Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 276

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где п — индексы главных осей;

вХу= О.бу^,, ехг =

• •

Условие совместности этих трех равенств

Dху

“yz = о

ег - е „

есть кубическое уравнение относительно неизвестных главных

компонентов

еп.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая во внимание (8.8), получим определитель кубиче­

ского уравнения,

определяющий главные [компоненты

тензора

скорости деформаций

при

пластическом

кручении,

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

1

y

dtp

 

 

 

 

 

 

 

 

2

L

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

— е»

1

x

d(p

 

 

 

 

 

 

T

1 7 H T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

у

dcp

1

 

х

dtp

- 8 „

 

 

 

 

2

17

dt

' Y

 

L И Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раскрывая

определитель, получим

у

dip

 

 

-

Ч

а

" [ ( т

т

1

)

1

) 2]} = 0,

(8.15)

’ + ( ' 2

L

dt

корни которого — главные

компоненты

скорости деформации —

равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е1=

 

d(p

 

—

0 ;

 

г

dtp

(8.16)

 

 

2L dt

 

 

2L

И Г

Показатель вида тензора скорости деформаций, а следова­

тельно, и

напряжений

определяется формулой

 

 

 

 

 

 

V- =

3e2/(éi — ёз).

 

 

 

 

Поскольку

ê2 =

0,

v*

всегда равно нулю.

 

 

 

Следовательно, вид напряженного состояния в течение всего процесса пластического кручения постоянен и соответствует сдвигу. Таким образом, одно из условий монотонности при кру­ чении удовлетворяется.

Для выяснения вопроса о соблюдении второго условия моно­ тонности необходимо определить направления главных осей скорости деформации и проследить, совпадают ли они с одними и теми же материальными точками, т. е. сохраняют ли фикси­ рованные материальные точки свое положение на отрезках пря­ мых, совпадающих с направлениями главных осей скорости де­ формации. Подставляя значения компонентов скорости деформа-

184

ции из равенств (8.16) и (8.8) в систему уравнений (8.14) для первой главной оси, получим:

 

 

 

г

dtp•«1*

 

иг~ш~а1г — 0;

 

 

 

2L

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

а*у+

"ЗГ ~Ж~®12 = 0;

 

 

 

2L

dt

 

и

d(D

 

.

х

«Ф ~

'

d<p

„ __ а

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

dt

“ 1г

или после очевидных

сокращений

 

 

 

—ralx —г/а1г = 0;

—ralÿ —*а и = 0;

—у а 1х + х а и/ —/"«и=

В силу

первых

двух

равенств

получим

 

 

 

 

a -ц. =

 

и

 

а 1у

х

 

(8.17)

 

 

-----—а 1г>

------- а 1г*

 

Из условия

 

 

a î x -j-a ty ~Ь = 1

 

 

и (8.17)

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•aiг-

 

-а\г +

а?г = 1, т. е. а?г =

1/2.

Откуда с учетом

(8.17):

 

 

 

 

 

 

„

_ _

1

 

У

 

 

„

,

1

*

 

V1

1^2

Vx* + y*

'

ly

 

V2

Vx*+ y* ’

 

 

 

 

а » = ± - р 5 -

 

(8-18)

Обозначив xM, «/м, zM координаты точки в деформируемом теле, для которой определяется тензор скорости деформаций, а хп1, ут , гт координаты точки М и расположенной в данный момент вблизи точки М на первой главной оси скорости дефор­ мации, составим уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

-'-Mi — * м -----------

(zMi

2м );

 

м

(8.19)

 

 

Уш Ум----

7^~ (2мх

2м)-

 

гм

 

Совершенно аналогично, так как ех и в3 в равенствах (8.16) отличаются только знаками, можно показать, что направляющие косинусы третьей главной оси определяются равенствами (8.18);

уравнение прямой, проходящей через две точки Af и М9, лежащие на этой оси, имеет вид:

VM3

*М —

м (ZM8

ZM )>

 

Ут

Ум—

7 гм (2мз

ZM)-

(8.19а)

 

Определяя направляющие косинусы второй главной оси, получим:

а 2х

х

“« - о -

Вторая главная ось скорости деформации, как видно из (8.18а), лежит в плоскости, параллельной плоскости ху, и уравнение пря­ мой, соединяющей две точки М и Af2, лежащей на этой оси, пред­ ставится

*мз — хм .~ хм.(Ум» — Ум)!Ум-

(8.196)

Равенства (8.18), (8.18а), (8.19), (8.19а), (8.196)

не зависят

от времени и показывают, что в любой геометрической точке деформируемого тела направления главных осей тензора скорости деформации остаются неизменными в процессе формоизменения.

Для удовлетворения условиям монотонности необходимо, чтобы прямолинейный отрезок (материальное волокно), соединяющий

две близкорасположенные материальные точки Af и Afx, в данный момент совпадающие с геометрическими точками Af и Afx, лежа­ щими на первой главной оси скорости деформации, во всех пред­ шествующих стадиях процесса совпадали бы с первой главной осью скорости деформации. Иначе говоря, необходимо доказать,

что две материальные точки А1 и Л1Хвсе время совпадают с двумя геометрическими точками М и Afх, которые лежат на неподвижной первой главной оси скорости деформации.

Любая материальная точка определяется своими начальными координатами. Функциональная зависимость текущих координат от начальных задана при пластическом кручении равенствами (8.3).

Обозначим Хш FM, ZM, Хмх, _ У МХ, Zm — начальные

координаты материальных точек Af и А1х, совпадающих в рас­ сматриваемый момент времени с геометрическими точками Af и Afx; Ф, — значение угла закручивания в- данный момент. В силу равенств (8.3) имеем:

* м = х м c o s n

f4>t- -

s i n - т г Ф /5

т cos —■£*-Ф/

УМ1

2м — 2М;

‘Ml = Z,MI-

Имея

в виду,

что

разность

zM1 — zM = ZM1 — ZM величина

малая,

следовательно,

 

 

и

 

 

cos (Zm

2М) (p^/L =

1

 

 

 

 

 

 

 

sin (* » — ^ м ) Ф / / ^ 5=5 (Zw — ZM) <P//L,

можно получить следующие зависимости:

 

cos

ф* =

c o s - ^ ф*

(ZMl — ZM)

sin — Ф*;

 

sin %

Ф, = sin^L Ф, -

(ZMI - ZM) -Ç-COS -^ -ф ,.

Замечая, что

 

 

 

 

 

= - ^ м + (-^M I ~ * M);

^ M I —

+ ( ^ M I ~ У м );

подставляя равенства (8.21) во второе выражение (8.20) и пре­ небрегая квадратами малых величин, получим

XMI ~ *мх COS Ф< — ^Mi sl° “]г~ Ф/ - УMI — Zm- ф/.

(8. 22)

Вычитая почленно из (8.22) первое равенство (8.20), определим

*мх — хм ~ (-^мх *м) cos—£-<Pt — (YMI — Ум) sin

Фt —

— Ум -— j/ — Ф/.

(8.23)

Комбинируя (8.23) и учитывая на основании (8.3) и (8.19), что

V

V

_. . .

Ум

ZMl ZM . . .

,, ____„

ZMX ZM

XMI

 

хм ~

»

Ум1 ~ У м ~ хм

---- »

получим следующую систему уравнений относительно ХМ1—Хм

и * MX~ * V

(*мх

X J cos ■

Ф/ — (ГМ1 — Y J sin —

<рt +

 

 

+ Ум (Z MI — Z J

= 0;

 

 

(*мх -

X J s i n ^ - Ф< + (Ym -

Y J cos

q>, -

(8 24)

 

— ХМ (Z MX -

Z J ( - щ - - - Ç - ) = 0 .

 

 

1«7

С учетом (8.3) решение этой системы определится равенствами:

X M I

=

Y* {Zm — Z M) (l/RK

Ф{/L)t 1

пел

Ym -

FM=

Хм (Zm - ZM) (1/Ям -

<pt/L)- J

( )

Поскольку в начальный момент x — X; y = Y; z = Z, a точка Mu выбрана совершенно произвольно на относительно малом расстоя­ нии от произвольно выбранной точки М на прямой, совпадающей с первой главной осью скорости деформаций, то полученное урав­ нение прямой (8.25) является геометрическим местом материаль­ ных точек в начальной стадии процесса. Точки эти должны будут располагаться вдоль первой главной оси скорости деформации, когда угол закручивания достигнет заданного значения ф

(х ~ хн) = Ум{г ~ % ) 0 / гм —

(У ~ Ум) = *м (z ~ % ) (l/rR— %/L)

или, что равносильно,

х *м

у-Ущ

2м

(8.26)

%

хж

rTnL/(L~ rmb)

 

Направляющие косинусы этой прямой определяются равенствами:

%1 ~ тжЬ

гм

 

 

 

*м

L-

v ,

(8.27)

гм

У (L-

,Rtl)‘ + L‘

’

V

Л )* + У '

 

Уравнения (8.27) показывают, что рассматриваемая прямая располагается в плоскости, перпендикулярной радиальному на­ правлению, т. е. ортогональна прямой, соединяющей материаль­

ную точку М с точкой пересечения плоскости г = zM = const с геометрической осью симметрии.

Анализ равенств (8.27) показывает, что, во-первых, в на­ чальный момент времени, когда ф* = 0, равенства (8.27) тожде­ ственно равны равенствам (8.18), т. е. что в начале процесса материальное волокно совпадает по направлению с первой глав­ ной осью скоростей деформации; во-вторых, направляющие ко­ синусы (8.27) являются функциями угла закручивания ф/ и пере­ менны во времени, тогда как направляющие косинусы главных осей скорости деформаций постоянны.

Совершенно аналогичные рассуждения приводят к таким же выводам относительно материальных волокон, в начале процесса

188

Смотрите также файлы