— плотность (приведенная) компонента i в фазе /;
Уравнение непрерывности для компонента i с учетом скорости движения, осредненной относительно центра массы фазы /,
-|j- [msjnPjMji] = — div {mSjnWjpjMji] —
|
|
|
к |
Г л—1 |
|
|
|
|
div [msjuJji] 4- msju 2 |
2 |
|
+ 2 |
|
|
|
i—\ L/=l |
|
f=l |
|
/ = |
1, |
2,_..., n\ i = 1, |
2....... к; |
/ = 1,2, |
2 |
2 |
s^n = i • |
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
В |
(XV.27)—(XV.28) |
|
|
|
|
|
|
dVj |
|
(объемная |
концентрация) |
фазы |
Sj = |
---- насыщенность |
|
|
объема dV; |
|
|
|
|
|
|
|
dVj |
|
|
в |
поровом объеме dVu: |
Sjn = -гг?---- насыщенность фазы j |
|
|
uv л |
|
|
|
|
|
|
|
dJCji |
|
|
|
|
|
Рji = ■dVj |
|
|
|
|
|
|
|
dJfli |
фазы /; |
|
|
|
р ^ = —-----плотность |
|
|
|
(XV.28)
= 1;
j в элементе
_ / f £ \ |
относительная массовая концентрация компонента i в |
\/ dv.
фазе /, т. е. массовая доля компонента i в данной фазе, -> -*■
wfi — скорость движения компонента i в фазе /, wj — ско рость движения центра массы фазы /,
Ji'i = Pyi (w/i — о//) — плотность диффузионного потока компонента i в фазе /; Xjulф1— источник (или сток) компонента i в фазе j за счет фазовых переходов между фазами / и / — отражает количество массы вещества i-ro компонента, вы деляемого или поглощаемого в единицу времени в единице объема.
Скорость фазовых переходов пропорциональна разности химических потен циалов Гиббса компонента i в фазе j и /, которые зависят от компонентного состава, давления и температуры.
^ф£ = /, и = ф(Р'ф/1; И'ф/»);
^ф/f = (М/1* М/2- • •• М/к> Р/> Т/)>
И’ф» — И'фК |
• ••> м 1к, PirTty, |
Qjulxf — источник (или сток) массы компонента i в фазе / за счет химической реакции /, приводящей к переходу компонента i между фазами / и / в единицу времени в единице объема.
М
ЗдесьdJtju — количество вещества /'-го компонента, взаимодействующего с дру гими компонентами при химической реакции; Qju — произведение молекулярной массы /-го компонента на стехиометрическое число в уравнении химической; реакции /; (6//*)/—параметр полноты протекания химической реакции.
Удельная производительность или скорость химической реакции в каждый момент времени определяется результирующей скоростью прямой и обратной реакций.
Скорость прямой и обратной реакций определяется законом действующих масс и законом Аррениуса, учитывающих влияние температуры, концентрации веществ и др.
Для ее нахождения может быть использована следующая формула:
|
|
|
hi\ |
|
|
hi2 |
|
|
|
Qae |
м П с 'п - |
Qpe |
П |
cji2 |
|
|
|
|
|
|
il |
|
|
где fia . |
— коэффициенты пропорциональности прямой и |
обратной реакций; |
Еакii• |
£ак£? — энергии |
активации; а |
и (3 — числа, |
характеризующие порядок |
|
|
|
|
( |
|
кДж |
\ |
|
|
|
|
|
Дм —8,32------ ZT?) Т — температу- |
® |
,/н1 |
р JU2 |
|
|
|
МОЛЬ • |
1\ / |
ра;ПС/71 |
П Cji2 — произведения концентрации (С/7) реагирующих исход- |
пi'2
ных /1 и конечных/2 компонентов среды в степенях, соответствующих стехиомет рическим коэффициентам (hi 1 и hi2).
Если |
константа термодинамического равновесия реагирующей системы |
р |
,hi2 |
IJ* ,hi\ |
К = И |
с 72 |
/ П C.iX > 1, то результирующая скорость реакции или удельная |
12 |
|
/ i\ |
производительность процесса химического превращения вещества определяется лишь прямой реакцией:
Q//t1хf — Цхе |
RJT |
n c ,t |
|
ii |
Уравнения движения (баланс импульсов)
Движение компонента i в смеси компонентов фазы / при фазовых превраще ниях и химических реакциях описывается уравнением
|
—^ 7 д/ |
^ = |
— |
!S; (Р-7*wj* Wji |
R»)] |
|
|
|
Гn |
i |
- |
a |
Q7*i V |
'(/. /) i + S/pjp /i . |
(XV.29) |
|
+S/ |
5 |
X/,< |
|
|
|
|
|
|
|
( = |
1, 2, |
. |
/ = 1 ,2 , ... , |
n; / = 1 ,2 ........J ] s ; = l , |
|
|
|
|
|
|
|
|
/=» |
|
Уравнение движения центра массы фазы / определяется уравнением
д (Sjpjwj) |
|
■— Div |
SjlpjWjWj -f 2 |
П /i |
+ |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[=1 |
|
|
|
|
|
к |
/п -1 |
|
^ |
|
Ъ |
|
^ |
|
+ |
s/ |
|
2 |
1£ |
Х/7i!<btwu, |
П i + £ |
a ililxlw(j, |
I) i |
|
|
.1=1 |
\ /= 1 |
|
|
|
/=1 |
|
|
|
+ |
S7 [ 2] |
#y/ + |
Jj |
pjt* |
|
|
|
|
|
|
l |
1=1 |
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
i = 1, |
2, |
. |
. |
к; |
/ = 1,2, |
л; / = 1,2, |
|
tf; |
В |
(XV.29), |
(XV.30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
, |
к |
|
|
|
|
Ру = |
|
Vi |
|
|
|
= |
1 |
V' |
py/^y/; |
|
|
|
|
2j Руь |
|
— |
2j |
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
Р/ |
t=i |
|
|
|
|
-> -> |
* |
-> |
-> |
|
|
pjwjwj = 2j |
pyi^yi^yi; |
|
—►— |
t=i |
|
|
|
|
|
(диада), |
построенный |
из компонентов векторов Ik |
pjWjWj — тензор |
(Р/*/®/Ь = Р/®/®/! |
|
|
-► |
|
|
|
|
|
Fiji — обобщенный тензор, |
^ |
^ |
-> |
-> |
-> |
|
n ;i = |
0Pji + |
Rji •+ |
Рji (Wji — Wj) (Wji — Wj); |
Z |
- > - > - ► |
VT PyiPyP |
Rji=—Pjiwj (wJi - |
wj) = — 2 j |
nT" W/Р |
|
|
|
|
P=1 |
Py |
|
|
|
|
|
(Wji — Wj) — вектор относительной скорости компонента i (вектор диффузии),
QPji — обобщенный тензор давления (напряжений) i — компонентов, определен ный относительно центра инерции этого компонента, характеризует влияние взаимодействия молекул одного и того же вещества на изменение количества
движения (импульса) компонента t; Rji — тензор напряжений в веществе компо нента i, вызванных взаимодействиями сдругими компонентами Р, находящимися в фазе /, характеризует силовое взаимодействие между указанными компонентами
[23], Rjj. — объемная сила диффузионного трения; ю(/ — скорость движения компонента i\ если осуществляется переход из фазы / в фазу /, — wn\ то же, при переходе из фазы / в другую — Wjj\ Rji — сила межфазного взаимодействия,
учитывает силу трения и давления; ру*Фу* — комплекс, учитывающий влияние внешних сил (например, силу тяжести) на изменение количества движения ком понента i.
Вторые комплексы в правой части (XV.29) и (XV.30) учитывают влияние фазовых переходов и химических превращений на изменение количества движения фазы /.
Баланс энергии
Баланс энергии многокомпонентного многофазного потока состоит из кине тической, потенциальной и внутренней энергий. Определение видов энергии необходимо для построения общего уравнения энергии фильтрации. Кроме того, выражение для внутренней энергии используется при определении баланса воз растания энтропии, которая необходима при нахождении термодинамических сил и необратимых потоков в протекающих неравновесных необратимых процессах.
Кинетическая энергия компонента i фазы /
|
д |
|
|
|
= — div |
|
|
|
W; |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
si \Pji-o~W ji + Pji |
Wji |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
WU, l)i |
|
|
|
+ si 2 |
% |
: Grad“v<+ |
si |
2 |
|
+ |
|
|
* 'jli |
ф1 |
2 |
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
L/=l |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
W\ |
|
+ |
sj (Rjj r wIi-\-pIiOji-wIi)f |
(XV.31) |
/=1 |
|
- (/. П i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = |
l, 2 ,..., |
к; |
/ = |
1,2....... |
я; |
/ = |
1, |
2, ..., Ф; |
J ^ s j = \ . |
Кинетическая энергия для фазы / |
|
|
|
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
' 1 |
* т |
) |
|
|
Г |
( |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
T t------ = - |
div |
[s/ [ v |
T |
w‘ + |
2 j |
il • Wi t |
|
|
|
|
|
+ |
s |
L=\ |
|
|
|
|
L/=l |
\/ = l |
|
-----о-------Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tl—1 |
|
|
|
|
|
+ |
2 |
Q}tiIxf W(i‘i ) ~ )i + |
S} |
|
Rjl.(Wj— w{) + |
> |
PjiOji-Wj |
|
t=[ |
|
|
|
/J |
|
L /=1 |
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(XV.32) |
i = |
1, 2, |
...» |
к; |
/ = 1, 2, |
..., n\ |
f = |
1,2, |
; |
J |
] = 1. |
В |
(XV.31), (XV.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pji — oPji + Pji\ |
|
|
|
->■ |
|
|
|
|
|
|
|
->■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P°t- |
транспонированный тензор Р/Ч- путем замены индексации в матрице напря |
жений (столбцы меняются местами со строками), знак • |
характеризует скалярное |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
+ ° |
что приводит к скаляр |
произцедение, знак J |
— двойную сэертку тензора Я^, |
ному |
значению» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потенциальная энергия |
|
компонента |
|
фазы |
/ |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7- |
+ |
|
|
|
|
------ 0l------ •= — dlv Is; (l'jityjiwji |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ll—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-I |
|
|
|
|
+ sj |
|
2] |
^(/\ |
/) i^ jli^ i + 5] |
^(/, |
Di^jli^xf |
|
|
|
|
— Sj (Pji®ji •wj + |
Jji |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(XV.33) |
|
i = |
1, 2, |
|
|
/ = 1 ,2 , ... , |
л; |
/= 1 ,2 , |
|
|
fl; |
1. |
|
|
|
|
|
J ] s j= |
|
Потенциальная энергия фу фазы / |
|
|
|
|
|
|
|
i = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д ( |
|
|
= — div |
sj |
pjtyjwj |
-b |
2 |
фу/Tyi ) |
+ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
i=1 |
|
/ |
|
|
|
|
- |
к |
I n—\ |
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ SJ |
|
^23 ^(/, |
/) iKilil^i + S'fy/. /) iQ//t |
|
|
|
|
|
|
JL |
|
- > - > + - ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
(XV.34) |
|
|
|
2j ‘(pj№ji'wj |
4“ J ji’^ji) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = |
1, |
2, |
...» |
к; |
/ = 1 ,2 , ... , |
л; |
/ = 1, |
2, |
..., |
■&; |
J ] s y = l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=l |
|
|
Внутренняя энергия системы определяется путем вычитания из общего |
|
баланса суммы кинетической и потенциальной энергии. |
|
|
|
Внутренняя |
энергия |
компонента |
i |
фазы |
/ |
|
|
|
|
|
|
д (SjPjiUji) |
|
|
|
|
->• |
|
->- |
|
|
|
|
|
|
|
------ ------= |
— div [SjipjiUjiWji) + |
j 4i] — |
|
|
|
|
|
|
|
~X |
|
-> |
|
|
|
/n—\ |
|
|
|
|
|
"& |
|
\ |
|
-s/P/< |
Grad “W '+ s; |
5j x/ h V “</. 0 f + |
S |
a iiilxfuu. ;> t - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\t=l |
|
|
|
|
|
/=1 |
|
J |
|
- h |
i r wji + R ifi^ |
s 'a ; (p (Г,,- - |
T/p); |
|
|
|
|
(XV.35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
P=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
i = |
1,2........к; |
/ = |
1, |
2, ..., л; |
/ = 1, |
2, |
..., |
fl; |
1. |
|
J] sy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=i |
|
Полная производная по времени от внутренней энергии, используемая при определении функции возрастания энтропии, (XV.24) на основании (XV.35)
имеет вид |
|
|
|
|
dujj |
_ |
~ |
? " : Grad |
+ |
dt |
div Л |
|
Г/1-1 |
|
|
|
+ ^ г |
£ кш!ф1ии, 1) i + |
2 ^jli^xfuU, /) * |
|
|
f=1 |
|
|
|
к-1 |
|
(XV.36) |
— — |
-Ь Яip] — $] |
““ ^/р)» |
|
В=1 |
|
|
/ = 1, |
2....... к; / = 1 ,2 ......... л; |
/ = 1 ,2 ,..., |
О; £ s y = l . |
|
|
|
|
/= 1 |
