Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

Скачать файл (9,19Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2024

Просмотров: 199

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следствие 8. 146. Для линейной системы, описываемой урав нением (8.151), достаточное условие ограниченности на конеч ном интервале в отношении Zf{t), c(t), Т заключается в выпол нении условия

е0 ехр °f ||А(?)||</Н- f v M e x P ° | t r | | A ( ^ l l ^ ^ < C W - (8-184)

Теорема 8.15. Для линейной системы, описываемой уравне нием (8.151), достаточное условие ограниченности на конечном интервале в отношении ЕО, е/(0, c(t), Т сводится к выполнению неравенства

t	t	t
г0ехр Г Р(?) d% + Г 6		/ ( t ) ехр f Р(?)d\		dx <	c(t) (8.185)
на интервале [to, to + T],	где	P(t)	определяется		выражением
(8. 168).
Доказательство. Доказательство			теоремы	8. 15	аналогично

доказательству			теоремы 8. 14. Отличие лишь в том, что вместо
леммы 1 используется лемма 2.
Пример 8. 12.			Рассмотрим систему второго порядка, описываемую								диффе
ренциальным уравнением
		х	1	— 1 0"	х \		/и		X (0) =	3
			х 2 =	0 2		+	,			4
		. '			х 2		/ 2
Необходимо найти интервал Т, на котором									при заданных ft и f2		имеет
место	\\x(t) \|\| =[х'(t)x(t)]'1г			«g:c=l0. Поскольку					система линейная и с посто-
яиными параметрами, нетрудно получить точное									решение	этой задачи:
1)	если	/i=/ 2 = r 0, то система			ограничена на интервале					Г =^0,45;
2)	если	/i=0,	/ г = 4 , то система ограничена					на интервале Т^0,32.
Решим		теперь эту задачу при использовании							теоремы 8. 14. Легко		видеть,
что Лдх(г)=2, а согласно				указанным		начальным			условиям
					\| \| х ( 0 ) \| \| = 5 .
Применение теоремы				8. 14 при е0		= 5,	f4 = / 2	= 0 [ е / ( 0 = 0 ] и с = 1 0 приво
дит к следующему			результату (ядро			интеграла		положительно, так что в каче

стве верхнего предела можно принять 7"):

5 ехр | 2d-q < 10.

Отсюда находим, что

Т < 0,347.

Для случая е0 = 5, f\ = 0, / 2 = 4 (е/ (t) = 4) и с = 10 имеем

5 ехр f 2di\

ехр | 2di\ d% < 10,

оо

откуда

Т < 0,27.

Таким образом, в обоих случаях получилась оценка, дающая в основном правильное представление об интервале Т.

271

Пример 8. 13. Рассмотрим систему
		T — t	p — qt		хЛ	[cos t
		T — t			хЛ	[cos t
1*2	- p	+ qt			[х2]	[smt
1*2
			T — t
			T — t
где m, p и q — положительные постоянные. Требуется						определить,	будет ли
при начальных условиях, удовлетворяющих				ограничению
		( X Q X 0 ) 2	< е 0 .
выходной сигнал подчиняться		ограничению
		[х' (0 х (0] 1 / 2		< с.
Применим теорему 8.15. Так^] как-				т	<С_0 на интервале		[О, Т], то
Применим теорему 8.15. Так^] как-				T — t	<С_0 на интервале		[О, Т], то
Р ( 0 = 0.
Учитывая, что
	l\/(0\|\	= [coS2* +	sin2<]		= 1 ,

можно принять, что £f(t) = \. Таким образом, имеем (ядра интегралов поло

жительны, так что верхние пределы можно принять равными Г)

е0 + \	dx <
о	/ 2
о

V 1

Следовательно, при заданных С и	Г можно определить ограничение е0
на начальные условия, обеспечивающее	ограниченность решения	на конечном
' интервале.
Пример 8. 14. Рассмотрим систему,	описываемую линейным	дифференци

альным уравнением с переменными коэффициентами

»s i n 2 *) к о + (s i n 2 о у (о =ис>

где «с — положительная постоянная. Необходимо определить ограничение на

ис, обеспечивающее при	начальных	условиях	[г/г (0) + У г ( 0 ) ] ^ 2	фазовую
траекторию, точки которой	в течение	интервала	[О, Г] отстоят от	начала

координат не более, чем на 10 единиц.

272

•Полагая, что*!(0=#(0. x2[f)=xl(t)	и x(0=I*i(0. x2(t)]',	запишем
уравнения в переменных состояния в форме (8. 151). При этом
А ( 0 =	sin2 *
sin 2 *	sin2 *
	2

f(*) =

cos2 *

U ( o =

—cos2 * — sin2 *

Можно принять, что

е/ (*) = |[f (011= «с

Максимальное собственное значение матрицы U(*) определяется выра жением

1М	(*) =	- j - Lsin2 * +		(sin4 * + 4 cost t)
Согласно уравнению (8. 168)
Р (0 =	max	- у ( s i n 2 * + cos2 0,			- у cos2 *
Применение теорем		8.14а	и 8. 15	дает	соответственно следующие нера
венства:
	t		t	t
2 exp f \ M (£)			+ uc j	exp j	X ($) d£ dv < 10,
	о		о	t
	t		t	t

2 exp ^ — d\ + uc ^ exp ^ — d£rfu< 10.

оО т

Можно произвести грубое сравнение теорем 8. 14а и 8. 15, сравнивая					%м(0
и P(t):
0,40	< Х ж	(0 <	0,50,
откуда среднее значение
[ Х ж	(*)]=	0,458.
Следовательно, в данном случае Хм(0^Р(0-				Отсюда видно, что теорема
8. 14а, основанная на использовании км(0,			дает лучшее представление		о диа

пазонах е0 , е/(), с() и Т, характеризующих устойчивость системы на конеч
ном интервале. На рис. 8.4 показаны кривые ef\(t)	и £/р(7"), представляющие

273

собой ограничение на ис, получающееся при различных Т согласно теоремам

8. 14а и 8. 15 соответственно. Нетрудно видеть, что хотя в данном случае кри вая г,-\(Т) допускает несколько более широкий диапазон ис , чем кривая

20 40 60 80 100 120 М 160 180 200 220 Т

Рис. 8.4. Ограничения е/А (7") и BfP(T) на ис, вы

текающие соответственно из теорем 8. 14а и 8. 15

efp(T), эти кривые в общем весьма близки, и с учетом простоты построения

кривой е/р(Г) применение теоремы 8. 15 во многих случаях оказывается более предпочтительным.

8.5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ВЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Критерий устойчивости Найквиста, применимый к однокон турным линейным системам с постоянными параметрами, весьма популярен при анализе и синтезе прежде всего вследствие про стоты его использования. Поскольку критерий основан на яс ном частотном подходе, он не только позволяет исследовать устойчивость, но и указывает конструктору,^ имеющему в своем распоряжении частотные характеристики звеньев контура, пути обеспечения необходимых свойств системы. Кроме того, воз можность экспериментального снятия частотных характеристик физических систем независимо от их сложности позволяет при менять критерий и в тех случаях, когда теоретический анализ невыполним, или из-за невозможности составить уравнения си стемы, или из-за отсутствия сведений о ее параметрах.

В этом разделе критерий устойчивости Найквиста распро страняется на системы, содержащие один элемент с перемен

ными параметрами *. Обобщенный на такого рода	переменные
системы критерий Найквиста называется круговым	критерием.

Рассмотрим линейную замкнутую скалярную систему с пере менными параметрами, структурная схема которой показана на рис. 8. 5. Звено /(Я представляет собой линейный усилитель с

* При небольшой модификации полученные результаты могут быть рас пространены на замкнутые системы с одним нелинейным элементом, имеющим

изменяющиеся во времени параметры.

274

переменным коэффициентом усиления f(t),	подчиняющимся
условию
а < / ( 0 < Р -	(8.186)

Звено G(s) соответствует скалярной линейной системе с посто янными параметрами, имеющей передаточную функцию G(s).

f(t) 6fs)

Рис. 8. 5. Линейная скалярная нестационар ная система с обратной связью

Пусть	g(t)—импульсная	переходная	функция	этой	системы.
Тогда	выходной сигнал у (г) можно выразить как
		t
	у (t) =	С ср (/) х 0 + f g (t -	х) v (х) dx,		(8. 187)
		6
где	—to) —переходная матрица постоянной			части	системы;
	С — матрица, связывающая		выход системы		с ее со
	стоянием, т. е y(t)—Cx(t)		и х0	— начальное со
	стояние системы. Введем для удобства				обозна
	чение
		w() = - Gp()x e .			(8.188)

Таким образом, w(t) —часть выходного сигнала, обусловли ваемая исключительно лишь начальными условиями для посто янной части системы. Можно, следовательно, записать