Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.02.2024
Просмотров: 263
Скачиваний: 3
получаем два равенства
8/в |
8fB |
8/0 |
&iv |
|
— |
tr, Jde, = — J a, de, -f J <x, de, — — J or, de, -f C; |
(9.37) |
||
e,0 |
о |
о |
0 |
|
|
|
|
|
(9.38) |
Исключая С из равенств (9.37) и (9.38) и вводя |
|
|||
|
I |
e i |
|
|
|
о, de, = |
J Ф (е,) de, = |
А (е,), |
(9.39) |
|
I |
о |
|
|
получаем уравнение, связывающее между собой три переменные в процессе деформации изгиба величины е,н, е,в и е,0, т. е. искомое уравнение (9.21),
А (е,н) -j- 2Л (е,ц) — Л (е,в) •-= 0.
Функция А (е,) |
различна для различных материалов. Перейдем |
||
к определению выражения изгибающего момента |
Af„3l. для слу |
||
чая кругового |
изгиба листа. Можно |
написать |
|
|
гн |
|
|
|
Мизг = В J <т0 (г - |
p0) dr, |
(9.40) |
' где В — размер изгибаемого листа в направлении ребра гиба. Заметим, что интеграл в правой части равенства (9.40) можно
преобразовать к следующему виду:
р 0) d r = |
OQ— Or |
J oedr- (9-41) |
|
J |
dr-f- J -°a-+gr..r dr — p0 |
||
Принимая во внимание, что в силу равенства (9.1), <т0 = <тг +
+ г а также, что аг (изменяясь непрерывно при гв < г ^ г„)
обращается в нуль при г = гв и при г = гн, можно убедиться в том, что два последних интеграла в правой части равенства (9.41) равны нулю тождественно. Таким образом, равенство (9.40) может быть приведено к виду
ГН
М изг^-2- J fa — or)г dr,
откуда
2МИзг |
р |
гн |
= I (а0 — ar) г dr + { (ог0 — or) г dr + |
j (<т0 — ar)г dr. (9.42) |
|
В |
Г, |
Р |
|
Принимая во внимание равенства (9.25), (9.32) и (9.34), приво дим равенство (9.42) к виду
2Л1В |
|
(В |
_ |
|
-IV |
~tн |
|
■ Ра |
J <r,e- / З е ‘ |
d |
eр2, |+ а,е~ V3e‘ de, + |
р* j |
|||
В |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Вводя обозначения |
|
|
|
||||
MH( e |
, =) |
/ 3 |
J a |
/ |
SMBe < d( ee ,,=); / 3 1 a,e- y b *de„ (9.43) |
||
можем написать |
|
|
|
|
|||
(l/4)Bs§ |
= |
V f (" S ') |
1Л1“ (8,н) + Ш в (е,о) ” |
Мв |
|||
Или, подставляя в правую часть этого равенства выражение (9.27), |
|||||||
Мизг_____ 2_ |
_______ 2 |
|
) 21МН(егн) + 2МВ(е,„) - Л4В(е,в)]. |
||||
(1/4) BSQ ~ |
V I |
|
|
||||
е ^ н - е - ^ Ц в |
(9.44) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Формулу (9.44) при обозначениях (9.43) следует рассматривать как расчетную формулу для составления вспомогательных таблиц, которыми можно было бы воспользоваться при любом конкрет ном расчете.
В заключение приведем формулу для вычисления усредненной по объему деформированной (изогнутой) части изгибаемого листа
удельной механической работы, затрачиваемой на изгиб. |
равен |
|||||
Значение средней |
удельной |
работы |
Л,13Г определится |
|||
ством (приближенным) |
|
|
|
|
|
|
|
|
гн |
|
|
|
|
А тг = T I |
T J А (8i) Г dr- |
|
|
(9 -4 5) |
||
|
гп |
Тъ л„ |
|
|
|
|
Замечая, что при г < р имеем |
|
/з |
|
|
|
|
Уз |
|
Ь d e |
, , |
|
||
г = ре |
2 |
|
г |
|
||
а при г > р имеем |
Уз_ |
|
|
|
|
|
г — ре |
|
de„ |
|
|
||
2 |
|
|
|
|||
приводим равенство (9.45) к виду |
|
|
|
|
||
Лизг = - f a ( / 3 |
| Л (е,) е" /5е‘ d e |
+, / 3 j |
Л ( е |
,е/з') 8‘ d |
e , j . |
|
Вводя обозначения
К ы = 1/3 J А (ег)е/3с< dst; Ав (в,) = / 3 1 Л (е,)е~ /3 8■' delt (9.46)
аналогичные обозначениям (9.43), и замечая, что
г2н = р2е ^ н И ^ р 2е - ^ Ч
получаем расчетную формулу
^изг = yfe. |
_у§8. |
(®«'н) “Ь |
(®»в)1* |
(9.47) |
которой, как и формулой (9.44), можно воспользоваться при со ставлении вспомогательных таблиц для расчетов кругового изгиба листа.
Глава 10. ПЛАСТИЧЕСКОЕ РАЗДУТИЕ ЦИЛИНДРОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ
4. Общая задача сопротивления полых цилиндров внутреннему давлению
Рассматривая сечение цилиндра, достаточно удаленное от кон цевых срезов или днищ, можно полагать главные оси деформации заранее известными: первая главная ось — направление наиболь шего удлинения материальных волокон — по нормали к диамет ральному (меридиональному) сечению цилиндра, т. е. ех = е0; третья главная ось — направление наибольшего укорочения ма териальных волокон в радиальном направлении, т. е. е3 — ег;
наконец, |
средняя главная ось (вторая) |
в осевом направлении, |
т. е. в2 = |
ег. При этом, благодаря тому, |
что сечения, перпенди |
кулярные оси симметрии цилиндра, должны оставаться плоскими, значения г2 от радиуса не зависят.
Поскольку очевидно, что главные оси деформации на всех стадиях процесса совпадают с одними и теми же материальными волокнами, можно утверждать, что главные оси напряженного состояния совпадают по направлению и индексу с главными осями итоговой деформации, т. е. первое условие монотонности в рас сматриваемом случае удовлетворено точно.
Полагая далее, что второе условие монотонности протекания процесса также удовлетворено в пределах практической точности,
принимаем |
_ Ог — (°в — Ог)/2 _ 2 Oi |
|
Ре— |
/1А п |
е0 — ег |
ег — (ег + ее) / 2 |
3 в/ ’ |
V |
|
|
|
|
(10.2) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.3) |
Вводя в рассмотрение угол вида р, имеем: |
|
|||
о> — |
|
= |
— at sin (30° — P); |
(10.4) |
00 ~ |
°r = |
- щ |
Qi cos (30° - p); |
(10.5) |
®г - |
= — Y Si Sin (30° - P); |
(10.6) |
||
e0— er = |
]/З ег cos (30° — P). |
(10.7) |
||
Учитывая изменение объема материальных частиц за счет упругих слагаемых деформации, получаем
ее + е, + е2- |
£ ** (о0+ or + о*). |
(10.8) |
Условия равновесия материальных частиц деформируемого цилиндра приводятся к одному только равенству
dOf _ |
(Т0 — Of |
(10.9) |
|
dr 1~~ |
г |
||
|
Обозначая R исходный радиус материальной точки, располо женной в данной стадии процесса деформации на радиусе г, имеем:
е0 =з In (r/R) |
|
|
|
(10.10) |
|
и |
|
|
|
|
|
Ь - Ч - Я Г — |
|
|
|
|
<|0 " > |
Дифференцируя равенство (10.10) по г, получаем |
|
||||
1 |
dR |
4-0 |
r |
dR |
) . (10.12) |
R |
dr |
R |
dr |
||
Но в силу равенств (10.10) и |
(10.11): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.13) |
dr = е ~ Е' |
|
|
|
(10.14) |
|
После подстановки в равенство (10.12) выражений (10.13) и (10.14) имеем
ИЛИ
d&Q _ |
8 Q — ег |
( 1 0 . 1 5 ) |
|
dr |
r\r > |
||
|
где
|
|
1 |
_ еев~ег _ |
, |
( 1 0 . 1 6 ) |
|
|
Л |
8в — 8г |
’ |
|
t] — поправочный |
коэффициент, зависящий только |
от значения |
|||
разности |
е0 — ег, |
всегда в |
практических случаях |
относительно |
|
близкий |
к единице. |
|
|
|
|
Значения коэффициента т) легко определить, пользуясь вспо
могательной таблицей |
(табл. 10). |
|
|
|
|
|||
|
Таблица 10. Значения коэффициента п в равенствах |
|
|
|||||
|
|
|
(10.15) |
н (10.17) |
|
|
|
|
ев - е г |
Л |
80 - * г |
Л |
80 —вг |
Л |
80-® Г |
Л |
|
0 |
1,0000 |
0,10 |
0,9509 |
0,20 |
0,9034 |
0,30 |
0,8579 |
|
0,01 |
0,9952 |
0,11 |
0,9461 |
0,21 |
0,8987 |
0,31 |
0,8530 |
|
0,02 |
0,9903 |
0,12 |
0,9413 |
0,22 |
0,8941 |
0,32 |
0,8485 |
|
0,03 |
0,9854 |
0,13 |
0,9365 |
0,23 |
0,8895 |
0,33 |
0,8440 |
" |
0,04 |
0,9805 |
0,14 |
0,9317 |
0,24 |
0,8849 |
0,34 |
0,8396 |
|
0,05 |
0,9756 |
0,15 |
0,9270 |
0,25 |
0,8803 |
0,35 |
0,8352 |
|
0,06 |
0,9706 |
0,16 |
0,9222 |
0,26 |
0,8797 |
0,36 |
0,8308 |
|
0,07 |
0,9657 |
0,17 |
0,9175 |
0,27 |
0,8711 |
0,37 |
0,8264 |
|
0,08 |
0,9607 |
0,18 |
0,9128 |
0,28 |
0,8665 |
0,38 |
0,8220 |
|
0,09 |
0,9558 |
0,19 |
0,9081 |
0,29 |
0,8620 |
0,39 |
0;8176 |
|
|
|
|
|
|
|
0,40 |
0,8133 |
|
Исключая переменную г из уравнений (10.9) и (10.15), полу чаем
dar — |
-----^ т ] |
de9 |
Г |
£0 — ®Г |
1 ° |
или, принимая во внимание равенства |
(10.1), |
|
daг _ ____2 0t_ des
de,- |
3 е/ * de/ ' |
Вводя обозначение <хг = —рп получаем дифференциальное уравнение напряженно-деформированного состояния стенок цилиндра под действием внутреннего давления
dpГ _ |
2 |
gf |
dee |
( 1 0 . 1 7 ) |
|
de/ |
3 |
е; |
' d e / |
||
|