Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Интерес к самонастраивающимся системам в значительной мере вызван появлением сверхзвуковых самолетов, а также началом полетов в космосе. Система автоматического управле­ ния самолета описывается уравнениями, коэффициенты которых зависят от скорости полета. Раньше было обычной практикой полагать скорость постоянной, что приводило к линейным диф­ ференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Относительно малые ускорения дозвукового самолета делали это предположение правильным, так как теоретические резуль­ таты хорошо согласовывались с практикой. Однако при возрос­ ших ускорениях и скоростях современных сверхзвуковых само­ летов и ракет их параметры значительно больше зависят от изменений скорости полета. Кроме того, высокая скорость горе­ ния топлива обусловливает значительное изменение массы, по­ ложения центра тяжести и моментов инерции объекта за время переходного процесса. И, наконец, причиной непостоянства па­ раметров является изменение условий полета при быстром изме­ нении высоты. В соответствии с этими обстоятельствами совре­ менная теория автоматического управления самолетами и раке­

Космические полеты характеризуются переменными парамет­ рами несколько другого типа. Большой интерес в связи с этим представляет проблема перевода космического летательного ап­ парата с одной орбиты на другую, задачи встречи и управления межпланетными полетами. При составлении уравнений движе­ ния искусственного спутника Земли как твердого тела необхо­ димо учитывать циклическое изменение инерционных моментов, обусловленное движением спутника по его орбите. Решение задачи встречи двух спутников осложняется комплексной труд­ ностью, связанной с изменением массы и параметров орбиты. Нахождение перехватчика на одной орбите с целью достигается маневрированием перехватчика, что сопряжено с расходованием топлива. Кинематика перехвата дополнительно вводит изменя­ ющиеся во времени параметры. В результате дифференциальное уравнение системы содержит как периодически, так и апериоди­ чески изменяющиеся коэффициенты. Представляет также инте­ рес класс задач, относящихся к гироскопической стабилизации спутника, движущегося по орбите. Эти задачи приводят к необ­ ходимости изучения уравнения Матье с демпфирующим членом.

1.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Система, удовлетворяющая условиям причинности, сосредо­ точенности параметров, неизменности во времени и линейности, называется линейной системой с постоянными параметрами (ли­ нейная стационарная система) или, менее строго, — линейной

11

системой. Такая система описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением п-то порядка с постоянными ко­ эффициентами

рассмотрении каждой переменной состояния как выходной пере­

В общем случае, однако, число выходов не зависит от числа переменных состояния. Выходы могут быть определены как ли­ нейные комбинации переменных состояния и входов.

12

Следовательно, можно записать

Рис. 1.3. Система с нескольки­ ми входами и выходами:

/—линейная многомерная система

Уг ш

Легко видеть, что число переменных состояния определяется порядком системы: система n-го порядка имеет п переменных состояния. Что касается выходов, то их число не ограничено. Число выходов обычно определяется потребностями рассматри­ ваемой задачи.

Методы определения реакции линейной стационарной систе­ мы на любой входной сигнал хорошо известны и за исключени­ ем нескольких особых случаев их применение не вызывает за­ труднений.

Пример 1.1. Составим уравнения в переменных состояния для контура, показанного на рис. 1.6. Будем выводить эти уравнения, принимая за пере-

13

меньше состояния напряжения на емкостях и записывая для каждой из емко­ стей соотношение между напряжением и током:

dxx if) dt

*t(0)= VC,

± y(t)

иу(0==-»2(0.

Вматричной форме эти уравнения записываются как

ренциальным уравнением третьего порядка

14

Для линейного дифференциального уравнения, не содержащего производ­ ных возмущающего воздействия r(t), всегда применима следующая процедура получения уравнения состояния.

Вводим переменные состояния

Хх (t) = X (t),

X2(,t)='Xl (t)=x(t),

*з (t) = x2 (t) = X (t).

Тогда

Следовательно, в матричной форме уравнение состояния запишется как

На рис. 1.7 показана блок-схема системы в переменных состояния, на ко­ торой каждая из переменных состояния служит выходом интегратора.

/f

6^ -2 Рис. 1.7. Блок-схема в перемен­

ных состояния для уравнения в примере 1.2

Пример 1. 3. Найдем уравнение состояния системы, описываемой следую­ щим дифференциальным уравнением третьего порядка, содержащий! произ­ водные возмущающего воздействия:

IS