Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Для определения значений р переменного по объему деформи­ руемого тела можно воспользоваться уравнениями равновесия, которые всегда могут быть приведены к следующему виду:

Если значение переменного гидростатического давления р известно хотя бы в одной какой-либо точке А деформируемого тела, то значение р в любой другой точке Б этого тела можно было бы получить путем суммирования приращений:.

Ьр + ' (4.44)

вдоль любой кривой, соединяющей точки А и Б.

Заметим, что если бы нам удалось определить аналитические выражения составляющих вектора перемещений в любой точке деформируемого тела, то можно найти такую точку А в этом теле (или на его поверхности), в которой известно значение р. Действи­ тельно, в любой точке на свободной поверхности деформируемого тела всегда можно вычислить значение р, если известны аналити­ ческие выражения (4.39) составляющих вектора смещения.

Пусть апх, апу, апг — косинусы углов, составляемых нормалью к свободной поверхности с координатными осями. Тогда, прирав­ нивая нулю все три составляющих вектора напряжений на эле­

В силу этих равенств (4.42) можно написать

+ isf) + ( l T | -fr) а“Л “+ (4.46)

+ ( f e + * b

Итак, если найдены выражения (4.39), то можно вычислить значения напряжений в любой точке деформируемого тела. Зна­ чение потребного усилия машины-орудия можно было бы опреде­ лить непосредственно из равенств (4.41).

Таким образом, работа, затрачиваемая для перемещения под­ вижной детали рабочего инструмента на ДЛ, равна произведению потребного усилия на рабочий ход АЛ.

Определив вариационным методом минимум выражения I (4.41), можно было бы вычислить значение усилия по формуле

Решая задачу для ряда последовательных переходов из пред­ шествующих стадий рассматриваемого процесса конечного пла­ стического формоизменения физического тела в последующие стадии, Тарновский, Поздеев и др. [761 получают значения уси­ лия машины-орудия на различных этапах изучаемого технологи­ ческого процесса. В работах этих авторов приводятся данные экспериментальной проверки полученных решений.

Вместе с тем необходимо отметить, что на пути решения задач обработки металлов давлением вариационными методами неиз­ бежны существенные затруднения. Преодоление этих затруднений осуществляется как обычно за счет принятия добавочных упро­ щающих допущений, приемлемость которых иногда вызывает некоторое сомнение.

Так, в трудах, посвященных исследованию задач обработки металлов давлением, решение которых построено исключительно

на вариационных методах расчета, интеграл j JJ Гdm заменяется

W

выражением ■— Шr*dw, где Гс — некоторое усредненное по объ- с W

ему деформируемого тела значение интенсивности деформаций

сдвига (т. е. Г = ]/З е/). В ряде задач авторам этих трудов при­ ходилось применять часто используемые при приближенном ана­ лизе процессов обработки металлов давлением добавочные упро­ щающие допущения, например гипотезу плоских сечений и услов­ ное деление деформируемого тела на отдельные зоны с той целью, чтобы в каждой такой зоне можно было принять хотя бы один из трех главных компонентов деформации постоянным.

Отметим далее, что существенную роль при использовании метода Ритца для решения вариационных задач играет правиль­ ный выбор так называемых подходящих функций. В применении к задачам обработки металлов давлением это означает необхо­ димость правильного выбора аналитических выражений (4.39), которые после того как будут определены значения одного или нескольких заранее неизвестных параметров, должны давать на­ илучшую аппроксимацию истинных зависимостей перемещений от координат. Совершенно обязательно, чтобы выражения (4.39) удовлетворяли кинематическим граничным условиям задачи.

Выбор подходящих функций является одним из важнейших этапов анализа процессов обработки металлов давлением не только в случае применения вариационных методов этого анализа. Дей­ ствительно, возможность использования равенств (4.42) для опре­ деления по заданным выражениям (4.39) выражений компонентов

девиатора напряжений, как и возможность использования равенств (4.43) и (4.44) для нахождения значений заранее неизвестных па­ раметров в выражениях (4.39) и расчета самих напряжений, имеет место вне зависимости от вариационных методов решения задач. Что касается так называемых прямых вариационных мето­ дов (т. е. использование уравнений Эйлера—Остроградского) в применении к задачам обработки металлов давлением, то этот вопрос в настоящее время еще недостаточно доработан, чтобы можно было рекомендовать широкое применение этих методов в инженерных расчетах.

Таким образом, необходимо подчеркнуть очевидность прогрес­ сивной роли внедрения вариационных методов в практику рас­ четов процессов обработки металлов давлением, а также следует отметить, что вариационные методы решения этих задач при исклю­ чительной трудоемкости решений не отличаются какими-либо особыми преимуществами в смысле научной строгости по сравне­ нию с другими методами. Эти методы не могут претендовать на абсолютную универсальность их применения и в ряде конкретных случаев другие методы дают возможность избежать, тех относи­ тельно громоздких вычислений, с которыми неизбежно связано применение вариационных методов расчета.

Глава 5. ИНЖЕНЕРНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ СМПД

5. Особенности постановки задач методами СМПД

Как в своей постановке, так и в методах решений задачи ко­ нечной пластической деформации металлов представляют, как правило, значительные, существенные затруднения.

Так, при самой общей постановке задачи пластического фор­ моизменения тела, в мысленно выделенной его материальной частице не представляется возможным установить определенной связи между напряжениями и деформациями или между напря­ жениями и скоростями протекания деформации. Если, как это следует из современного учения о конечной пластической дефор­ мации, направления главных осей и вид напряженного состояния выделенной материальной частицы в большинстве случаев дефор­ мации совпадают с направлениями главных осей и видом тензора (определенной совокупности векторов) скорости деформации, то интенсивность напряженного состояния частицы зависит не только от интенсивности скорости деформации, но и от интенсивности итоговой (за весь предшествующий процесс) деформации, от сте­ пени деформации и температуры.

Таким образом, для того чтобы судить о напряженном состоя­ нии, следует в самом общем случае определить в выделенной мате­ риальной частице компоненты деформации и ее скорости, стадию

и степень деформированного состояния, что чрезвычайно услож­ няет решение задачи.

Отсюда стремление исследователей ценой принятия тех или иных упрощающих допущений найти пути решения задачи, если не для общего случая, то по крайней мере для наиболее практически важных частных случаев, и получить хотя бы приближенное решение задачи возможно простыми, реально осуществимыми средствами. В соответствии с многообразием условий каждой конкретной задачи и выбором различных упрощающих допущений, возникает ряд разнохарактерных методов их решения. Факторы первостепенной важности в условиях одной задачи становятся второстепенными, пренебрежимыми в условиях другой; допуще­ ния, закономерные для одного случая, становятся неприемлемыми для другого и т. д.

Вместе с тем необходимо отметить, что несмотря на неизбеж­ ность при решении задачи методами СМПД принятия ряда упро­ щающих допущений, все же некоторые теоретические выводы, относящиеся' к решению этих задач, должны быть строго увязаны с основами механики сплошных сред и даже более строго, чем это имеет место, например, в выводах основных уравнений теории упругости.

Дело в том, что поскольку в задачах СМПД приходится рас­ сматривать конечные (значительные) деформации, то прежде всего возникает необходимость строгого разграничения понятий о на­ чальных и текущих координатах, т. е. понятий о переменных Лаг­ ранжа и Эйлера, принятых в механике сплошных сред (см. гл. 1 и 2).

Начальными координатами или переменными Лагранжа назы­ вают координаты (относительно принятой ортогональной, прямо­ линейной или криволинейной, т. е. декартовой, цилиндрической или сферической системы координат) геометрической точки, с ко­ торой совпадал рассматриваемый материальный элемент (матери­ альная точка) физического тела, в некоторый определенный, пред­ шествующий рассматриваемому моменту времени (например, в на­ чальный) момент процесса деформации.

Текущими координатами или переменными Эйлера называют координаты относительно той же системы координат геометриче­ ской точки, с которой совпадает данная материальная точка в рас­ сматриваемой стадии процесса деформаций (и движения) физиче­ ского тела.

В теории упругости условия равновесия (статические условия задачи) выводятся по отношению к элементарному объему напря­ женного, а следовательно, уже деформированного тела. Отсюда все выводы теории упругости, касающиеся статической стороны задачи, можно считать абсолютно строгими только при допущении, что они относятся к координатам тела в его напряженно-деформи­ рованном состоянии. Что касается геометрических соотношений, которые выводятся в теории упругости, то все они, безусловно,