Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

LINEAR TIME-VARYING SYSTEMS:

ANALYSIS AND SYNTHESIS

Henry D'Angelo

Chairman, Department of Electrical Engineering

Michigan Technological University

Allyn and Bacon, Boston, 1970

Г.Д ' А Н Ж Е Л О

ЛИНЕЙНЫЕ

СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ

А Н А Л И З И С И Н Т Е З

Перевод с английского и редакция д-ра техн. наук Н. Т. Кузовкова

Мо с к в а

«М А Ш И Н О С Т Р О Е Н И Е »

1974

Многие системы современной техники, в частности системы управления движением летательных аппаратов, описываются линейными дифференциальными уравнениями с изменяющими­ ся во времени коэффициентами. Теория этих нестационарных си­ стем разрабатывается очень интенсивно, но простых и универсаль­ ных методов исследования, как для линейных стационарных си­ стем, пока не существует.

Характерная особенность книги Д'Анжело, предлагаемой вниманию советского читателя, — ее многоплановость. Автор обобщает результаты многих важных работ в области теории линейных нестационарных систем, давая интересные критические оценки и дополнения. Другая особенность книги — обстоятель­ ность и последовательность изложения как основных понятий классической теории обыкновенных линейных дифференциаль­ ных уравнений, так и современной теории систем.

Книгу отличает актуальность материала, учитывающего до­ стижения ученых разных стран. В гл. 4, 5, 6, пользуясь понятиями управляемости и наблюдаемости, автор излагает метод синтеза нестационарной системы, реализующей наперед заданную матрицу импульсных переходных функций. Доказы­ вается, что одна и та же импульсная переходная матрица может быть реализована системами разного порядка. Приводится алго­ ритм, позволяющий выделить из этих систем систему самого низкого порядка (редукция системы).

В гл. 7 наряду с уравнениями Хилла, Матье, Мейснера рас­ сматривается классическая теория Флоке исследования устойчи­ вости линейных систем с периодическими коэффициентами. Сле­ дует, однако, отметить, что широко применяемый в настоящее время критерий устойчивости периодических систем Бонджиорно (1964 г.) в книге не получил отражения. Не рассмотрены также системы со случайными коэффициентами и нестационарные си­ стемы с особой точкой. Правда, последний недостаток в некото­ рой степени компенсируется изложением достаточных критериев

5

П Р Е Д И С Л О В И Е

Цель настоящей книги — изложение основных методов ана­ лиза и синтеза линейных систем с изменяющимися во времени параметрами. Насколько известно автору, эта книга является первой обобщающей работой в области анализа и синтеза ли­ нейных нестационарных систем. Теория этих систем развивается главным образом применительно к многомерным системам об­ щего вида, причем широко используется метод переменных состояния. До настоящего времени теория линейных систем с переменными параметрами была рассеяна в многочисленных научно-технических публикациях. Поэтому как студентам, так и исследователям было чрезвычайно трудно получить правиль­ ное представление о тенденциях развития этой теории, роль ко­ торой быстро возрастает. Автор надеется, что эта книга будет полезна как тем, так и другим.

Эта книга явилась прежде всего результатом четырехлетних занятий автора с аспирантами по курсу анализа и синтеза ли­ нейных систем с переменными параметрами. Поэтому при изло­ жении материала сказались педагогические соображения: преж­ де чем развить общую теорию, автор старался, чтобы в резуль­ тате предварительного изучения простых примеров и специальных случаев у читателя выработалось «чутье» в отно­ шении основных свойств нестационарных систем. Такой поря­ док изложения не совсем удобен для лиц, уже достаточно зна­

обращалось на то, чтобы педагогические соображения не при­ водили к упрощению вопросов или замалчиванию действитель­ ных проблем анализа и синтеза линейных систем с перемен­ ными параметрами.

Книга доступна как научным работникам, так и инженерам. В ней используются дифференциальные уравнения и матричное исчисление, так что для понимания достаточна обычная матема­ тическая подготовка в объеме вуза.

7

Глава 1

ОБЩИЙ ОБЗОР

1. 1 СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Большинство методов анализа и синтеза систем, применяемых на практике, разработано, исходя из предположения, что система аппроксимируется моделью, удовлетворяющей следую­ щим условиям:

1. Причинность: в равновесной системе* переходный про­ цесс до приложения входного сигнала не возникает.

2. Сосредоточенность параметров: размеры элементов систе­ мы малы по сравнению с длиной волны основной частотной со­ ставляющей процессов, протекающих в системе.

3.Стационарность: ни один из элементов системы не имеет параметров, которые изменялись бы во времени.

4.Линейность: к любой паре сигналов «вход — выход» рав­ новесной системы применим принцип суперпозиции (например,

удвоение входного сигнала удваивает выходной сигнал).

В этой книге рассматриваются главным образом системы с изменяющимися во времени параметрами. Внимание концентри­ руется на широком классе систем, удовлетворяющих условиям причинности, сосредоточенности параметров и линейности, т. е. на линейных системах с переменными параметрами (линейные нестационарные системы). Уравнения, описывающие линейные нестационарные системы, аналогичны уравнениям линейных ста­ ционарных систем. Отличие заключается лишь в том, что коэф­ фициенты этих уравнений могут быть функциями времени. Та­ ким образом, линейные нестационарные системы описываются в случае скалярной системы уравнением

9

Однако в отличие от линейных стационарных систем для ли­ нейных нестационарных систем общих методов решения уравне­ ний произвольного вида не существует.

1. 2. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Классическими примерами линейных нестационарных систем являются микрофонный преобразователь с переменным сопро­ тивлением, конденсаторный микрофон, содержащий переменную емкость, и индукционный генератор, в котором взаимная индук­ тивность первичной и вторичной обмоток переменна. Эти устрой­ ства по своей физической сущности менее сложны, чем такие современные системы, как каналы связи через различные среды, подверженные циклическим и случайным изменениям, и пара­ метрические усилители, коэффициент усиления которых опреде­ ляется контуром с переменными реактивными элементами.

держат модуляторы (перемножители), усилители переменного тока и демодуляторы (перемножители). Модулятор, в котором напряжение несущей частоты умножается на входной сигнал, часто характеризуют периодически изменяющимся во времени коэффициентом усиления. Типичными примерами механических систем с несущей частотой являются маятник с пружинным под­ весом, связанные маятники с осциллирующей точкой подвеса и

Быстрое развитие самонастраивающихся систем, в которых происходит автоматическая настройка параметров регулятора, компенсирующая проистекающие от переменчивости окружаю­ щих условий изменения параметров объекта, обусловило повы­ шенный интерес -к системам автоматического управления с пере­ менными параметрами. Если, например, объект описывается линейными дифференциальными уравнениями, то самонастраи­ вающаяся система с эталонной моделью может быть на соответ­ ствующем интервале времени адэкватно представлена линейной системой с переменными параметрами.

10