Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

деформационного упрочнения (если значение ав1ат немного пре­ вышает единицу).

Таким образом, допущение о существовании функциональной связи относительного утонения (s0 — s)/s0 с отношением s0/rB, которую можно было бы (хотя бы приближенно) считать одной и той же при любом материале листа, оказалось не соответствую­ щим действительности.

Задачи по изгибу листа в штампах и по изгибу балок различ­ ного сечения, т. е. когда мы имеем дело с конечной, а не с малой деформацией, еще недостаточно разработаны и освещены в лите­ ратуре. На практике при их решении обычно прибегают к самым разнообразным приемам полуэмпирического характера.

Кроме этого, практическое значение решения задачи круго­ вого конечного изгиба заключается еще в том, что благодаря дан­ ному решению, мы получаем возможность определить приближен­ ную величину механической работы, затрачиваемой на любую опе­ рацию листовой гибки, а также величину той предельной кривизны, которую можно придать листу при гибке в холодном состоянии.

2. Геометрическая сторона задачи конечного кругового изгиба листа

При анализе конечного кругового изгиба листа примем сле­ дующие упрощающие допущения (кроме тех, которые были при­ няты выше при определении понятия о круговом изгибе): во-пер­ вых, будем пренебрегать упругими слагаемыми деформации и, во-вторых, будем считать изменение объема любой материальной частицы в процессе деформации равным нулю.

Пусть' А'А"Б"Б' — сечение, перпендикулярное ребру гиба рассматриваемой частицы изгибаемого листа, ограниченной двумя плоскостямиЛ'Б' и А"Б", проходящими через общую для наруж­ ной поверхности (А'А") и для внутренней поверхности (Б'Б") линию центров кривизны О (рис. 37).

До деформации это сечение имело форму прямоугольника сЬ сторонами

Д> Б'0 = AQBQ— s0; AQAQ= БоБо — lo-

Принимая во внимание равенство нулю компонента деформа­ ции в направлении ребра гиба и неизменность объема, убеждаемся в том, что площадь рассматриваемого сечения останется неизмен­ ной в процессе деформации.

205

(s — толщина Листа в рассматриваемой стадии деформации из­ гиба), получаем

Решая систему двух уравнений (9.4) и (9.5) относительно пере­ менных в процессе изгиба радиусов кривизны ги и гв, имеем:

* Выясним, удлиняется ли волокно В'В" в данной стадии про­ цесса или укорачивается. Заметим при этом, что из всех величин, входящих в правую часть равенства (9.10), могут изменяться две

206

величины, а именно <р и толщина изгибаемого листа s, которая мо­ жет изменяться по мере увеличения <р.

Дифференцируя равенство (9.10) по <р, получаем

Если бы оказалось, что правая часть равенства (9.11) положи­ тельна, то это означало бы, что волокно В'В" в данной стадии де­ формации удлиняется; если бы оказалось, что правая часть равен­

Наконец, если бы мы так выбрали значение у — у0 — исход­ ного расстояния у от поверхности изгибаемого листа, которая

впроцессе изгиба становится вогнутой, что правая часть равен­ ства (9.11) на данной стадии процесса (при данном ф) обратилась бы

внуль, то это означало бы, что на данной стадии деформации мате­ риальное волокно В'В" не удлиняется и не укорачивается, т. е. что оно совпадает с радиусом р„ нейтрального слоя по скорости деформации. В этом случае мы имели бы

Исключая из равенств (9.12) и (9.13) выражение 10 (2yv — s0), после несложных алгебраических преобразований имеем

Принимая во внимание равенства (9.4) и (9.5), получаем

Равенство (9.14) является одной из основных зависимостей теории кругового изгиба листа, выводимых из чисто геометричес­ ких (кинематических) соображений, вне зависимости от силовой картины явления. Из этого равенства мы видим, что в том случае, когда утонением листа можно-пренебречь, радиус нейтрального слоя по скорости деформации (или «по напряжениям») может быть определен известным уравнением

Необходимо, однако, отметить, что в том частном случае, когда удовлетворено равенство (9.14а), утонение при изгибе не должно

207

Подставляя выражения (9.18) и (9.19) в равенства (9.17), имеем

Разделив почленно второе из этих равенств на первое, получаем после несложных алгебраических преобразований

Равенство (9.20), как и равенство (9.14), вьшодится из чисто геометрических зависимостей, но этого равенства еще недоста­ точно, чтобы определить все необходимые геометрические пара­ метры задачи кругового изгиба листа, поскольку оно связывает три переменных в процессе деформации величины: е/н, е(В и ei0.

Функциональную связь двух из этих величин с третьей, кото­ рую можно было бы принять за аргумент, нельзя получить вне за­ висимости от силовой картины явления, от способности данного материала выявлять пластическую деформацию и ей сопроти­ вляться, от механических характеристик этого материала.

Однако, как мы увидим при рассмотрении силовой картины кругового изгиба листа, для любого материала (механические характеристики которого известны) можно получить еще одну зависимость вида

связывающую те же три переменные во времени величины, как и равенство (9.20), а именно stH, е,в, е(0.

Если бы мы приняли одну из этих переменных за независимый аргумент, а две другие за искомые неизвестные, то могли бы, решая совместно систему двух уравнений (9.20) и (9.21), определить функциональные зависимости этих двух неизвестных переменных от той переменной, которую приняли за аргумент. Для этого, однако, следует знать, в каких пределах может изменяться зна­ чение этого независимого аргумента для данного материала.

Установить возможные пределы значений переменных е/в и 8(Ч) было бы, по-видимому, весьма трудно без того, чтобы не ре­ шить совместно системы уравнений (9.20) и (9.21). Зато установить пределы возможных значений переменной е{„ можно без затрудне­ ний для любого материала. В самом деле круговой изгиб листа воз­ можен до тех пор, пока не начнут появляться на его поверхности трещины разрушения.

Опыт показывает, что трещины всегда появляются на наруж­ ной (выпуклой) поверхности изгибаемого листа при значениях е,н, определяемых приближенным равенством