3) |
Все входные функции и (t) |
таковы, что |
|
|
| | « ( 0 1 2 ^ / < о о . |
(8.192) |
|
о |
|
|
4) |
Переходный процесс y(t) |
непрерывен и |
удовлетворяет |
условию |
|
|
|
t |
|
|
|
\^\y{x)fdx<oo |
(8.193) |
|
о |
|
|
для всех конечных ^>0. |
|
|
Условие 4) при учете предположений 1), 2) , 3) |
соответствует |
обычному ограничению, имеющему место :в физических системах. Существенным здесь является то, что физическая система не со держит элементов (в частности, усилителя с переменным коэф фициентом усиления), способных за конечный промежуток вре мени отдавать бесконечно большую энергию, т. е. предположение об отсутствии в системе источников с бесконечно большой мощ ностью.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятие устойчивости, |
предусматриваемое |
критерием Най- |
гевиста, является более строгим, чем понятия устойчивости |
и ре |
зонансное™ |
согласно определениям |
8. 1 и 8. 2. |
|
|
|
|
Определение 8. 7. Замкнутая система, показанная |
на рис. 8.5, |
является /^-устойчивой тогда и только |
тогда, когда |
существует |
положительная постоянная Q, при которой |
переходный процесс |
y{t) |
удовлетворяет неравенству |
|
|
|
|
|
|
\\y{t)?dt |
|
f \u{t)-\-w{tfdt |
2 |
+ |
^\w(tfdt |
|
1. 194) |
при |
любой |
учитывающей |
начальные |
условия |
функции |
w(t), |
подчиненной |
неравенству |
(8. 191), и при любой |
входной |
функ |
ции и(t), |
удовлетворяющей неравенству |
(8. 192). |
|
|
|
|
Если, |
в частности, система £2 -устойчива, |
то при |
квадратич |
но интегрируемом входном сигнале переходный процесс явля
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется |
квадратично интегрируемым. |
Можно показать [26], что при |
t—>-оо переходный процесс |
у (t) |
стремится |
к |
нулю |
при |
любом |
квадратично интегрируемом |
входном |
сигнале |
u(t), |
если |
систе |
ма 12 -устойчива, |
w(t) |
>оо при t—мхз |
и |
неравенство (8. 190) |
удовлетворяется. Кроме того, из |
неравенства |
Буняковского — |
Шварца следует, что переходный |
процесс y(t) |
равномерно огра |
ничен на интервале [0, оо) при любом |
квадратично |
интегрируе |
мом |
входном |
сигнале |
u(t), если система L 2 |
устойчива, |
импульс |
ная |
переходная |
функция g(t) |
равномерно ограничена |
на [0, со] |
и неравенство |
(8.192) |
удовлетворяется. |
|
|
|
|
|
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 8. 16. Пусть
G(/o>) = § g(t)e-latdt, |
— с о < ш < о о , i = Y ~ \ . (8.195) |
о
Замкнутая система на рис. 8. 5 является /^-устойчивой, если удовлетворяется одно из следующих трех условий:
1. а > 0 и годограф G(ta>) для — о о < с о < ° о
|
Рис. |
8.6. |
Положение |
|
|
Рис. |
8.7. |
Положение |
|
«критического |
круга» Ci |
|
|
«критического круга» С2 |
|
в комплексной плоскости |
|
|
в комплексной плоскости |
|
( а > 0 ) . Замкнутая систе |
|
|
( а < 0 ) . |
Замкнутая систе |
|
ма |
/,2 -устойчива, если го |
|
|
ма /,2-устойчива, если го |
|
дограф |
G(iw) |
для |
|
|
дограф |
G(t'co) |
для |
|
— о о < ш < о о не заходит в |
|
|
— оо<ш<оо располагает |
|
круг Ci и не охватывает |
|
|
ся внутри круга С2 |
|
|
|
|
этот круг |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) не заходит внутрь круга |
Cf радиуса |
— ( а - 1 — 3 _ 1 ) с |
цент |
ром |
в точке |
— ^ - |
(сх 1 |
—|— Р 1 ), |
oj на |
действительной |
оси |
ком |
плексной |
плоскости, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) не охватывает круга С4 |
(рис. 8. 6). |
|
|
со. |
|
2. а = 0 |
и |
RefG(ш)]>(З- 1 |
для всех |
действительных |
|
3. |
а < 0 |
и |
годограф |
G(ico) |
для — о о - < ( о < о о |
целиком |
распо |
лагается внутри круга С2 радиуса — |
( а - 1 — ,З- 1 )с |
центром |
в точ |
ке |
— ^ - |
( а - 1 |
- ) - ? - 1 |
) , QJ на действительной оси комплексной пло |
скости (рис. 8. 7).
Доказательство. Доказательство теоремы 8. 16 зависит от ре зультата, формулируемого далее в качестве леммы. Доказатель ство леммы можно найти в работе [26]. Из-за большого объема и сложности оно здесь не приводится.
