Файл: Михайлов, Ю. Я. Электромагнитные колебания лекции.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.11.2024

Просмотров: 39

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким обоазои, получается колебание частотой, равной по-

60у-{-СО2

. и

лусумие частот слагаемых колебаний СО — \g

амплитудой, которая изменяется с частотой, -равной полураз-

яости частот слагаемых колебаний Со\

2

Если разность

со~Одг

маха,

то получаются "биения”,

которые изображены на рис.6 . При увеличении разности частот слагаемых колебаний ч астота’Ьиений"возрастает.

§ 5 . Понятие о сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний

Если точка колеблется вдоль <ЮЯ Ох по закону

 

 

x = / c o ö c o t ,

 

 

 

(22)

а сама

ось Ох колеблется вдоль оси

Оу. по

закону

 

 

 

 

y*=-dC03ù)t,

 

 

 

(23)

то в итоге точка движется по некоторой траектории, уравне-.

ниѳ которой получится исключением времени из

 

уравнений

(22)

и (2 3 ).

В данном

случав

уравнение

траектории

 

получится

в

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

>

 

 

 

(24)

т .е . точка совериает периодическое движение вдоль прямой,

наклоненной к оси

Ох

под угломcc-cncty-j-

(рис‘.7 ) .

Задача 7 . Найти уравнение траектории движения точки,если

разность фаз слагаемых

колебаний (22)

л (2 3 )

 

равна ±7( .

Если

уравнения

слагаемых колебаний

 

«влены в виде

 

 

х —Лcos '.ob ;

 

 

*

 

 

 

 

 

 

(25)

 

 

y^ïBsin cet

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-I63G

 

 

 

 

 

 

 

It

F.r-7--4-' '

л \.У

ЙмЗл'л


X

Рис. 7

то, исключая из них время, получаем траекторию двинения точки в виде:

 

г

■г

 

 

(2S)

 

 

 

 

 

которое представляет

собой

уравнение эллипса. При А-Ъ точ­

ка движения по окружности

(ри с.8

и

9 ) . Если

разность

фаз

слагаемых колебаний

равна

у? ,

то

большая

ось эллипса

бу­

дет составлять некоторый угол с осью Ох . При различных частотах слагаемых колебаний точка описывает на плоскости сложные фигуры, называемые фигурами Лиссажу. При этом ока­ зывается, что отношение числа точек пересечения фигуры Лиссажу с осями Ох и Oÿ равно отношению частот слагаемых колебаний.

Задача 8 . Определите, при каких условиях движение точ­ ки по эллипсу или окружности будет происходить по ходу стрелки часов или в противоположном направлении.

ІЬ

Г л а в а

И

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОДИНОЧНОМ КОНТУРЕ

§ I . Гармонические колебания в электрическом контуре

Рассмотрим колебательный контур, состоящий иэ конденса­ тора электроемкостью С и катушки индуктивностью L ,в ко­ тором сопротивление проводников исчезающие мало (рис.1 0 ).

А

ÏÎÙ

г т

V

L

Рис. 10

Зарядим конденсатор от генератора электродвижущей силой& ,

замыкая переключатель А на левый контакт.

Тогда

на

пласти­

нах конденсатора появится начальный заряд

^

,

разность

потенциалов ^о~Яо^ ,

и образовавшееся в

нем электриче­

ское поле будет обладать

начальным запасом

 

энергии

=

- К -

го


Если после зтого замкнуть переключатель А на правый контакт, то конденсатор начнет разряжаться через катушку контура. Энергия электрического поля конденсатора начнет убывать, будут убывать также разность потенциалов и заряд на его пластинах, а в проводниках контура появится нара­ стающий со временем ток і , который возбудит в натувне контура магнитный поток и электродвижущую силу самоиндук-

«<ІФ ; dL

ции G =•-■d t

В момент полного разряда конденсатора энергия его элек­ трического поля превратится в энергию магнитного поля ка-

туики = ^ L i o » и той достигнет максимума І=І0 .

Затем сила тока начнет убивать, а конденсатор будет снова заряжаться, но знаки зарядов на его пластинах и направле­ ние его электрического поля будут противоположными перво­ начальна*. Когда сила тожа в контуре убудет до нуля, энер­ гия магнитного поля катунки превратится в анергию электри­ ческого поля конденсатора, а заряд и разность потенциалов на пластинах конденсаторе примут первоначальное по величи­ не значение.

Теперь весь процесс разряд” конденсатора повторится в обратном' порядке, в результате чего конденсатор окажется заряженным, как в начале опыта. Вследствие ничтожности со­ противления проводников в контуре потерями энергии можно пренебречь и считать ее величину неизменной, т .е . в любой момент времени

CD

Таким образом, в электрическом контуре происходят коле­ бания заряда и разности потенциалов на пластинах конденса­ тора и силы тока в проводниках контура, причем обе первые величины колеблются в фазе, т .е , одновременно достигают максимума и проходят через нулевые значения. Сила тока в проводниках контура колеблется с той же частотой, но фаза

колебаний тока не совпадает с фазой колебаний варяда и разности потенциалов.

а

Для того чтобы найти зависимость колеблющихся величин

U , у и і от времени, нужно составить и решить дифферен­ циальное уравнение колебаний. Согласно второму вакону Кирх­ гофа алгебраическая сумма падений напряжения в контуре рав­ на алгебраической сумме действующих в нем электродвижущих сил. Падение напряжения происходит на пластинах конденса­

тора, а электродвижущая

сила возникает в катушке контура

(рис.9 ):

 

 

 

.

(г)

Так как i= d ^ jd é ,n

d ù /d t = d \ / d t z

После подста­

новки последнего выражения в уравнение (2) получим:

(3)

Это есть однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, которое описывает колебания заряда на пластинах конденсатора. Сравнивая это уравнение с уравнением (8) главы I , находим, что коэффициент IJLC равен со2 , т .е . квадрату собственной частоты колебаний. Следовательно, уравнение (8) можно записать в виде:

<*>

Так как . £ ^СІГ , то подстановка этого значения в уравнение (4) даст такое же дифференциальное уравнение, описывающее колебания разности потенциалов на пластинах конденсатора:

+ О)*«Г-0

"I И, наконец, если еще pas продифференцировать по време­

ни травнѳяие (2 ), то получим дифференциальное уравнение дліг колебаний силы тока в контуре:

22


+ co0 i = Q

(6 )

Решением дифференциального уравнения называется такая функцият(в данном случае это сила тока как функция време­ ни) і= , что подстановка в уравнение этой функции и ее производных обращает его в тождество при любых значениях постоянных коэффициентов. В курсе математического анализа показывается, что решением уравнения (6) служит функция

i= i0sLn(cüot+<j>)}

(7)

т .е . і является гармонической функцией времени. В решении уравнения (7) і 0 и - произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий, C0Q - частота гармо­ нических колебаний, которая равна

 

ч

 

(8 )

 

 

 

 

откуда период

колебаний

 

 

 

 

 

T ^ Z 'n 'fiF .

 

(9)

 

Определим из начальных условий постоянные

величины

і0

и у> . Так как

в момент і

= О і = 0,

то из

уравнения

(7)

следует, что

- 0 . Так

как далее в

момент

і = 0 напря­

жение на пластинах конденсатора уравновешивается электро­ движущей силой самоиндукции, возникающей в катушке контура, то

г

= L L

'1 Ж

0 0

откуда амплитуда силы тока

і

равна:

іо

Up

( і о )

 

 

где о )0L - индуктивное реактивное

сопротивление контура.

С.Ь