Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Скачать файл (9,19Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2024

Просмотров: 195

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Неравенство (8.213)

легко доказать,

если

использовать упо

мянутую выше лемму.

Согласно схеме на рис. 8. 5 имеем

и ( 0 +

и » (0 = е ( 0 +

f g{t-"C)f{x)e{x)dx.

(8.214)

Из неравенств

(8. 191) и (8. 192) вытекает, что

f \u{f)-\-w{tfdt

оо.

(8.215)

Предполагая опять, что источники

с бесконечной

мощностью

отсутствуют,

находим

f \e(tfdt<со,

/ - к о н е ч н о .

(8.216)

Таким образом,

уравнение

(8.214)

и неравенства

(8.186),

(8.190),

(8.215),

(8.216)

соответствуют

некоторым

условиям

леммы.

Это'

создает

предпосылки

выполнения неравенства

(8. 213) и, следовательно, /^-устойчивости

системы.

Использование обычных для критерия Найквиста

частотных

подходов показывает следующее:

годограф G(la>)

а)

условие I леммы будет выполнено, если

для — о о < с о < ; о о

не охватывает

и не проходит

точку с

коорди

натами [ —2(а+: р) -1 , 0];

будет

выполнено,

если

удовлетворяет

б)

условие

I I леммы

ся одно из следующих трех условий:

а > > 0

годограф

0(/оо)

для

— о о < ^ о х ^ о о

.проходит

вне

круга

С,

радиуса

— ( а - 1 — р - 1 )

центром

точке

•

комплексной

плоскости;

2) а —0 и Re [С7(ш)] >

— Р - 1

для всех

действительных

со;

а < 0 и годограф

G (/со)

для

— о о < ш < ; о о

расположен

внутри

круга

С 2

радиуса

- ~ ( а - 1 — р-1 )

центром

точке

—Y

( a _ 1 - f

р - 1 ) , 0

комплексной

плоскости.

Если

а > 0 , то точка [—2(a+.|J)- 1 ,

0] лежит

на направленном

вдоль

действительной оси диаметре круга GY, при

а = 0 или

а < 0

годограф G(/co) не может охватить

точку

[—2(a + P)_ 1 , 0].

Поэтому

формулируемые

. теоремой

условия

гарантируют

/^-устойчивость замкнутой

системы.

280

Следствие 8.16. Пусть q(s) и p(s) — не имеющие общих мно жителей полиномы, а уравнения

х(Л = Ах(Л + Ьи(Л,

y(t)

= Cx(t)

(8.217)

есть

нередуцируемое

представление

передаточной

функции

Q(s)=

? ( s )

(8.218)

P(s)

Если p(s)

не имеет

нулей

в правой

части

плоскости Re[s]>0,

то: 1) все решения свободной

(т. е. при нулевом

входном

сиг

нале)

системы

(рис. 8.8),

опи

сываемой

уравнениями

—UQ

G(s)-- Pfs)

х(Л =

А х ( Л - Ь /

(t)y(t),

г/(Л = С'х(Л

f(t)

ограничены,

если

Рис. 8. 8. Линейная скалярная неста

0 < о < / ( Л < Р

(8.220)

ционарная система,

рассматриваемая

и годограф Найквиста G(s) не

следствии 8. 16

охватывает

не

пересекает

открытую

область в

виде

круга.

диаметром

которого

служит

отрезок (—a- i

-р1 - 1 )

отрицательной

части

действительной оси

комплексной

плоскости G(s);

все решения уравнения

(8.219)

ограничены

и стремятся к

нулю

по

экспоненциальному

закону,

если

существует

такое

е > 0 ,

что 0 ^ a

+ e ^

f(t)^?>—

е, а годограф

Найквиста

протека

ет, как

описано в

1 (тогда,

согласно

теореме

8.3,

любому

ограниченному входу соответствуют ограниченные выходы).

рассматривается

пример, иллюстрирующий

примене

ние кругового критерия.

Пример 8. 15.

Необходимо для функции f(t)

определить границы, обеспе

чивающие устойчивость системы, описываемой дифференциальным уравнени ем второго порядка

dixit)		dx	+ / (0 х = 0.
dP	— + 2 —
		dt	У

Заметим, что показанная на рис. 8. 9 система описывается именно этим урав нением.

На рис. 8. 10 представлен годограф Найквиста G{m). При этом годогра фе круговой критерий выявляет достаточно большой диапазон допустимого из менения f(t) (т. е. наибольшее значение р\ обеспечивающее при относительно малом а устойчивость системы), а именно:

2 , 3 1 < / ( 0 < П Д

Наибольший диапазон /(/) при наименьшем а получается следующим:

0 < f ( 0 < 4 .

281

Интересно отметить, что для некоторого положительного конечного е, т. е. в случае функции f(t), изменяющейся в пределах

0 < / ( 7 ) < 4 + е ,

круговой критерий дает отрицательный результат в отношении устойчивости системы.

Однако с помощью других методов можно показать, что устойчивость си

стемы	имеет		место	даже		в случае,
когда	0 ^ f ( * X l l , 6 .							0,25
Это		подтверждает,			что	круговой		0,25
критерий		обычно предъявляет к си					0,4	0,3 , 0,2
стеме	слишком жесткие				требования.			0,258
Излишняя жесткость достаточных ус								0,258
Излишняя жесткость достаточных ус
ловий	устойчивости			не	является не			10,1
ожиданностью,			так	как	в	круговом	0,432	10,1
ожиданностью,			так	как	в	круговом		'0,084
								'0,084
								0,2
			G/S):	S(S+2)\
				S(S+2)\				0,3
								0,3

		OA
Рис. 8.9. Линейная нестационарная	Рис. 8. 10. Годограф	Найквиста си
система с обратной связью в приме	стемы G (s) =	— использо-
ре 8.15	стемы G (s) =	— использо-
ре 8.15	s (s + 2)
	s (s + 2)
	ванный в «круговом	критерии» при
	мера 8. 15

критерии используется лишь информация о верхней и нижней границах пере менного коэффициента усиления f(t). Можно ожидать, что при учете закона изменения f(t), т. е. производных от f(t), достаточные условия устойчивости получатся менее жесткими. Известный успех в нахождении таких условий достигнут в работах [8], [17], [22] и [24], причем в [8] и [22] указаны даже же лаемые частотные характеристики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Б е л л м а н Р. Теория устойчивости решений дифференциальных урав нений. М., ИЛ, 1954.

2.Б о н д ж и о р н о. Критерии устойчивости линейных систем с перемен ными во времени параметрами, выраженные через характеристики в области действительных частот. ТИИЭР, 1964, т. 52, № 7.

3.Б р о к е т т и Л и. Критерии неустойчивости для изменяющихся во вре

мени и нелинейных систем в частотной области. ТИИЭР, 1967, т. 55, № 5.

4.Г а н т м а х е р Ф. Теория матриц, 1954.

5.Л а-С а л л ь Ж- и Л е ф ш е ц С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М., «Мир», 1964.

6.П о п о в В. М. Об абсолютной устойчивости нелинейных систем авто матического регулирования. — «Автоматика и телемеханика», 1961, т. XXII,

№8.

7.B e l l m a n , R., On an Application of a Banach-Steihauss Theorem.to the Study of Boundness of Solutions of Nonlinear Differential and Difference Equa tions, Ann. Mathematics, vol. 49, no. 3, (1948), pp. 515—522.

282

B e r g e n ,

A., On the

Stabilization

of Time-Varying

Feedback

Systems,

Proceedings,

First

Asilomar

Conference

Circuits and

Systems,

Pacific

Grove,

California, November,

1967.

9. В о n g i о r n o,

J., An Extension of the Nyquist-Barkhausen

Stability

Cri

terion to Linear Lumped-Parameter Systems with Time-Varying Elements,

I E E E

Trans,

on Automatic

Control, vol. AC-8, (1963),

pp. 166—171,

10.

B r i d g l a n d ,

Т.,

Stability

Linear

Signal

Transmission

Systems.

SIAM Review, vol. 5, no. 1,

(1963), pp. 7—32.

11.

В r o c k e t

R.,

L. F o r y s ,

the

Stability of

Systems

Containing a

Time-Varying Gain, Proceedings,

Second Annual Allerton

Conference

Circuit

and Systems Theory, September,

1964, pp. 413—430.

12. В г о с к e 11, R., and J. W i 11 e m s, Frequency Domain Stability Criteria-

Part I and II, I E E E

Trans, on Automatic Control, vol. AC-10,

no. 3,

(1965),

pp. 255—261, 407—413.

13.

B r o c k e t t ,

R.,

The

Status

Stability

Theory

for

Deterministic

Sys

tems, I E E E

Trans, on

Automatic Control, vol. AC-11, no. 3,

pp. 596—606.

14.

С e s a r i,

L., Asymptotic

Behaviour

and

Stability

Problems in Ordinary

Differential Equations, Academic, New York, 1963.

15.

D e s o e r ,

C ,

Generalization

the

Popov

Criterion,

I E E E Transa

ctions on Automatic

Control, vol. AC-10, no. 2,

(1965),

pp. 182—185.

16. D о r a t o,

P., Short-Time Stability

in Linear

Time-Varying Systems, IRE

International

Convention

Record, part 4

(1961), pp. 83—87.

17.

G r u b e r,

M., J. W i 11 e m s,

Generalization

the Circle Crite

rion, Proceedings Fourth Annual Allerton Conference on Circuit and

System

Theory, October, 1966,

pp. 827—835.

18.

К a 1 m a n,

R., On

the

stability

of Time-Varying Linear

Systems,

IRE

Transactions

on Circuit

Theory,

vol

CT-9, 1962,

pp. 420—422. Also

discussion

T. Bridgland, R. Kalman in

vol. CT-10,

(1963),

pp. 539—542.

19.

K a p l a n

W., Operational Methods

for

Linear

Systems,

Addison-Weslev

Reading, Mass,

1962, pp. 105—106, 503—511.

20.

N a г e n d г a,

K-, R. G о 1 d w у n, A Geometrical

Criterion for

the Stabi

lity of

Certain Nonlinear

Nonautomous Systems,

I E E E

Trans, on

Circuit Theory,

vol. CT-11 (1964),

pp. 406—408.

21.

P o r t a s i k ,

J. and

H. D'A n g el o,

Short-Time

Stability

Forced Li

near Time-Varying Systems,

Proceedings,

Midwest

Circuit

Symposium, May,

1968.

R a u 11 A.,

S t a b i l i t y

of Time-Varying Feedback Systems,

Thesis

De-

partament of

Electrical Engineering,

University of

California, Berkeley,

1965.

23. R e к a s i u s,

Z., A Counter-Example for

the Generalization

the

pov Criterion to Systems Containing a Single

Time-Varying

Element,

I E E E

Trans,

on Automatic

Control, vol. AC-11, no.

(1966),

pp. 139—140.

24.

R e k a s i u s ,

Z., J. R o w l a n d ,

Stability

Criterion for

Feedback

Sys

tems Containing a Single Time-Varying Element,

I E E E

Transactions

Auto

matic Control Theory, vol. AC-10, no. 3 (1965),

pp. 352—354.

25.

R о h r e r, R., Stability of Linear Time-Varying Networks-Bounds

on the

Stored

Energy, Proceedings,

National

Electronics Conference,

1963, pp. 107—114.

26.

S a n d b e r g,

I., On the L2-Boundedness

Solutions

Nonlinear

Functional Equatuons,

Bell

Systems

Technical

Journal,

vol.

43,

(1964),

pp. 1581—1599.

27.

S a n d b e r g,

I., A Frequency-Domain

Condition for the Stability of

Feedback Systems Containing a Single Time-Varying Nonlinear Element, Bell

Systems Technical Journal, 1964, vol. 43,

pp. 1601—1608.

28.

S a n d

berg ,

I., On

the Stability

of Solutions

Linear

Differential

Equations with

Periodic Coefficients,

J. SIAM

Applied

Mathematics,

vol.

12,

no. 2 (1964), pp. 487—496.

29. W a t s o n ,

J., A. S t u b b e r u d, Stability

Systems Operating

in a Fi

nite Time Interval,

I E E E

Trans,

Automatic

Control,

vol.

AC-12,

1967,

p. 116.

283


	30. W a z e w s k i , Т. Stir			la limitation der intergrales			des systems d'equati-
ons	differentielles		lineaires ordinaires, Studia Math, vol. 10				(1958), pp. 48—59.
	31. W e i s s ,		L., E . I n f a n t e , Finite Time Stability Under Perturbating For
ces	and on	Product Spaces,		I E E E	Trans, on	Automatic Control, vol.		AC-12,
no. 1, (1967),		pp. 54—59.
	32. Y о u 1 a, D., On the Stability				of Linear	Systems,	I E E E Trans, on	Circuit
Theory, vol. CT-10 (1963), pp. 276—279.

33.2 a d e h, L., On Stability of Linear Varying-Parameter Systems. J. Appl. Physics, vol. 22, no. 4 (1951), pp. 402—405.

34.2 a m e s, Q. On the Input-Ontput Stability of Time-Varying Nonlinear Feedback Systems-Part I: Conditions Derived Using Concepts of Loop Gain, Co

nicity, and Positivity; Part II:	Conditions Involving Circles in the Frequency
Plane and Sector Nonlinearities,	I E E E Trans, on Automatic Control, vol. A C - l l ,

no. 2, 3, (1966), pp. 228—238, 465—476.

Задачи

8. 1. Привести отличные от рассмотренных в тексте примеры линейных си стем:

а) устойчивых и нерезонансных; б) устойчивых и резонансных.

8. 2. Исследовать устойчивость систем, описываемых уравнениями

а)			— 1	-4	(t)
а)	>2 (0		te - i t	*2	(0
б)	"xi	(t)		1	xi	(0]
	*2	(0	-	sin	/ lx2	it) .

8. 3. Для систем

а)	"xi	(t)		2	5	Jf	l (0'
	*2	(t)	-1		—2	x2	it)
б)	"х\	if)		1	— 3	xi	it)'
	"х\	if)				xi	it)'
	>2 (0			2	—4	1X2	it)
в)	'xi	(t)		— 1		2	Xl	it)
	>2	(t)i	-	— 2 —2			x2	it)
			-				x2	it)
г)	X\	it)		— 1				xi	it)
	>2 (0				0			x2	it)

определить при помощи теорем 8. 10а, 8. 11, 8. 12, 8. 14а, 8. 15 ограничение на начальные условия х'(0)х(0), при которых x'(t)x.(t) <10 на интервале [0,5].

Сравнить результаты, даваемые различными теоремами.

8. 4. При помощи следствия 8. 13 и теорем 8. 14а, 8. 15 определить огра ничения на ||f(r||, обеспечивающие на интервале [0,5] нерезонансность указы-

284'

Смотрите также файлы

Иноземцев, Г. Г. Незатылованные шлицевые червячные фрезы.pdf

Кондратьев, Е. Т. Термическая обработка в ремонтном деле.pdf

Немкевич, А. С. Конструирование и расчет печатающих механизмов.pdf

Сядристый, Н. С. Тайны микротехники.pdf

Фоломеев, А. А. Снижение материалоемкости железобетонных конструкций.pdf

Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно