Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2024
Просмотров: 197
Скачиваний: 1
Дифференцируя y(t) |
и подставляя выражение Xi{t), |
получим |
||||
|
у (0 = хх |
(О + b0r (О = х2 (О + |
*!Г |
(t) + V (О. |
||
Аналогичным образом находим |
|
|
|
|
||
й (О = х2 |
(0 + V |
(О + V ( 0 |
= Jf3 (f) + V |
(О -I- bir (О + V (О , |
||
'ii(t) = i 3 |
+ V (О + ftxr (f) + *о'ЛО = - 4 |
- ^ i (О - |
3*2 (О - 2*з (О |
|||
|
+ |
b3r(t) + b2r(t) |
+ b:'r(t) |
+ |
b0r\t). |
|
|
|
b2 |
|
|
|
bo |
|
Рис 1.8. Блок-схема в переменных состояния для |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
уравнения |
в |
примере |
1.3 |
|
|
|
|
||||||
Подставляя |
Xi(t), |
Xz(t), |
x3(t) |
в последнее |
уравнение, |
получаем |
|
|
||||||||
"у (t) = |
— Ay (t) — Зу |
(О — 2у |
(t) |
+ |
(Щ |
+ |
3*! + |
2*2 |
+ b3) г (t) |
+ |
|
|||||
|
+ |
(360 + 2fti + b2) |
r (t) |
+ |
(260 |
+ |
Ь{) r (t) |
+ |
b0r{t). |
|
|
|||||
Разрешая исходное дифференциальное уравнение относительно y(t), |
будем |
|||||||||||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у (О = |
- |
4р (О - |
3» (О - |
2у (О + 8/- (О |
+ |
7г (О |
+ |
6г (О + 57(t). |
|
|||||||
Сравнивая в последних двух уравнениях коэффициенты при r(t) |
и ее про |
|||||||||||||||
изводных, получим четыре |
уравнения, из которых можно определить Ь0, |
Ьл, |
Ь2, Ьз: |
|||||||||||||
|
|
" 4 3 2 1 |
|
~ |
|
|
|
|
~ 8 ' |
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
2 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 0 |
0 |
|
|
h |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
_ 1 0 0 0 |
|
- Ь г |
^ |
|
_ 5 |
|
|
|
|
|||||
Блок-схема, составленная по уравнениям |
в |
переменных |
состояния, |
показана |
||||||||||||
на рис. 1.8. |
Отметим сходство |
этой схемы |
со схемой на рис. 1.7. |
В |
обоих |
|||||||||||
случаях были использованы |
схемы с минимальным числом |
интеграторов. |
|
|||||||||||||
16
Пример 1.4. Если известна блок-схема, составленная по уравнениям в переменных состояния, то легко написать уравнения соответствующей системы. Проиллюстрируем это для системы, показанной на рис. 1.9. Имеем:
Хч = |
— 3*2 — 2*3 + И\, |
•*3 = |
х4' |
Х4 = — Х2 — Х3 + И2 >
01 = *1 -
У2 = хг
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
•Уг |
Рис. |
1.9. |
Блок-схема в |
переменных |
состоя |
|||||
|
|
|
|
ния |
для |
примера |
1.4 |
|
|
или в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
Х\ |
|
|
Х2 |
0 |
-- 3 |
— 2 |
0 |
|
Х2 |
+ |
Г Hj " |
|
Хз |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
хз |
L «2 . |
|
|
0 |
-- 1 |
— 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xl |
|
|
|
' |
Ух 1 |
" 1 0 0 |
(Л |
Х2 |
|
||
|
|
. |
У2 |
|
.0 |
о 1 |
|
Х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
х4 |
j |
1. 4. ТРУДНОСТИ ТОЧНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Точных методов анализа линейных нестационарных систем немного. Эти методы или чрезвычайно сложны, или пригодны лишь для небольшого класса систем. Основные трудности ана лиза линейных нестационарных систем станут более ясными после обзора обычных методов точного исследования этих систем.
1.4.1. Классические |
методы. Классический подход сводится |
|
к определению базисных |
фунщии^а |
зате'м^при* йсп'оЛьфвании |
процедуры интегрирования, основанной на принципе суперпози ции, — к определению реакций системы на различные входные сигналы. Базисные функции, образующие п независимых реше ний однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка, обычно бывает очень трудно определить. Для про извольного линейного дифференциального уравнения с перемен ными коэффициентами общего метода определения системы ба зисных функций не существует.
Для линейной нестационарной системы, описываемой одним дифференциальным уравнением n-го порядка, классический под ход состоит в отыскании базисных функций в виде бесконечных полиномов и определении реакций методом вариации постоян ных. Этот метод удалось успешно применить лишь к небольшому классу систем. В результате были найдены сейчас подробно табулированные базисные функции следующих уравнений:
а) уравнения |
Бесселя, |
б) уравнения Матье, |
|
в) уравнения |
Лежандра, |
г) уравнения |
Лагерра, |
б) уравнения |
Вебера, |
е) гипергеометрических уравнений, ж) уравнения Эйри.
Конечно, эти уравнения представляют собой лишь ничтож
ную часть возможных |
линейных |
дифференциальных |
уравнений |
|||||
с переменными коэффициентами. |
Определение |
же |
базисных |
|||||
функций для других уравнений является |
очень трудным |
делом. |
||||||
В случае |
линейной |
нестационарной |
системы, |
описываемой |
||||
уравнением |
состояния, |
используется |
итеративный |
метод |
инте |
|||
грирования, приводящий к матрицанту |
или, как его сейчас |
назы |
||||||
вают, •— к фундаментальной матрице. |
Фундаментальная |
матри |
||||||
ца неявно зависит от базисных функций. |
|
|
|
|
||||
Однако различные методы получения точного решения не до |
||||||||
полняют друг друга, так что трудности получения |
точного |
реше |
||||||
ния одним методом обычно служат достаточным доказательст
вом того, что трудности |
возникнут и при использовании |
другого |
|||||||
метода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
|
|
|
|||
1. |
А т а н с |
М. и Ф а л б |
П. Л. Оптимальное |
управление. М., |
«Машино |
||||
строение», 1968. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Д е р у с с о |
П. М. Пространство состояний |
в теории |
управления. Для |
|||||
инженеров. М., «Наука», 1970. |
|
|
|
|
|
||||
3. |
З а д е |
Л., Д е з о е р . |
Теория линейных систем. Метод пространства |
||||||
состояний. М., |
«Наука», 1970. |
|
|
|
|
|
|||
4. |
A t h a n s, |
М., «The Status |
of Optimal Control Theory |
and Applications |
|||||
for Deterministic |
Systems*, |
I E E E |
International Convention |
Record, part 6 |
|||||
(March, 1966), pp. 100—124. |
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
В о n g i о r n o, J., Computer Controlled Adaptive |
Feedback Control Sys |
|||||||
tems, |
Report N |
PIBMRI-1039-62, Polytechnic Institute of |
Brooklyn, Microwave |
||||||
Research Institute, |
Sept. 6, 1962. |
|
|
|
|
|
|||
18
|
6. |
B r o c k e t , |
R. |
«The Status |
of Stability Theory of |
Deterministic Sy- |
||||||||||
stems», |
I E E E International |
Convention |
Record, |
part |
6 |
(March |
1966), |
|||||||||
pp. 125—142. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7. |
C o l l a r , |
A., |
«On the Stability of |
Accelerated |
Motion: Some Thoughts |
||||||||||
on |
Linear |
Differential |
Equations |
with |
Variable |
Coefficients», Aeronautical |
||||||||||
Quarterly, Vol. 8 (1957) pp. 309—330. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
8. G r a h a m , D. E . B r u n n e l l e , W. J o h n s o n , a n d H. P a s s m o r e , |
|||||||||||||||
Engineering |
Analysis |
Methods |
for |
Linear Time — Varying |
Systems, Technical |
|||||||||||
Documentary Report ASD-TDR-62-362, ASTIA, January |
1963. |
|
|
|
||||||||||||
|
9. |
N a r e n d r a , |
K. «Integral Transforms for a |
Class |
of |
Time — |
Varying |
|||||||||
Linear |
Systems», |
IRE |
Trans, |
on |
Automatic |
Control, |
vol. |
AC-6 |
(1961) |
|||||||
pp. 311—319. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10. |
S c h w a |
rz, |
R. and B. F r i e d l a n d , |
Linear |
Systems, |
McGraw — Hill, |
|||||||||
New |
York, |
1965. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи
1. 1. Механическую систему, показанную на рис. П1. 1, описать одним диф ференциальным уравнением и уравнением состояния.
777777* |
|
|
Рис. Ш . 1. |
Система |
Рис. П1.2. Система в задаче 1.2 |
в задаче |
1. 1 |
|
1.2. Систему, показанную |
на рис. П1.2, описать одним дифференциальным |
|
уравнением, связывающим r(t) |
и x(t). Написать дифференциальные уравнения |
|
относительно переменных состояния, принимая в качестве переменных состоя
ния x(t) |
и y(t). Эти операции повторить при входном сигнале g(t), действую |
щем на второй интегратор (показан пунктирной линией). |
|
1.3. |
Написать уравнение состояния, соответствующее следующему диффе |
ренциальному уравнению второго порядка:
»(0 + к ( 0 + » ( 0 =r(t) + r ( t ) .
Составить блок-схему в переменных состояния.