(XV.38)
(XV.37)
i = 1, 2, . . к; j = 1, 2, . . /i; / = 1, 2, . . d, J] sy = 1.
/=1
В (XV.35)—(XV.37)
-> + -v -> Д?. ^
Jq — Pji ’ &ji -b ujiJji + *^<7.. H---ij—^7'ii j i j i z,
Aji = p;i (wji — wj);
Уо^. — тепловой поток относительно центра инерции системы (фазы у); Pji-Aji —
работа короткодействующих сил на диффузионном перемещении; Jgj. — тепловой
поток относительно центра инерции компонента.
Полная производная от внутренней энергии фазы у по времени
— I - ( */ 2 4 - ) - */ 2 \ i=1 / /= 1
= — div sj pjWjlij +
<r <- T‘>:
n—1
i=1
Внутренняя энергия фазы j
д (sjpjUj) dt
du |
— |
L_div |
|
|
|
|
|
|
4 J |
J |
sj' 2 ( |
ч |
+ р ' , - т £ ® ') 1 _ |
|
|
|
sJPj |
|
|
|
|
|
|
|
L |
/=1 |
|
|
|
|
— |
L Y f t |
Grad w. h |
|
|
|
|
|
P; |
L i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
/ n—\ |
|
|
|
|
|
|
+ T7 |
Li=l |
\ |
/ |
|
|
|
f= 1 |
|
|
n—1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
- |
2 |
a/' (г / ~ |
r ') _ |
s ,p. |
dt ( sj Z |
|
p7< |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
1= 1 |
|
/ = 1 ,2 ....... к; |
у = 1 ,2 ,..., л; |
/ = |
1, 2, |
J ] s j = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
Если |
пренебречь |
комплексами, |
содержащими А/?.- то |
(XV.37) и (XV.38) |
упрощаиц ются. |
|
|
|
|
в фазе / |
|
Баланс полной энергии компонента i |
|
д (SjVjieji) |
div [sj (рjiQjiwji +■Pji'Wji |
4- tyjiJji + |
^qji)\ + |
|
dt |
’ — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гп—1 |
|
в |
|
|
|
|
+ |
S/ |
S |
*'• |
')< + 2 |
|
|
О »■ + |
|
|
|
L/=i |
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г-i |
|
|
|
|
+ |
% |
•(“’/* — “’.-p) - sj |
«ip (T’/f - |
T’/p); |
|
(XV.39) |
i = l,2, |
...,k ; |
/= 1 , |
2....... n; |
/= 1 , 2, |
J ] s y = l . |
Баланс |
полной |
энергии фазы |
j |
|
/=1 |
|
|
|
д (sjpfij) = — div dt
[ K i n—1
/ |
к -> |
к |
к |
|
|
sj I PjQjwj + |
S |
4- 2 |
4- 2 |
^Q*. |
+ |
|
i=i |
t=i |
i=i |
7/ |
|
|
ft |
|
|
|
|
E |
E |
x//t V |
e(/. /)«■*" |
E |
Q//i 7^/e(/. /) * |
+ |
t=i |
\/= i |
|
/7-1 |
/=i |
|
|
n—1 |
|
|
|
|
(XV.40) |
+ S; E Rjl-faj — “>/) — s7 E a]i (Ti ~~ Tib |
1=1 |
|
|
/=1 |
|
|
|
i = 1,. 2, |
..., к; |
/ = 1, |
2....... /i; |
/ = |
1, 2, ..., fl; J] |
sj = 1. |
|
|
|
|
|
/=i |
В (XV.39), (XV.40) eye, ey- — полная энергия компонента i и фазы /; энергия взаимодействия между компонентами i и Р и между фазами j и /, переходящая в тепло (теплообмен в точке),
RiP • (wji — wjt) > |
Rjf(Wj — Wi). |
о т - р 4 + t |
р//д/< |
+ pM -f pm; |
2 |
1=1
к |
к |
p a = £ ряел; |
р Л = £ рлЧ’л; |
i= l |
i= l |
Приведенные уравнения и их анализ раскрывают внутреннюю физико химическую природу сложных процессов, происходящих в пластах при фазовых превращениях и химических реакциях, сопровождающихся энерго- и массопереносом при фильтрации.
Отмеченное многообразие явлений в пласте описывается единой функцией состояний (энтропией) — ключевой при построении полной и замкнутой системы дифференциальных уравнений, используемых при расчетах.
Уравнение полного баланса энтропии многофазной многокомпонентной системы.
Определение потоков необратимых процессов
Для изучаемого здесь процесса фильтрации с фазовыми переходами и хими ческими реакциями функция скорости производства энтропии (XV.24) для фа зы / приобретает вид
dS{ duj dx)j SjTj ~dT = ~df + SjPj ~df +
/1-1
(XV.41)
i = l, 2 ,..., к; /= 1 , 2, ...Д ; / = 1, 2, ..., |
£ s, = 1. |
|
/=1 |
Vj — удельный объем фазы /; pj — давление в фазе /; uj — внутренняя энергия фазы /.
После подстановки соответствующих функций в (XV.41), умножения левых и правых частей на ру- и их деления на Ту получим уравнение полного баланса энтропии для фазы j в частных производных:
д (sjpjSj) |
|
div (SjJs) — sj ^ |
~ ftfi (Grad Wj) — |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fei |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1= 1 |
|
|
( t t ) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(п -1 |
X//i“(/.0 4» |
, |
. |
Q; |
|
+ S7 |
|
|
2 |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
\/=1 |
|
|
|
|
|
|
/п-1 |
^*/7. |
|
|
А |
|
|
+ |
SJ ( |
s |
/ф, |
f |
^ - |
|
+ |
|
\/=1 |
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
/1-1 |
в... |
->• |
-> |
|
. T j - T , \ ' |
|
+ |
Sj |
|
“V — До/ |
* |
|
(XV.42) |
|
|
|
Тj |
|
ai‘ |
|
|
= 1,2....... к; |
/ = |
1, 2, |
.... n\ |
/==1,2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=> |
|
Здесь
l s = p/S/a>/ + Y J 2] ( 4 , — V-ji
— поток энтропии за счет конвекции и диффузии.
Сумма членов в правой части уравнения (XV.42), начиная со второго слага емого, определяет функцию — источник возрастания энтропии /$* за счет необ ратимых процессов: теплопроводности, диффузии, фазовых и химических пре вращений и других, так как
д (рS) __ |
dt |
= — div (Js)i 4- Isi |
|
Здесь 1st — объемная мощность источника энтропии.
Эта функция с учетом соотношений Онзагера и принципа Кюри используется при определении необратимых потоков, которые выражаются через параметры состояния системы. В этом случае применяют различные аппроксимационные формулы функций состояния, полученные на основе экспериментальных термодинамических исследований.
После выражения потоков через параметры состояния, из уравнения общего баланса энтропии (XV.42) получают (путем замены значения энтропии комплек сом, содержащим параметр температуры или энтальпию) общее уравнение энер гии, которое замыкает систему уравнений неизотермической фильтрации. Таким образом, получаем расчетную систему дифференциальных уравнений.
Приведем выражения для необратимых потоков массы и энергии в рассмат риваемом процессе.
Термодинамические силы, определяющие необратимые потоки, в данном случае имеют скалярный, векторный и тензорный характер. К первым относятся силы, вызывающие фазовые переходы, химические реакции, релаксационный теплообмен между фазами, ко вторым — теплопроводные и различные диффузион ные процессы, к третьим — силы вязкости, напряжений.
Процессы со скалярным и тензорным характером взаимосвязаны. Поэтому выделим две группы потоков: векторные и скалярные с тензорными.
Векторные потоки (их четыре)
|
|
к—1 |
|
|
|
jji |
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
/2—1 |
Wj — Wl |
|
+ |
2 *-14 |
|
|
Tj |
' |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к —1 |
|
|
Т- |
_ |
V |
L |
v |
|
JQ.. —— |
L,lV |
|
Л |
2 j |
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
/2—1 |
-> |
|
-> |
|
|
|
Wj — W[ |
|
|
/=1 |
|
Tj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к—1 |
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
0ji - |
Ф}к |
|
k |
|
VstiTj к—1 т -* |
->■ |
Tj |
i |
22 |
9.Я |
m |
Z j |
siTi |
|
|
i—l |
|
|
14
|
|
VsjTj |
Tj |
■ Е |
<гТ2 |
|
1=1 |
V / |
п—1 |
|
|
