|
|
|
>у- - |
Уц, |
|
VsjTj |
|
i= l |
|
2 |
|
s.T • |
|
|
1= 1 |
/ |
/ |
K—1 |
|
ф,- |
|
Wj — ДО/ |
|
|
-43 |
|
(XV.43) |
- 2 |
|
|
/=i |
7 T ~ |
|
|
|
|
I—1 |
|
|
|
|
|
|
i = 1 ,2 , . |
к; |
/ = 1 ,2 ,..., n\ |
n |
s, = |
I. |
J] |
|
|
|
|
|
/=i |
|
|
При y = l, |
2, |
я — 1 |
м//х/// = |
A (p< /пi*xjni) и т. д. |
Здесь La&— кинетические коэффициенты (скалярные величины, функции параметров состояния, определяемые на основе экспериментальных и полуэмпирических исследований), согласно соотношению Онзагера Lab = Ца (принцип симметрии коэффициентов), что значительно уменьшает число определяемых коэффициентов; коэффициенты Ln , L12, L23, L44 характеризуют соот ветственно коэффициент диффузии при градиенте концентрации, поток вещества при градиенте температуры (эффект Соре в жидкостях), теплопроводность, поток тепла в зависимости от градиента концентрации (эффект Дюфура), тепловой поток в результате взаимодействия фаз и т. д. Физический смысл каждого кинетического коэффициента определяется соответствующими термодинамическими действую щими силами.
Скалярные и тензорные потоки (всего семь):
|
|
QjituU,l)xi |
/i—i |
|
|
L' |
Pjia/u |
|
|
15 |
T . |
|
+ 2 |
Lu |
f . |
* - 2 |
|
|
Ti |
|
f=l |
|
|
|
|
r=i |
|
|
|
|
n—1 |
T j - T t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
2 |
-17 |
Tj |
|
|
|
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
Wj |
|
|
. *i«uU .i)V |
n/ = |
- L21 |
|
-22 Т |
Г |
|
|
■23 |
f . |
|
V |
Q |
,u |
|
|
|
r |
Pjfim |
+ 2 j |
L24 |
Y, |
L25— T]~ |
|
f 2 |
26 —fT " |
|
/=1 |
|
|
|
|
/=i |
|
|
|
|
/I—1 |
Г,-— r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
2 |
^7 |
7’; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/= 1 ,2 , |
к; /= |
1 ,2 , |
., п\ / = 1, 2, |
(XV.44) |
Здесь коэффициенты |
Ljp |
L12, Lg3, L55, L6V Lg6, |
характеризуют соответ |
ственно сдвиговую вязкость, объемную вязкость, энергетический эффект при фазовых переходах, интенсивность фазовых превращений, энергетический эффект при химических реакциях, интенсивность химических превращений, теплообмен между фазами.
Другие коэффициенты учитывают сопутствующие и перекрестные процессы и явления, физический смысл которых определяется соответствующими термоди намическими силами.
Значения |
коэффициентов Lab и Lab определяются в соответствии с рас |
сматриваемым |
конкретным внутрипластовым |
процессом. Они |
подставляются |
в уравнение для необратимых потоков (XV.43) |
и (XV.44), потоки подставляются |
в соответствующие формулы (XV.42) и др. Простыми примерами |
является рас |
смотрение двух-трехкомпонентной системы. В этом случае различные коэффици енты (диффузии и термодиффузии) легко определяются.
Переход от энтропии к температуре Т осуществляется с учетом термодинами ческих функций и соотношений, например [45],
или
dSj = ~L dTj - А
1 J |
|
/ дТ \ |
Tjdj 1 |
\ dpj / Hj |
Cj |
Здесь Cj — теплоемкость (при постоянном давлении) фазы/, рассчитанная на еди ницу объема; р}. — давление (или напряжение для твердой фазы), aj — коэффи
циент объемного расширения; Hj — энтальпия, Hj = uj + |
; eHj ~~ К0ЭФ' |
фициент Джоуля—Томсона (у идеальных газов е/у = 0, у реальных газов данный коэффициент равен нулю только в точках инверсии).
Если пользуются линейными приближениями, применяется простое соот ношение:
dSj _ |
Cj |
dTj |
а’т0. |
dPj |
dt |
pjTj |
dt |
A pjTj |
dl ‘ |
Проведя соответствующие преобразования и подстановки в (XV.43) и не учитывая отдельные величины второго порядка малости, получаем общее урав нение энергии для описания процесса неизотермической фильтрации многофаз ной многокомпонентной системы при фазовых переходах и химических реакциях:
д (msjuCjTj) |
|
|
|
|
|
(CjTj - |
Aa'iTjP/) »/ + |
|
|
|
dt |
|
= — div \msjn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 7c>j - |
2 |
|
| |
+ m0s/n |
|
~ 2 |
П/“ |
(Grad w.) |
- |
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
- n |
( di |
|
|
1=1 |
V |
v t |
t |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
r f n—1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
\ |
|
|
i=l |
( |
2 |
|
|
l) Ф4’/мФ1' |
T j |
®iliU(j, l) Xiluxf |
I “ |
|
|
L\/=i |
|
|
|
|
|
|
f=i |
|
|
|
|
|
In - 1 |
|
|
|
Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
- |
( 2 |
•v*/" v |
+ |
2 |
|
|
‘ill lxl |
|
|
|
|
|
V/=i |
|
|
|
f=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K—1 |
|
|
|
|
|
n—1 |
|
|
/1-1 |
|
|
- |
2 |
v |
A<- |
ф /к)+ |
2 |
v |
A |
- ®<) - |
2 |
(Г/ ~ M |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(XV.45) |
i = 1, |
2, |
. |
к; |
/ = 1,2....... n; /= 1 ,2 , |
fl; |
П |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/-=1 |
|
При этом |
[18] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Gr°adtt>)aft = |
_1_ / dm» |
da/a |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
\ dxa |
dxb |
|
|
|
|
(a, 6 = 1 ,2 , |
3), |
6a6 = |
If |
если |
a —b\ |
|
|
|
6 = 0, если a=f= b.
Уравнение (XV.45) общее, из него получаются различные частные системы (уравнения И. А. Чарного, Э. Б. Чекалюка и др.). Ценность этого уравнения со стоит в его универсальности и в том, что оно дает возможность изучать целый ряд новых технологических процессов, внедряемых сейчас на промыслах Советского
Союза для повышения нефтеотдачи пластов.
В заключение представим систему дифференциальных уравнений, описы вающих процесс неизотермической фильтрации многофазной, многокомпонентной жидкости в упругом деформируемом коллекторе, при фазовых и химических превращениях.
Уравнение неразрывности для фазы /, полученное с учетом (XV.28) и за висимостей физических свойств коллекторов от давления и температуры:
d (synPy'^yi) |
— SjaPjMji |[(1 — mo) Pn — Pt |
dt |
Ft |
|
|
|
dp |
дТЛ |
|
H—(1 — ®p) Ртв -Qj — (1 |
®T) ®Г, |
|
|
|
т>гв~дГ) = |
|
=— div [msju [pjMjt (wj — wc) — Jji]} +
КГ/2—1 Ф
+ MSju 2 |
2 |
Kjlilfyi + |
Jj Qjlilxf |
|
|
i=1L/= 1 |
f=1 |
|
|
i = 1, 2....... |
к; |
/ = I, 2, |
.... л; / = I. 2......... |
Ф; £ sjn = |
I £ |
|
|
|
|
/=1 |
i=i |
Уравнение энергии для жидких и газообразных фаз:
d (mSjnCjTj) |
|
|
I |
(CjT — asjpj) (Wj — wc) + |
|
|
|
dt |
----- = |
— div Imsju |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
W< - |
I**)'/.]} + "V /. {“• / % |
- |
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
23 f b |
■ (Gfad (» /- ®c))c - |
n . div (»/ - |
®c> + |
|
|
|
|
t=i |
|
J |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
23 |
(23 |
|
+ |
23 |
|
/ |
— 23 aji |
(T/ ~ |
Tt) |
(XV.47) |
|
(= 1 \/=l |
|
|
/=1 |
|
/=1 |
|
|
|
|
i = |
l, |
2, |
|
к; |
/= 1 ,2 , |
, л; |
/ = 1 , 2 , . . |
■»; |
J] |
s/n,= l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=i |
|
Уравнение энергии для скелета коллектора: |
|
|
|
|
d|(l - т ) |
СпГп] = _ |
div {(! - |
т) [(СПТП- a j ) wc + Увп]} + |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50* |
, |
П-\ |
|
|
-j |
|
|
|
|
+ ( l- m ) |
|
2 |
aij (Tn - |
Tt) , |
|
|
|
(XV.48) |
asa~dF + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l=\ |
|
|
j |
|
|
|
|
Согласно |
обобщенному |
уравнению Дарси—Герсеванова |
при |
фильтрации |
жидкостей |
с |
учетом |
начального |
градиента давления |
|
|
|
|
|
-> |
|
|
-* |
|
kF; (Sj, Т) |
|
-> |
|
|
|
|
msjn (wj - |
wc) = |
--------- Щ |
— WPj - |
Gi (*■ T)l |
|
|
|
|
Здесь k — абсолютная проницаемость [см. XV. 11) ]; Fj — фазовая проницаемость, функции насыщенности и в общем случае — температуры; jи;- (Т) — вязкость фа
зы /, функция температуры; Gj (k, Т) — начальный градиент давления сдвига
