, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х-Д |
* |
tJcx |
п и |
|
|
|
|
|
M ir |
|
|
|
* + £ - * “0- |
|
с») |
РЫС.8
k i получики дифференциальное уравыеии rajaiom necnx колебаний, такое ае, как уравнена (8 ). Сравнивая іи Ц н пиентн при х . ваходп:
г |
|
соо |
» |
откудапериодгармоническихжалованийгирькя
|
Т0 - г 7 Г ^ - |
|
|
(ІО) |
|
Задача 2 . |
Зная, что |
решение уравнения (9) есть по-преж |
|||
нему функція |
(I) ■ что |
гирька каосоі 100 |
г, подвешенная к |
||
пружине, уджиняѳт ее на I си, нашижте |
уравнение |
гармониче |
|||
ских колебаний гирьки, |
если в момент і |
= |
0 гирька |
была от |
|
тянута внив от положения равновесия на |
2 |
ом и отпущена. |
Дифференциальное уравнение (9) можно получить, исходя из закона сохранения анергии. Если никаних потерь анергии в колебательной системе не происходит, то сумма потенциаль ной и кинетической анергий системы остается постоянной и в наиен случае равной:
(II)
где первое слагаемое в левой части равенства - потенциаль ная анергия пружиня, а второе - кинетическая анергия гирь ки. Дифференцирование атого равенства по времени дает:
X (кх+/пх)-0,
откуда и получается уравнение (9).
2. Колебания Физического маятника. Физическим маятником называется любое тело, которое может совермать колебания около точки подвеса, не совпадающей о его центром инерции (центром тяжести). На рис.4 изображен физический маятник, отклоненный от положения равновесия на угол ос. . При атом, как видно ив рисунка, возникает момент сил, возвращающий маятник к положению равновесии, равный
Согласно основному уравнению динамики вращения зтот мо мент равен произведению момента инерции маятника относи тельно точки подвеса на угловое ускорение £ = ос :
Обе= -wfyL Sinoc .
IO
Рве. +
Прж малых колебаниях Sinос"»ос , ■ дифференциальное уравненне гармонических хеиебавик физического маятника имеет вид:
* + |
=0 . |
(12) |
Сравнивая уравнение (12) с уравнением (8 ), находим.™
II
о і щ а |
|
|
Z |
mgL |
(13) |
|
||
Математический маятник данной |
Ыдl^J/mLb |
имеет тот |
хе период малых колебаний, что і |
физический, |
а величина |
3JmL называется приведенной длиной физического маятника. Так как но теореме Ітейнера момент инерции тела J =J0 W S 2
где |
ü0 - момент инерции тела |
относительно оси, |
проходяцѳй |
|
черев |
центр инерции, то і ж30/тЬ+Ь , т .в . приведенная |
|||
длина физического маятника t |
больно расстояния |
L |
центра |
инерции от точки подвеса. Точка, лежащая на одной прямой с центром инерции и точкой подвеса на расстоянии t от по следней, называется центром качаний маятника.
Задача 3. Докажите, что если подвесить фияический маят ник в центре качаний, то период его колебаний останется прежним.
§ 3 . Энергия гармонические колебаний
Если рассмотреть колебания гирьки на пружисе, то легко увидеть, что в крайнем ее отклонении от положения равнове сия при вся анергия колебательной системы будет рав на потенциальной анергии пружины:
А так как к жтсог , |
то |
окончательно получим: |
|
г |
_ |
тс&К |
(1 4 ) |
£ ~ |
г |
|
|
т .е . энергия гармонических колебаний пропорциональна |
квад |
||
рату амплитуды колебаний. |
|
|
Задача 4. Получите формулу (14) для любого отклонения х от положения равновесия, для этого воспользуйтесь уравнени ями ( И ) , ( І ) Г (3) и (75. ■
12
Задача 5 . Найдите формулу анѳргжж гармонических коле баній физического маятника.
§ 4 . Сложение двух гармонических колебаний.направленных до одной и той же прямой
I . Частоте слагавшиколебаний одинаковы. Пусть урав нения слагаемых колебаний будут:
фв1+й)
■х=Агш(со0і+&) .
Для того чтобы сложить эти колебания, воспользуемся гра фическим способом. Построим векторы-амплитуды обоих колеба
ний так, как^это было указано |
в |
§ I . |
Так как векторы-ампли |
|||||
туды Т |
и Аг |
вращаются в |
одну и ту же сторону с одинако |
|||||
выми угловыми скоростями, |
равными CùQ , |
то и частота сум |
||||||
марного колебания будет так же равна |
Сі0 |
. Из рис.5 вид |
||||||
но, что |
суммарное колебание х =ху + хг , |
|
так как из равных |
|||||
треугольников |
0АгЬг и |
А^АС |
следует, |
чтоВ^І)=Ар=QBj* |
||||
- Xг |
. Уравнение сунмарного колебания будет иметь вид: |
|||||||
|
|
X - А |
c o s(со0Ь |
, |
(15) |
где А - вектор-амплитуда суммарного колебания, равная геометрической сумме векторов-амплитуд слагаемых колебаний:
а ее модулъ определяется как диагональ параллелограмма, сторонами которого служат векторы-амплитуда слагаемых ко
лебаний Ті и Тг , |
образуйте между собой угол |
- у» |
Тогда |
_________________________ |
|
А ~ І А < + А 1+2А <А г С0Н % ~ к І • |
( Ю |
|
Из уравнения (16) |
следует, что А есть фунжция только |
|
разности фаз слагаемых колебаний. |
|
13
X
|
Рас. |
5 |
|
E c u |
у > - у , -А у = гт Г / л г - 0 , / , 2 , 3 , ........ ), |
|
|
то |
|
|
|
|
АтЬ+Ьг . |
(17) |
|
feu ю A i f - ( 2 n + i ) j r |
( / n = 0 , f , 2 , 3 , ......), |
|
|
то |
|
|
|
|
Л - Й , - Л 21. |
(18) |
|
ітаж, |
о с и разность Даа слагаемых колебаний равна |
чет |
|
ному числу ЗГ , то амплитуда |
суммарного колебания равна |
||
сумме щпдитѵя слагаемых колебаний, если лэ разность Фаз |
слагавш и колебаний равна нечетному числу 7Г . то суммарняя амплитуда равна абсолютной величине разности амплитуд слагаемых колебаний.
Задача 6 . Рассмотрите случай, когда разярсть фаз слагае мых колебал! р ем а £ ^/£ ? • Этот случай встречается в элек тротехнике.
14
Начальная фааа суммарного колебания определяется на треугольника AOD :
Ulfi- * C_+cA _ J,8lnfi+A,sLri£_ ш |
(19) |
|
OB.+BJ) |
+4гсо$<рг |
|
2 . Частоты слагавмнг колебаний различны» вовьмем урав нения слагаемых колебаний в виде:
x f =/?f cos(cj^ +(/>) ;
хг=4,со5((огі+<р)
и предположим, что |
C O ^ CJS |
. Тогда |
вектор-амплитуда |
Аі |
||||
в некоторый момент времени, |
который мы будем_считать за |
|||||||
начало отсчета, "догонит" вектор-амплитуду |
А& . it этот |
|||||||
момент |
у? |
= у> = |
, и вектор-амплитуда |
суммарного |
коле |
|||
бания будет |
равна |
Af + A£ . Через |
некоторое |
время Аі |
ока |
|||
жется |
направленной противоположно |
А |
и вектор-амплитуда |
суммарного колебания будет равна\At ~Аг\.
Итак, при сложении двух гармонических колебаний различ ных частот подучается колебание о переменной амплитудой, ивменявиейся в пределах:
K 4 M « |
4 4 • |
|
|
Для упрощения выкладок положим, что Аі * |
•А |
• Тог |
|
да уравнение слагаемых колебаний будут: |
|
|
|
x^A co S fcjjt+ tf) ; |
|
|
|
x £=Acos(ùJ2i+<p). |
|
|
|
Суммарное колебание получится в виде : |
|
|
|
|
|
_ |
(20) |
Амплитуда этого колебания |
равна: |
|
|
2+^> ^ ÛS(CÔ1- CÔ£) t =2 Acoâ |
|
.(21) |
15