Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 232

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где G— модуль упругости сдвига, связанный с модулем упру­ гости Е и коэффициентом Пуассона р равенством

2 ( 1 + р ) •

Известно, также что равенства обобщенного закона Гука могут быть приведены путем элементарных алгебраических пре­ образований к эквивалентной им системе равенств:

г х х + е у у +

е г г

=

--- ]Г^ -

&ХХ-- 8уу _

^УУ

822

_

1 £

1_

 

1

 

I

 

(а х 4 * G y +

(3 .1 )

822

Ехх _

 

02

— 0#

 

_ Уху _

VУг =

Угх _

1

(3.2)

2тху

2Хуг

2Ххх

2 G *

 

Если подставить в правую часть равенства (1.19) выражения разностей гхх — еуу, &уу — ег2, е2г — гхх и деформаций сдвига уху, Ууг> Угх> получаемых из равенств (3.2), и принять во внимание равенство (2.8), то мы получим выражение интенсивности дефор­ маций в случае идеальной упругости метариала е£ = o£/3G. При этом равенства (3.2) могут быть приведены к виду

8х х — Су и _

8 УУ — 8г г _

8 Z Z — 8ХХ _

У х у

Ох—оу

оу — аг

аг — ох

2%ху

_

Vite

Угх

__ з

e t

(3.3)

 

2ту г

2тм

2

a t

 

 

Переходя от упругого к пластическому процессу деформирова­ ния, представляющему собой необратимый физический процесс, необходимо констатировать, что функциональную связь напря­ жений и деформаций можно установить только при некоторых ограничениях условий протекания процесса. При малых пласти­ ческих деформациях такая связь может быть установлена для всего деформируемого тела в целом при условии «простого нагру­ жения», т. е. тогда, когда все внешние силы, действующие на это тело, возрастают пропорционально одному общему параметру.

В теории малых пластических деформаций обычно принима­ ется допущение, что при условии простого нагружения (32] равенства (3.1) и (3.3) остаются в силе в пластической зоне, но при наличии неупругих слагаемых деформации, коэффициент пропорциональности (3/2)(е(/о/), являющийся в упругой зоне определенной для любого данного вещества константой, становится переменным, различным для различных точек пластически де­ формируемого тела.

Как следствие такого допущения, можно доказать, что при условии простого нагружения вид напряженного состояния всегда соответствует виду малой деформации, обусловленной этим на­ пряженным состоянием.

Действительно, в силу равенства (3.3)

Ехх------

(Ехх + г уу + 8гг) =

“g- ^ 7

[ а * -----------

+ Gy + Сг)] *

т. е при обозначениях (1.18), (1.22) и

(2.7)

 

ЪХХ —

—

(а х +

р)>

откуда

 

 

 

 

и аналогично

Непосредственно из равенства (3.3) получаем:

Подставляя выражения (3.4) и (3.5) в правую часть равенства (2.9) и раскрывая определитель, получим после очевидных ал­ гебраических сокращений

cos Зре = -щ- [ 4 е ^ е « - exxylz — гууу2гх —

— ЕггУху УхуУугУгх]-

Сопоставляя полученное равенство с равенством (1.21), имеем

cos Зро =

cos ЗР8 и,

поскольку Зр0 « 180° и

ЗРе < 180°, Зра =

= зре,

откуда р0 =

рг, что доказывает соответствие вида напря­

женного состояния

виду деформации, если

удовлетворены ра­

венства

(3.3).

 

 

Можно также показать математически, что если удовлетворены равенства (3.3), то и главные оси напряженного состояния должны совпадать по направлению и индексу с главными осями деформа­ ции.

Заметим, что при обозначении (2.7) равенство (3.1) прини­ мает вид

1 — 2|х

3/7

(3.6)

ЕХХ + Еуу + е22 — ---- 2(1 + 1*)

G

 

Принимая во внимание это равенство и равенства (1.22), можно привести выражения (3.4) к виду:

(3.7)

Равенствами (3.5) — (3.7) устанавливается связь напряжений и деформаций при малых упругопластических деформациях и при условии простого нагружения. Эта связь остается в силе для всего деформируемого тела в целом. При этом в упругой зо'не

величина

(1/3) (<т(-/е(-)

принимается

постоянной,

а именно

(1/3)(<г,/е,) = G. В

пластической зоне значение е,

определяется

равенством

(1.19),

а о,

при малых

пластических

деформациях

и простом нагружении обычно полагают связанной однозначной функциональной зависимостью с eh т. е.

 

<*i = ф (О-

 

(3-8)

Эта функциональная зависимость различна для

различных ма­

териалов (металлов)

и может быть определена экспериментально,

по результатам испытания данного материала

на

растяжение.

Задача анализа

напряженного состояния тела,

претерпева­

ющего малую упругопластическую деформацию в условиях про­ стого нагружения, приводится к интегрированию системы диф­

ференциальных уравнений

в

частных

производных, которую

мы получаем,

воспользовавшись уравнениями

равновесия

(2.3)

и подставляя

выражения (1.7)

и (3.8) в равенства (3.6),

(3.7),

(3.5) и

(1.19). Это система

И

уравнений

с 11

искомыми

пере­

менными.

0*,

0г, T j тyçt

 

tiXi иy,

u2,

e;;

p.

 

Ее можно записать в следующем виде:

 

 

 

 

 

дах

1

дхху

i

дХгх

=

0;

 

 

 

 

 

дх

 

^

ду

1

дг

 

 

 

 

 

 

 

 

&lxy

1

дОу

,

дТуг

=

0 ;

 

 

 

 

 

дх

*

ду

1

дг

 

 

 

 

 

дТгх

,

дхуг

1

даг

=

0 ;

 

 

 

 

 

 

дх

1

ду

1

дг

 

 

дих .

дну*

1

duz

 

 

1 - - 2fx

3

 

дх

1

ду

 

‘

дг

~

 

 

1 + Ц

2

гг

1

 

л

----

1

Ф(Ч)

Г 9

дих

,

1 — 2ц

°х~Г

Р

—

3

 

в»

 

Г

дх

 

1 +

Ц

 

 

 

 

 

1

<

 

 

2 .

диу .

1 — 2ц

 

 

 

 

 

3

^ ( е г) Г

ду

 

1

1 + ц

 

 

 

 

 

 

8 1

L

 

 

ft

 

1

Л -----

1

Ф(е«)

Г 9

диг .

1 — 2ц

° z ^

 

r P —

3

 

8i

 

L

дг 1

1 + Ц

 

 

 

 

%ху

=

■

1

Ф(в/)

1

 

 

 

диу 1

 

 

 

 

 

 

3

е/

1

 

 

 

дх

J

 

 

 

 

 

 

 

1

Ф (в,)

Г диу

 

ди2 ]

 

 

 

 

хуг

 

 

3

8/

L

дг

+

 

ду

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хгх

=

- 1

Ф (8,)

Г ди2

,

 

дих ]

 

 

 

 

 

3

8i

L

дх

+

 

дг

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 )

 

 

(2)

 

 

(3)

Р .

(Л\

G

’

\V

Р 1

»

\у)

G J

* ] ■ ;

(в)

P I

’

п \

G J

V /

»(8)

»(9)

»(1 0 )

_ 1 /

Г диг

\_ ( àux

. ôuy

. диг \ ] 2 ,

'

‘ — У

[ дг

3

Vдх

"Г-ЩГ

“Г~дГ ) J

i "

(3.9)

 

" " + №

+ - | l ) , + ( T + T ) '] -

( " )

Система уравнений (3.9) справедлива как для пластической,

так и для упругой

зоны, если принять для последней Ф (в,) =

= 3Ge,-.

 

 

 

Граничные условия любой конкретной задачи определяются

формой

и размерами рассматриваемого тела и приложенными

к нему

внешними

силами.

деформациях и

Как

было указано выше, при пластических

простом нагружении вид напряженного состояния соответствует виду деформации, а главные оси напряженного состояния сов­ падают с главными осями деформации. Необходимо отметить, что в общем случае пластической деформации вид напряженного состояния может не соответствовать виду деформации, а главные оси напряжений могут и не совпадать с главными осями дефор­ мации.

Не рассматривая задачи малых деформаций в условиях слож­ ного нагружения, поскольку эта задача является темой узко специальных исследований и не входит в тематику настоящей книги, перейдем к общему случаю конечной пластической де­ формации, т. е. к тому случаю, когда упругие слагаемые де­ формации можно считать пренебрежимо малыми по сравнению с деформациями пластическими, однако идеальная однознач­

ность

(монотонность) процесса деформации не гарантирована.

В этом

случае приходится устанавливать связь напряжений не

с компонентами деформации, а с компонентами скорости дефор­ мации.

17. Связь компонентов напряженного состояния с компонентами скорости деформации

Опыт показывает, что в пределах практической точности при пластической деформации любой материальной частицы формо­ изменяемого тела (в том случае, когда упругие слагаемые ее деформации пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми

остаточными)

главные оси напряженного состояния совпадают

с главными

осями скорости ее деформации.

В математической теории пластичности допущение о точном совпадении этих главных осей принимается в качестве одной из самых основных гипотез. Тем более эта гипотеза может быть положена в основу приближенных расчетов при решении ряда

'задач обработки материалов давлением. При этом предполага82

Смотрите также файлы