Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 269

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где ф— относительное поперечное сужение в шейке испытываемого на растяжение образца кругового сечения при разрыве. Таким об­

разом, возможные значения переменной в,н ограничены

пределами

0 < 8 /н<0,61п-г ^ .

(9.23)

Эго обстоятельство позволяет нам принимать переменную е1Нза независимый аргумент, изменяющийся в определенных (для данного металла) пределах (9.23), а переменные е1в и г1о рассма­ тривать как искомые функции аргумента е/н, значения 'которых, соответствующие любому значению аргумента (в заданных пре­ делах), могут быть получены в результате совместного решения системы уравнений (9.20) и (9.21). В этом случае можно было бы составить таблицу значений ег„, е/в, е,0 и, пользуясь ею, опреде­ лить любую возможную длй данного металла комбинацию значений этих величин.

Покажем, что для любой такой комбинации можно было бы также вычислить значения отношений rB/s„; r„/s0; р0/s0; рvls0 и s/s0. Заметим, что радиус р нейтрального слоя по итоговой де­ формации, т. е. того слоя, который в итоге всей предшествующей деформации не удлинился и не укоротился в тангенциальном на­

правлении,

определится

равенством

 

 

 

 

 

РФ =

/0,

т. е.

р =

/0/ф.

 

(9.24)

Из

равенств

(9.15), (9.16)

и

(9.24)

получаем:

 

 

 

/з

 

 

/з

 

 

/з

 

X

=

ре 2 е‘н; Гв = ре

2

8,'в;

р0 = ре 2 8г°.

(9.25)

 

Далее заметим, что при обозначении (9.24) равенство (9.3)

может быть приведено к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5(r2„

- r 2B) = pSo.

 

(9.26)

 

После подстановки в левую часть этого равенства выражений

(9.25) и алгебраических

сокращений имеем

 

 

 

р

 

 

 

2

 

 

 

(9.27)

 

 

 

 

е/§8;н _ е ~ /з"е;в

 

 

 

Принимая во внимание равенство (9.27), можно привести ра­

венства (9.25) к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у±е.

 

 

 

 

 

гн

_

 

2е

2

<н

 

 

(9.28)

 

 

So

 

е/3 е ;н _

е- / 3 е . в

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VI

 

 

 

 

 

гв _

 

2е

 

2 8,8 .

(9.29)

 

 

So ~

е ^ Ц „ _ е“ ^ в

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У'3 с

 

 

 

 

 

jPo_ „

 

2е

 

2

 

 

(9.30)

 

 

е У з Ч н - е - ^ .в '

 

 

So

 

 

Вычитая почленно равенство (9.59) из равенства (9.28) и заме­ чая, что гн — rB= s, получаем после несложных алгебраических преобразований

 

 

S

/3

 

2

(9.31)

 

 

«о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е“

е‘н+ е

 

Для

того чтобы иметь возможность воспользоваться равенст­

вами (9.27)—(9.31) и вычислить

все геометрические параметры

задачи кругового

изгиба

листа,

следует

определить функцио­

нальные

зависимости е1В

и

е(0

от е1Н, для чего необходимо

знать выражение

левой

части

равенства

(9.21). Это выраже­

ние можно получить только из рассмотрения силовой картины явления с учетом механических характеристик материала изги­ баемого листа.

3. Механическая (силовая) сторона задачи кругового изгиба листа

Выше было установлено, что при круговом изгибе листа напря­ жения ог (в направлении общей нормали к поверхностям листа) и <х0 (в направлении, перпендикулярном этой нормали и ребру гиба) являются главными, и их значения удовлетворяют диф­ ференциальному уравнению (9.1), где в силу равенства (9.2) и изложенных в п. 1 данной главы соображений относительно индек­ сации главных напряжений, имеем:

о0 -

ог = — щ Gt при г <

ft,;

(9.32а)

ое -

ог »= Y =Oi при г >

ft,.

(9.326)

Следовательно, при г = p„ главные напряжения должны пре­ терпевать разрыв непрерывности при переходе через цилиндри­ ческую поверхность , радиуса г = р0. Однако напряжение а„ нормальное к этой поверхности, такого разрыва непрерывности претерпевать не может, так как это противоречило бы известному

вмеханике закону о равенстве действия и противодействия. Итак, приходится допустить, что при переходе через цилин­

дрическую поверхность радиуса г = р0 претерпевает разрыв непрерывности напряжение о0.

В действительности этот разрыв непрерывности также оказы­ вается несколько сглаженным за счет влияния деформаций упру­ гой разгрузки, происходящей при перемене знака главных ком­ понентов скорости деформации. Тем не менее мы условились пре­ небрегать влиянием упругих слагаемых деформаций на силовую картину рассматриваемого явления, поскольку иначе пришлось бы еще усложнить и без того относительно громоздкие выкладки.

211

Таким

образом, придется

считать,

что при

переходе через ци­

линдрическую

поверхность

радиуса, г — р0

значение

напряже­

ния ае

изменяется «скачком».

 

 

привести

Принимая во внимание равенства (9.32а и б), можно

уравнение (9.1)

к виду:

 

 

 

 

 

 

2

dr

rBc r <

р„;

(9.33а)

 

 

do, = — —

Oi — для

 

 

do, = -pL- Oi -у- для

рв < г <

г„.

(9.336).

Для того чтобы иметь возможность проинтегрировать диффе­ ренциальные уравнения (9.33а) и (9.336), необходимо знать, как изменяется по радиусу значение а,. Известно, что в тех слоях деформируемого листа, в которых процесс деформации протекал монотонно,

Oi = Ф(si),

где в; — интенсивность итоговой деформации; Ф (в/) —'извест­ ная для данного материала функция от е,- (заданная кривой или таблицей по данным обработки результатов испытания образцов материала на растяжение). Однако процесс деформации при кру­ говом изгибе листа не является монотонным по всей толще этого листа.

Монотонно протекала деформация при rBsg г sç р0, где мате­ риальные частицы на всех предшествующих стадиях процесса изгиба укорачивались в тангенциальном направлении. Монотонно протекала деформация также и при

где материальные частицы на всех предшествующих стадиях про­ цесса изгиба удлинялись в тангенциальном направлении, но при

деформацию нельзя считать монотонной, поскольку материальные частицы, расположенные в данный момент на этих радиусах, в начале процесса изгиба укорачивались в тангенциальном направ­ лении, а затем стали удлиняться.

Тем не менее, замечая, что при круговом изгибе листа главные оси скорости деформации неизменно совпадают по направлению с одними и теми же материальными волокнами, и принимая во внимание результаты эффекта Баушингера, т. е. возможность по­

степенного уменьшения интенсивности напряжений после издое- , нения знаков главных компонентов скорости деформации, можно

212

все же считать практически приемлемым допущение, что равенство а. = ф (е,) остается в силе по всей толще изгибаемого листа.

Мы имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е,- =

-£=-1п-^ =

-7^

In4*. если г > р

 

 

 

‘

У з

U

У з

Р

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8,- = —pr- In— =

—3=-1п — , если г < р ,

 

 

‘

Уз

гф

 

г

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

V s

1

 

^

 

 

 

 

 

 

— = - j- d £ h если г > р

 

 

(9.34)

или

 

dr

 

VI

А

 

^

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— = -----2~deô если Г<Р*

 

 

 

Уравнение (9.33а)

принимает вид:

 

 

 

 

 

dor — <т,- de,- (гв <

г <

р„ и

г,-„ С

в,- < в,в).

(9.35а)

Уравнение

(9.336)

принимает

вид:

 

 

 

 

dor =

— <т,-de,-

(р0< г < р

и 0 < 8 << 8 fo);

(9.356)

dar •= о,- de,-

(р с

г С гИи

0 <: ег < eiH).

(9.35в)

Интегрируя

уравнения

(9.35а,

б, в) и замечая, что

при

г =

= гн и при г =

гв, т. е. на свободных от внешних нагрузок

(для

кругового изгиба)

поверхностях,

ог = 0,

получаем:

 

 

аг =

 

/В

 

 

приJ

 

 

 

 

 

 

—

о,- de,

гв с

г <

р„;

(9.36а)

с ,= —

 

 

о,- dezJ 4- С при р0 <

г < р;

(9.366)

 

 

 

"/Н

 

 

 

 

 

(9.36в)

 

аг =

|

 

de,- при р <

г < гн,

где С — константа

интегрирования.

 

 

 

 

 

Замечая, что сгг не претерпевает разрыва непрерывности ни

при г = р0, ни при г — р,

а также, что

 

 

 

 

®/о>

Смотрите также файлы