Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

облегчается приближенное определение направлений главных осей напряженного состояния.

Одно из трех главных напряжений во многих случаях можно считать далее равным нулю или малым по сравнению с двумя другими. В ряде случаев направление главных осей напряженного состояния можно считать известным заранее, что позволяет судить о практической приемлемости существенного упрощающего допу­ щения. Этим существенным допущением является допущение о монотонности (идеальной однозначности) протекания процесса деформации отдельных частиц деформируемого металла, позволя­ ющее воспользоваться формулами первого раздела книги.

При приближенном анализе процессов холодной обработки металлов давлением помимо допущения о монотонном протекании процесса принимаются некоторые добавочные допущения, позво­ ляющие привести задачу к численному интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Так, при анализе процессов осесимметричной листовой штам­ повки за независимый аргумент может быть принята длина дуги вдоль линии меридионального сечения поверхности контакта дефор­ мируемого листа с инструментом или сечения срединной поверхно­ сти. Искомыми переменными являются при этом главные логариф­ мические деформации и главные напряжения на двух противопо­ ложных поверхностях или же только на срединной поверхности.

При составлении системы дифференциальных уравнений ис­ пользуют уравнения равновесия и постоянства объема любой мыс­ ленно выделенной материальной частицы тела, а также условие пропорциональности разностей главных напряжений, соответ­ ствующих разностям главных логарифмических деформаций.

Следует заметить, что при решении систем обыкновенных диф­ ференциальных уравнений не рекомендуется во всех случаях добиваться нахождения решений в замкнутом виде, поскольку обычно это приводит к необходимости принятия дополнительных упрощающих допущений и к излишней громоздкости окончатель­ ных формул. Как правило, предпочитается отработка по возмож­ ности простых приемов численного интегрирования дифференци­ альных уравнений.

В заключение укажем еще на некоторые характерные для дис­ циплины СМПД упрощающие допущения на примерах решения практических задач.

Как в сопротивлении материалов упругим деформациям, воз­ никающим в упругоизгибаемом стержне прямоугольного сечения, так и при его пластическом изгибе обычно принимается, что нор­ мальные сечения остаются плоскими и что изменение длины про­ дольного волокна сопровождается изменением длин поперечных волокон. „

При высоте балки, в несколько раз превышающей ее ширину, изменения длин поперечных волокон предполагаются одинако­ выми во всех направлениях.

Если ширина изгибаемого тела велика по сравнению с высо­ той (лист), то можно допустить, что в направлении ширины листа длина волокон остается неизменной.

При расчете операции обжатия в торец полог.о толстостенного цилиндра мы не учитываем, что его деформация по высоте проте­ кает неравномерно. В целях упрощения мы условно предполагаем, что расположенные на равном расстоянии от оси симметрии во­ локна деформируются одинаково и, наметив некоторую поверх­ ность раздела областей течения материала внутрь и наружу, считаем ее поверхностью кругового цилиндра. Фактически эта поверхность, будучи поверхностью вращения, значительно от­ личается по виду от принятой нами условно, однако это не пре­ пятствует нам с достаточной для практики точностью рассчитать теоретическое усилие, необходимое для доведения обжимаемого цилиндра до требуемой высоты.

Как и в примере расчета пластически изгибаемого стержня — листа, так и в данном примере, геометрически упрощая, схемати­ зируя процесс, мы устанавливаем условие равновесия, если не элементарных объемов, то некоторых мысленно выделенных слоев или отдельных частей формоизменяемого тела. Характерен, на­ пример, прием приведения системы нелинейных зависимостей к линейным путем замены так называемого уравнения пластично­ сти о* = const уравнением вида <тх — <т3 = Ьа% где о? — инва­ риантный полином второй степени от компонентов напряженного состояния; b — коэффициент, изменяющийся в зависимости от вида напряженного состояния в сравнительно небольших пределах.

Выше было упомянуто о сведении числа независимых перемен­ ных к одному, т. е. трехили двухмерной задачи к математически одномерной. Задача приводится к интегрированию системы обык­ новенных дифференциальных уравнений с одним независимым аргументом. Сюда же относится прием приравнивания одного из компонентов напряженного состояния, заведомо зависящего от двух аргументов, произведению двух переменных, из которых каждая зависит только от одного аргумента. Это приводит решение поставленной задачи к интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя различными аргументами, причем каждая из этих систем содержит только один независимый аргумент, а константы интегрирования этих двух систем могут оказаться связанными друг с другом определенными зависимо­ стями, специфичными для данного случая.

6. Примеры постановки некоторых конкретных задач

Анализ малых упругих или упругопластических деформаций сводится в основном к определению напряженно-деформирован­ ного состояния под действием заданной системы внешних сил фи­ зического тела, форма, размеры и механические характеристики которого заранее известны. В этих задачах незначительные

иметь форму, по возможности близкую форме окончательного изделия. При этом, выигрывая в уменьшении рабочего хода, обычно проигрывают на потребном усилии штамповки и качестве (по очертаниям) готового изделия.

Действительно, теоретически и экспериментально доказано, что напряженное состояние металла, деформируемого в горячем состоянии (так же как и любого неметаллического вещества, не обладающего ярко выраженным свойством деформационного упроч­ нения), зависит не от всей предшествующей деформации, которую претерпело это вещество при операции, а только от тех малых

Рис. 21. Схема заполнения полости штампа металлом: а — при рациональной форме заготовки в конце процесса зона стыка деталей штампа остается незапол­ ненной; б — при нерациональной форме заготовки образуется заусенец

деформаций, которые оно претерпевает при переходе в данную стадию процесса своего пластического формоизменения из пред­ шествующей близкой. Поэтому и рекомендуется при выборе формы металлического тела, поступающего, например, в чистовой штамп при горячей безоблойной штамповке, добиваться не приближенного сходства внешних габаритов с габаритами готового изделия, а оп­ тимальной последовательности окончательного заполнения поло­ стей штампа. При этом желательно, чтобы в последнюю очередь заполнялась зона полости штампа вдоль контура стыка подвиж­

(т. е. затекание металла в зазоры) может образоваться раньше, чем вся полость штампа будет заполнена. Такое преждевремен­ ное образование заусенца влечет за собой быстрый износ рабочего инструмента, а также завышение потребного усилия.

При холодной обработке металлов давлением исходная форма заготовки оказывает на ее напряженное состояние при придании ей окончательной формы изделия еще большее влияние, чем при горячей.