Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.02.2024
Просмотров: 226
Скачиваний: 3
Рассматривая условия равновесия выделенной частицы, убе* ждаемся в том, что равнодействующая всех действующих на нее сил в направлении нормали к меридиональной плоскости тожде* ственно равна нулю.
Проецируя все эти силы на радиальное и осевое направления, получаем после ряда алгебраических преобразований уравнения
равновесия |
при осесимметричном напряженном |
состоянии: |
|||
J ^ |
+ |
£ c_ pL + - ^ |
= 0; - ^ - + |
^ - + |
- ^ - = 0. (2.4) |
Приравнивая |
нулю вращающий момент, |
имеем хгг — хгг. |
|||
Таким образом, в случае |
осесимметричной |
задачи имеем не |
|||
'шесть компонентов напряженного состояния (как в общем случае),
ачетыре: три нормальных компонента ав, аг и <уг и один касатель ный компонент хгг = хгг. Все эти компоненты не зависят от коор динаты 0 и являются функциями двух независимых переменных
г и г .
Уравнений равновесия в случае осесимметричного напряжен ного состояния два (система 2.4) с четырьмя неизвестными функ циями двух аргументов г и г .
12.Главные напряжения
иглавные оси напряженного состояния
Напряженное состояние любой частицы деформируемого тела вполне определяется шестью величинами1: ах, ау, <х2, хху, хуг, хгх. Эти шесть величин называются компонентами напряженного состояния относительно принятой прямоугольной системы ко ординат. Они зависят не только от напряженного состояния рас сматриваемой частицы, но и от ее ориентации относительно ко ординатных осей. Вместе с тем, каково бы ни было напряженное состояние данной частицы деформируемого тела, всегда найдутся такие площадки, нормали к которым совпадут по направлению с соответствующими этим площадкам векторами напряжений.
Действительно, выделим мысленно в пределах частицы объем, ограниченный четырьмя плоскостями, из которых три параллельны координатным плоскостям. Четвертую плоскость направим так, чтобы на нее действовала только одна нормальная сила, т. е. чтобы вектор напряжения совпадал с нормалью в этой площадке.
Пусть апх, апу, аП2— пока еще неизвестные нам направляю щие косинусы нормали к четвертой площадке и ап — вектор
1 Если принятая система координат прямоугольная, то в силу закона пар ности касательных напряжений порядок индексов у буквы т безразличен. В про тивном случае, если, например, в деформируемом теле координатная система представляется криволинейными, в общем случае не ортогональными, поверх ностями постоянного значения каждой из трех начальных координат, то каса тельные напряжения хху и хух не равны друг другу.
напряжения, совпадающий с направлением нормали. Условия рав новесия выделенного малого объема выразятся тремя равенствами:
= |
Од£®п* “Ь Чхув-пу“Ь ^zx^nz’ |
(2.5) |
|
— Т’хуО'пх+ |
OÿOC/jÿ H- T'yz&nz’ |
||
®гР-П2= |
'^гзР'пх+ |
tyz&ny ^г&пг' |
|
Условия совместности этой системы уравнений относительно неизвестных апх, апу, апг приводятся к кубическому уравнению относительно пока неизвестной величины о„, левая часть которого может быть записана в виде определителя:
Gх |
Gп |
|
%ху |
Т>гх |
|
|
|
^ху |
Gy |
Gп |
^уг |
= 0 . |
(2 . 6) |
|
Т*гх |
|
Ъуг |
Gz ~ G |
n |
|
Это уравнение всегда имеет три вещественных корня, которые называются главными компонентами напряженного состояния рас сматриваемой частицы деформируемого тела. Главные компоненты напряженного состояния любой частицы тела не зависят от ориен тации этой частицы относительно принятой координатной системы.
Подставляя последовательно каждый из трех корней уравне ния (2.6) в уравнения (2.5) и решая затем систему (2.5) относительно неизвестных а„*, апу, апг, получаем значения направляющих косинусов трех взаимно перпендикулярных прямых, которые на зываются главными осями напряженного состояния частицы де формируемого тела.
Если известны все шесть компонентов напряженного состоя ния относительно данной прямоугольной системы, то не пред ставляет затруднения вычислить и все три главных компонента этого напряженного состояния. Для этого необходимо вычислить три инвариантные характеристики напряженного состояния дан ной частицы, которые, как и главные компоненты, не зависят от ориентации частицы относительно принятой координатной си стемы.
Значение первой из этих инвариантных характеристик — ги дростатического давления — определяется равенством
Р = |
Ох + Оу + Ог |
(2.7) |
3 |
Второй инвариантной характеристикой является интенсив ность напряженного состояния, которая в зависимости от компо нентов напряжения относительно принятой системы координат определяется равенством
«.------г—— — — --------------------------
+ J (ъ — °хУ + 3 {т*ху + TJ, + Tie) . |
(2.8) |
Если гидростатическое давление характеризует сопротивление частицы изменению ее объема, то интенсивность напряженного состояния определит количественно сопротивление частицы изме нению ее формы.
Третья инвариантная характеристика устанавливает вид на пряженного состояния: растяжение, сдвиг или сжатие. Значение этой характеристики может быть вычислено по формуле
|
cos3p<j — |
27 |
о*H"* P |
"^ху |
T-zx |
|
(2.9) |
|
Т'ху |
Gy~\~ Р |
Ъуг |
, |
|||
|
|
2о? |
Хгх |
хуг |
аг + |
Р |
|
|
|
|
|
||||
где 4 |
Зр0 ограничен |
пределами 0 < Зр„ -с 180°. При этом |
0 < |
||||
< Ра < |
60°. |
|
|
|
|
|
|
Когда известны все три инвариантные характеристики напря женного состояния (р, ai и Ра), то главные компоненты напряжен
ного состойния можно вычислить |
по формулам: |
|
Oi = - | -о(cos Ра — р; сг2 = |
— о, sin (Ра — 30°) — р; |
|
о3 = -----|- 0 fcos(6O0 — Ра) —р. |
(2.10) |
|
Чтобы убедиться в том, что выражения (2.10) действительно являются искомыми корнями кубического уравнения (2.6), под ставим в уравнение (2.6) вместо неизвестной ап выражение вида
a„ = ^ - o i c°s P „ - p
и будем считать 4 Ря искомой неизвестной. В таком случае, при обозначениях (2.7), (2.8) и (2.9)’уравнения (2.6) после ряда алгеб раических преобразований приведем к виду
cos3Pa— 4cos3 р„-f 3cosр„= 0.
Принимая во внимание, что
4 cos3 Рп — 3cosр„= cos'3p„,
получим |
(2.6а) |
cos 3Pa — cos Зр„ = 0. |
Уравнение (2.6а) будет удовлетворено, если принять
Рп = Ра-
Следовательно, первое из выражений (2.10) удовлетворяет уравнению (2.6).
Уравнение (2.6а) будет также удовлетворено, если принять Зря = 360° — Зра. В этом случае
оп = -J- а{cos (120° — Ра) — р = -J- а{sin (Ра — 30°) —р.
Итак, второе из выражений (2.10) также удовлетворяет урав нению (2.6).
Далее замечаем, что если принять ЗР„ = Зро + 360°, то и
вэтом случае уравнение (2.6а) будет удовлетворено. При этом получаем
<*п= ° i cos (P® + 120°) — P>
HO
COS фа + 120°) = — COS (60° - pa),
T. e.
On= — -g- °i C0S (60° _ P®) " p‘
Таким образом, все три выражения (2.10) удовлетворяют урав нению (2.6). Это значит, что равенства (2.10) дают нам значения нормальных напряжений на площадках, на которых отсутствуют касательные напряжения, т. е. значения главных напряжений.
Можно показать, что площадки, на которые действуют глав ные напряжения, взаимно перпендикулярны. Нормали к этим площадкам называют главными осями напряженного состояния.
Значения трех главных напряжений всегда удовлетворяют неравенствам
<Ti3sa233<r3. (2.11)
Выражение (2.8) интенсивности напряженного состояния может быть приведено к аналогичному, но более упрощенному выраже нию через главные напряжения
О/ = ] / 4 " К - 0. f + - у (о2 - о3)2 + 4~ (<т8 — Oi)2. (2.12)
Значения всех отношений разностей главных компонентов напряженного состояния определяются значением отношения
Vo |
2<тг— qt — о3 |
|
(2.13) |
||
ai —ст8 |
’ |
||||
|
|
||||
связанным взаимно-однозначной зависимостью с углом |
вы |
||||
числяемым по формуле (2.9). |
может быть выражена |
равен |
|||
Функциональная связь v„ с |
|||||
ством |
|
|
|
|
|
= |
* 8 |
(Р д — |
3 0 ° )* |
(2.14) |
|
|
t g |
3 0 ° |
* |
||
совершенно аналогичным равенствам (1.24) и (1.42). |
напря |
||||
Выше было упомянуто, |
что cos Зро характеризует вид |
||||
женного состояния: растяжение; сдвиг, сжатие. Будем называть вид напряженного состояния растяжением, если среднее главное напряжение (точно или приближенно) равно алгебраически наи
меньшему (<т2 :=» сг3); сжатием, если среднее главное напряжение (точно или приближенно) равно алгебраически наибольшему глав ному напряжению (сг2 «=* Oj); сдвигом, если среднее главное на пряжение (точно или приближенно) равно полусумме двух край
них главных напряжений [сг2 я» -|-(<т1 + o3) J .
Как увидим далее, физический смысл такой классификации видов напряженного состояния заключается в естественном требо вании соответствия вида малой деформации, претерпеваемой ча стицей изотропного физического вещества (при переходе процесса ее формоизменения в данную стадию из предшествующей весьма близкой), виду того напряженного состояния, под действием ко торого происходила эта малая деформация.
Величина v„, как и ра, полностью определяет вид напряженного состояния.
Рассмотрим еще один аналитический способ определения вида напряженного состояния по данным главных напряжений. Для этого укажем на то, что арифметическую сумму трех главных компонентов напряженного состояния, взятую со знаком минус и разделенную на три, принято называть гидростатическим давле нием. Если каждый из трех компонентов напряжений имеет знак минус — сжимающее напряжение, — то положительное гидроста тическое давление р [см. (2.7)1 будет означать схему всесторон него сжатия. Гидростатическое давление отрицательное соответ ствует схеме напряженного состояния всестороннего растяжения частицы напряженного тела.
Совокупность сумм главных напряжений и гидростатического давления входит в схему напряженного состояния, именуемую девиатором напряженного состояния. Пользуясь языком тензор ного анализа, можно так называемый тензор напряжений, т. е. векторную функцию от векторного аргумента1, разложить на ша ровой тензор (у которого три диагональных составляющих из девяти, написанных в виде определителя, друг другу равны,, а ос тальные составляющие равны нулю) и на девиатор напряженного состояния. Иначе говоря, любая схема напряженного состояния может быть разложена на схему всестороннего сжатия или рас тяжения— схему положительного или отрицательного гидроста тического давления — и на схему напряженного состояния, при котором сумма трех нормальных составляющих равна нулю. На помним, что гидростатическое давление вызывает только изменение объема элемента, в то время .как вторая схема, представленная совокупностью сумм главных напряжений и гидростатического давления, осуществляет упругопластическое изменение формы материального элемента.
1 Эта функция, будучи представлена совокупностью составляющих напря жений на любых трех взаимно перпендикулярных площадях, проведенных через рассматриваемую материальную точку, может определить напряжение на лю бой другой площадке, проведенной через данную точку.