Файл: Абрамов, В. А. Оптимизация периодичности профилактики автомобилей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2024
Просмотров: 38
Скачиваний: 0
где Р0(1, дО— вероятность непоявления ни одного отказа за интервал пробега 1,1 + дI.
Для ординарного потока отказов
lira Р>1+ д/) = 0.
д / -0
Следовательно, у ординарных потоков уравнение для параметра потока отказов математически может быть представлено в виде следующего выражения:
Л = lim Pi(l, дО |
1 |
dn(l) |
• |
(8) |
д^-0 |
N0 |
dl |
|
Статистически параметр потока отказов опре деляется средним количеством отказов автомо биля в единицу пробега, взятых для рассматри ваемого интервала пробега:
&п(
(9)
где 4rii — количество зарегистрированных отка зов N0 количества автомобилей в интервале про бега д/г.
Выражение (7) позволяет определить харак теристики эксплуатационной надежности (п = 0} и ненадежности (п = 1, 2 ...I) автомобиля (рис. 3). Анализ этих характеристик позволяет выбрать оптимальную периодичность технического об служивания, которая определяется медианным значением Ме отрезка оси абсцисс 0 — /, (вероят ность появления двух и более отказов автомо биля на отрезке 0 — 1Хпрактически равна нулю). Вероятность безотказной работы при этом зна чении периодичности определяется величиной ординаты точки С, абсцисса которой будет вы бранная периодичность технического обслужива
ния |
автомобиля. |
2* |
19 |
При определении периодичности технического обслуживания автомобилей в период нормальной эксплуатации предполагалось, что число отказов в течение рассматриваемого интервала пробега следует закону Пуассона. Это было возможно, если элементы автомобиля обладали экспонен циальными функциями надежности, т. е., если Р (/) = е~м , где Л = const. В соответствии с пре дельной теоремой Пальма, это правомерно при
|
|
|
|
Рис. 3. График определе |
|
|
|
|
ния периодичности техни |
с\ |
\ NК |
\ ' ЧNTV |
ческого обслуживания ав |
|
ч |
ч 1 |
ч N \ |
томобиля по вероятности |
|
|
|
|
|
безотказной работы. |
~j
АV
ОМе I, 1./Ш
/, 2 — вероятность безотказ ной работы автомобиля соот ветственно с учетом и без уче та профилактики; 3, 4 — ве роятность возникновения од ного отказа автомобиля соот ветственно без учета и с уче том профилактики; 5 — веро ятность возникновения двух отказов автомобиля без учета
профилактики.
любых функциях надежности элементов, если число последних в автомобиле достаточно велико.
Однако встречаются случаи, когда в некото рых агрегатах автомобиля имеется сравнительно небольшое число сменных элементов, которые нужно учитывать при оценке надежности. Функ ции надежности их могут заметно отличаться от экспоненциальных.
Аналогичное положение складывается и при резервировании, когда отдельные элементы объ единяют в один сложный и считают, что он выхо дит из строя тогда, когда выходят из строя все составляющие его элементы. Однако функция надежности такого элемента не будет экспонен циальной даже тогда, когда функции надежности отдельных элементов экспоненциальные.
20
Естественно, в подобных ситуациях возникают сомнения в возможности использования распре деления Пуассона для определения периодич ности технического обслуживания автомобилей. Поэтому целесообразно изложить способы, по зволяющие при необходимости учитывать откло нения распределения числа отказов от закона Пуассона при оценке надежности автомобиля. Эту задачу с учетом исследований [2,5] можно решить следующим образом.
Рассмотрим элементарный поток отказов, т. е. поток, связанный с работой отдельного сменного элемента автомобиля. Обозначим все характе ристики этого потока индексами 1 (например, Ау, Р пл и т. д.). Учитывая, что пробег между со седними отказами у этого потока является неза висимой случайной величиной, можно считать его потоком с ограниченным последствием.
Если заданный интервал I находится на доста точно большом пробеге автомобиля от начала эксплуатации, то параметр потока отказов эле ментарного потока можно считать величиной постоянной и равной стационарному значению
Ах. Существование такого значения может быть доказано при весьма общих предположениях
относительно вида |
функции надежности Р (/). |
|
В этом |
случае для безусловных вероятностей |
|
появления |
ровно |
п отказов-характеристик |
Р пл (I, со) справедливы следующие уравнения [9]:
i |
|
Рол(1, со) = 1 — Лх \ cp0(jc) dx\ |
(10) |
'о |
|
I |
|
Рпл(1, со) = A j \ [c?n_ 1(x) cpn(x)] dx, п > 1. |
(1Г |
о |
|
В работе [9] функции ц>п (/)(« = 0, 1, 2 . . .)
называются функциями Пальма. Они представ
2!
ляют собой вероятности получения ровно п отка зов в интервале пробега /при условии, что в на чале этого интервала сменный элемент был ис правным. Следовательно, ф0 (/) = Р (I), а ос тальные функции ф„ (7) для п > 1 определяются, как известно, рекуррентными соотношениями
?л(0 = J ?n-i(l — х) / (*) dx\ 1
|
О |
|
f |
(17) |
f(X)=*— 'po(X)=— P'(l). |
) |
|
||
Из уравнения (10) Ах определится следующим |
||||
образом. Учитывая, что при /->0 Po,i(l, °о) |
0, то |
|||
^ i = |
— ■— |
= - — ■— |
= Д ~ . |
(13) |
J |
<?(>(*) dx |
J Р{х) dx |
ср |
|
о |
|
о |
|
|
со
где иР = JР{1) dl — средний срок службы эле-
0
мента.
Используя с небольшими изменениями ме тоды, изложенные в работе (91, можно получить систему уравнений более общую, чем (10) и (11), и справедливую для нестационарного элемен тарного потока отказов
Рол(1, И) = 1 — j Л1(«0 + i — х) <p0(x) dx\ (14)
0
Рп,i(U и) — ^ Aj(u0 Ч- 1 — х) [cp„_i(x) —
о |
|
|
— ф„(х)] dx, |
1, |
(15) |
где Рпл — безусловные вероятности появления ровно п отказов (п = 0,1, 2. . .) в интервале пробега (и, и + I). При этом функции ф„ (I)
связаны соотношениями, аналогичными выраже ниям (12).
Параметр потока отказов может быть найден путем решения следующего интегрального урав нения:
Л^/) = |
f( l — x)dx + f (/). |
(16) |
|
с |
|
Это выражение вытекает из уравнения (14), если положить и = 0 и учесть, чтоР 0)1 (/, 0) = q>0 (I),
изатем продифференцировать по I полученное соотношение. Выражение (16) можно получить
идругими методами, разработанными Смитом, Смолицким и Чукреевым [71.
Таким образом, полученные уравнения (12),
(14). . . (16) позволяют определить вероятности
Рп,1 (/, и) для любых значений п > 0 и тем самым найти точное распределение отказов автомобиля в интервале пробега (и, и + /) в случае элемен тарного потока отказов от одного сменного эле мента.
Как известно, автомобиль состоит из k смен ных элементов. Тогда вероятности Рп. 7 (/, и) можно определить путем последовательного опре деления соответствующих вероятностей для по токов отказов от одного, двух, трех и так далее сменных элементов, пока не будут рассмотрены все элементы.
Так, для потока отказов от: двух сменных
элементов |
|
|
||
7*0.2 = |
7*0,1 7*0,1; |
|
7*0.) Р\,i; |
|
7*1,2 |
= |
7*1.1 7*o,i |
+ |
|
Рп, 2 |
= |
Р п ,\ Р о л |
+ |
Р п —\,\Р\л + • • • + P o jP n .i', |
23
©т трех сменных элементов
Р@,3 = |
Р0*2 Ро.Ь |
|
|
P i,3 |
= Pi,2 Ре,1+ Ре,2 PiX, |
||
|
|
|
( 18) |
Рп,3 |
= |
PnfiPo.l + Pn-l,2Pl,l + • • • + Ро.пРп.й |
|
от k |
|
сменных элементов |
|
Po,k — Po,k—i P q,i ', |
|
||
Pisk = |
P 1,4—1 Po.i + |
Pe,k—\ PiX, |
|
Pn,k = Pn,k—lPo,l + |
(19) |
||
Pn—l.ft—1Pi,i+ |
|||
+ Pe,k-\Pn,i- |
|
||
Таким образом, для нахождения точного распределения отказов в заданном интервале пробега для периода нормальной эксплуатации некоторых агрегатов автомобиля, имеющих сравнительно небольшое число сменных элемен тов, а также в случае резервирования необхо димо: определить параметр элементарных пото ков отказов и вероятности Рп, i путем последо вательного решения уравнений (12), (14). . . (16); определить вероятности Р п< k для суммарного потока отказов автомобиля, постепенно услож няя рассматриваемый поток отказов последова тельным добавлением к нему элементарных потоков. Поставленную задачу можно решить приближенным методом, использовав при этом разложение в ряд Шарлье, основанное на рас пределении Пуассона.
Для системы из k элементов и вероятностей Р п (/, и) ограничимся первыми двумя членами такого разложения:
Р п (l,u)s^W(n,a)+e Д2 W(л,а), (л = 0 , 1 , 2 . . .);]
в = i ( D - a ) , |
р ° > |
24
где а — математическое ожидание |
(или среднее |
|
число отказов); |
|
|
D — дисперсия |
числа отказов в рассматри |
|
ваемом интервале |
пробега (и, и + |
/); |
W ( n ,a ) = ~ e - ° - , |
|
|
Д2 f (n, а) = |
W {п, а) — 2 W {п — 1, а) + |
|
+ |
Т (п — 2, а), |
|
причем для п < 0 полагается 'Г (п, а) = 0. Пола гая л = 0 и учитывая, что (0, а) = Д2 Ч1(0, а) — = е~а, получаем приближенную формулу ве роятности отсутствия отказов в рассматриваемом интервале пробега
Р 0(I, и ) & [ 1 — е (I, и)] е - « м . |
(21) |
Первый член в выражении (20) W (п, а) пред ставляет собой обычное пуассоновское прибли жение для искомой вероятности Рп. Второй член можно рассматривать как поправку к пуассо новскому приближению. Множитель е учитывает отклонение дисперсии числа отказов данного потока от дисперсии соответствующего пуассо новского потока (равной а).
Величина Д21Р (п, а) представляет собой вто рую разность функции ¥ (п, а), что аналогично второй производной при построении подобных разложений дифференцируемых функций распре деления.
Положим
Rm = Rm(1’ «) |
= |
2 p n{h и), (m = 1, 2 .. .), |
|
|
п= т |
где функция R m |
(I, |
и) — вероятность получения |
не менее т отказов в рассматриваемом интервале пробега автомобиля, состоящего из к элементов.
25