ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.11.2024
Просмотров: 25
Скачиваний: 0
Таким обоазои, получается колебание частотой, равной по-
60у-{-СО2 |
. и |
лусумие частот слагаемых колебаний СО — \g |
амплитудой, которая изменяется с частотой, -равной полураз-
яости частот слагаемых колебаний Со\ |
2 |
||
Если разность |
со~Одг |
маха, |
то получаются "биения”, |
которые изображены на рис.6 . При увеличении разности частот слагаемых колебаний ч астота’Ьиений"возрастает.
§ 5 . Понятие о сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний
Если точка колеблется вдоль <ЮЯ Ох по закону
|
|
x = / c o ö c o t , |
|
|
|
(22) |
||
а сама |
ось Ох колеблется вдоль оси |
Оу. по |
закону |
|
||||
|
|
|
y*=-dC03ù)t, |
|
|
|
(23) |
|
то в итоге точка движется по некоторой траектории, уравне-. |
||||||||
ниѳ которой получится исключением времени из |
|
уравнений |
(22) |
|||||
и (2 3 ). |
В данном |
случав |
уравнение |
траектории |
|
получится |
в |
|
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
> |
|
|
|
(24) |
т .е . точка совериает периодическое движение вдоль прямой, |
||||||||
наклоненной к оси |
Ох |
под угломcc-cncty-j- |
(рис‘.7 ) . |
|||||
Задача 7 . Найти уравнение траектории движения точки,если |
||||||||
разность фаз слагаемых |
колебаний (22) |
л (2 3 ) |
|
равна ±7( . |
||||
Если |
уравнения |
слагаемых колебаний |
|
«влены в виде |
||||
|
|
х —Лcos '.ob ; |
|
|
* |
|
||
|
|
|
|
|
(25) |
|||
|
|
y^ïBsin cet |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
2-I63G |
|
|
|
|
|
|
|
It |
F.r-7--4-' ' |
л \.У |
ЙмЗл'л |
X
Рис. 7
то, исключая из них время, получаем траекторию двинения точки в виде:
|
г |
■г |
|
|
(2S) |
|
|
|
|
|
|
||
которое представляет |
собой |
уравнение эллипса. При А-Ъ точ |
||||
ка движения по окружности |
(ри с.8 |
и |
9 ) . Если |
разность |
фаз |
|
слагаемых колебаний |
равна |
у? , |
то |
большая |
ось эллипса |
бу |
дет составлять некоторый угол с осью Ох . При различных частотах слагаемых колебаний точка описывает на плоскости сложные фигуры, называемые фигурами Лиссажу. При этом ока зывается, что отношение числа точек пересечения фигуры Лиссажу с осями Ох и Oÿ равно отношению частот слагаемых колебаний.
Задача 8 . Определите, при каких условиях движение точ ки по эллипсу или окружности будет происходить по ходу стрелки часов или в противоположном направлении.
ІЬ
Г л а в а |
И |
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОДИНОЧНОМ КОНТУРЕ
§ I . Гармонические колебания в электрическом контуре
Рассмотрим колебательный контур, состоящий иэ конденса тора электроемкостью С и катушки индуктивностью L ,в ко тором сопротивление проводников исчезающие мало (рис.1 0 ).
А
ÏÎÙ
г т
V
L
Рис. 10
Зарядим конденсатор от генератора электродвижущей силой& ,
замыкая переключатель А на левый контакт. |
Тогда |
на |
пласти |
||
нах конденсатора появится начальный заряд |
^ |
, |
разность |
||
потенциалов ^о~Яо^ , |
и образовавшееся в |
нем электриче |
|||
ское поле будет обладать |
начальным запасом |
|
энергии |
= |
|
- К -
го
Если после зтого замкнуть переключатель А на правый контакт, то конденсатор начнет разряжаться через катушку контура. Энергия электрического поля конденсатора начнет убывать, будут убывать также разность потенциалов и заряд на его пластинах, а в проводниках контура появится нара стающий со временем ток і , который возбудит в натувне контура магнитный поток и электродвижущую силу самоиндук-
«<ІФ ; dL
ции G =•-■d t |
~Ж |
В момент полного разряда конденсатора энергия его элек трического поля превратится в энергию магнитного поля ка-
туики = ^ L i o » и той достигнет максимума І=І0 .
Затем сила тока начнет убивать, а конденсатор будет снова заряжаться, но знаки зарядов на его пластинах и направле ние его электрического поля будут противоположными перво начальна*. Когда сила тожа в контуре убудет до нуля, энер гия магнитного поля катунки превратится в анергию электри ческого поля конденсатора, а заряд и разность потенциалов на пластинах конденсаторе примут первоначальное по величи не значение.
Теперь весь процесс разряд” конденсатора повторится в обратном' порядке, в результате чего конденсатор окажется заряженным, как в начале опыта. Вследствие ничтожности со противления проводников в контуре потерями энергии можно пренебречь и считать ее величину неизменной, т .е . в любой момент времени
CD
Таким образом, в электрическом контуре происходят коле бания заряда и разности потенциалов на пластинах конденса тора и силы тока в проводниках контура, причем обе первые величины колеблются в фазе, т .е , одновременно достигают максимума и проходят через нулевые значения. Сила тока в проводниках контура колеблется с той же частотой, но фаза
колебаний тока не совпадает с фазой колебаний варяда и разности потенциалов.
а
Для того чтобы найти зависимость колеблющихся величин
U , у и і от времени, нужно составить и решить дифферен циальное уравнение колебаний. Согласно второму вакону Кирх гофа алгебраическая сумма падений напряжения в контуре рав на алгебраической сумме действующих в нем электродвижущих сил. Падение напряжения происходит на пластинах конденса
тора, а электродвижущая |
сила возникает в катушке контура |
|
(рис.9 ): |
|
|
|
. |
(г) |
Так как i= d ^ jd é ,n |
d ù /d t = d \ / d t z |
После подста |
новки последнего выражения в уравнение (2) получим:
(3)
Это есть однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое описывает колебания заряда на пластинах конденсатора. Сравнивая это уравнение с уравнением (8) главы I , находим, что коэффициент IJLC равен со2 , т .е . квадрату собственной частоты колебаний. Следовательно, уравнение (8) можно записать в виде:
<*>
Так как . £ ^СІГ , то подстановка этого значения в уравнение (4) даст такое же дифференциальное уравнение, описывающее колебания разности потенциалов на пластинах конденсатора:
+ О)*«Г-0
"I И, наконец, если еще pas продифференцировать по време
ни травнѳяие (2 ), то получим дифференциальное уравнение дліг колебаний силы тока в контуре:
22
+ co0 i = Q |
(6 ) |
Решением дифференциального уравнения называется такая функцият(в данном случае это сила тока как функция време ни) і= , что подстановка в уравнение этой функции и ее производных обращает его в тождество при любых значениях постоянных коэффициентов. В курсе математического анализа показывается, что решением уравнения (6) служит функция
i= i0sLn(cüot+<j>)} |
(7) |
т .е . і является гармонической функцией времени. В решении уравнения (7) і 0 и - произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий, C0Q - частота гармо нических колебаний, которая равна
|
ч |
|
(8 ) |
||
|
|
|
|
||
откуда период |
колебаний |
|
|
|
|
|
T ^ Z 'n 'fiF . |
|
(9) |
|
|
Определим из начальных условий постоянные |
величины |
і0 |
|||
и у> . Так как |
в момент і |
= О і = 0, |
то из |
уравнения |
(7) |
следует, что |
- 0 . Так |
как далее в |
момент |
і = 0 напря |
|
жение на пластинах конденсатора уравновешивается электро движущей силой самоиндукции, возникающей в катушке контура, то
г |
dû |
„ = L L CÜ„ |
|
'1 Ж |
'О |
0 0 |
|
откуда амплитуда силы тока |
і |
равна: |
|
іо |
Up |
( і о ) |
|
|
|
||
где о )0L - индуктивное реактивное |
сопротивление контура. |
||
С.Ь