Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 214

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Третий инвариант деформации определяет ее вид (растяже­ ние, сжатие, сдвиг) и может быть выражен равенством

COS 3|Je = —3-

(4в*д;Syyt'zz — ®дгхУуг

еуу\гх

 

Ъ1

 

 

 

 

 

— ezzYxy 4“ YхуУугY»!»

 

(1-21)

где

6Г

 

ехх 4~еуу ~Ьегг .

 

Ъхх

Вхх

 

31Г0 “

 

3

 

- _

6W .

-

_

б«7 .

( 1 . 22)

гуу~~ гУУ

ЗГ0 ’

e“

е*г

ЗГо ’

 

е1 — ех — -щ - и т- д-

При этом мы получаем следующие выражения трех главных компонентов малой деформации, полагая ех > е2 > е3, если

Зр8 < 180°:

 

61 =

Т TF"

 

е«'cos

 

е2 =

J

1Р7 + г1sln (Ре -

30°);

•

 

 

 

 

ез = ^

- е

(С08(6°о- Р в);

 

 

(1.23)

Часто вид деформации определяется значением отношения

разностей

главных

 

ее компонентов,

т. е.

значением

 

 

 

_ 2 е 2 — e t — е 3 _

2 s in (Р е — 3 0 ° ) — c o s p e +

c o s (6 0 ° — р

V® —

 

— е 3

 

—

 

 

 

 

c o s р е +

 

c o s (6 0 ° —

 

 

 

 

 

t g (Р е

—

3 0 ° )

 

 

 

 

(1.24)

 

 

 

 

 

 

t g 3 0 °

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол р

е который,

мы будем называть углом вида деформации,

связан взаимно однозначной зависимостью (1.24) с параметром v£

и может изменяться в зависимости от вида деформации от 0 до

60°. Так, при простом растяжении ve =

—1, р

е= 0;

при

простом

сдвиге ve =

0, р в

=30°; при

простом сжатии v8 =

+

1

, 60°.р е =

При деформации частицы тела мы будем полагать:

 

 

для

растяжения

 

 

 

 

 

t g

15°

 

 

 

 

 

 

 

 

1

^

v8 ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t g

3 0

°

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для

сдвига

 

t g

15°

 

 

t g

15°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’

 

 

 

 

 

 

 

t g 3 0 °< V e<

t g 3 0 °

 

 

 

для

сжатия

 

I

t g

15°

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vg < ~j- 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

'

t g 3 0 °

 

 

 

 

Итак, если в пределах данной рассматриваемой частицы деформируемого тела известны компоненты малой деформации относительно принятой координатной системы, т. е. если по известным производным перемещений по координатам вычислены (1.7) значения ехх, е№, ггг, уху, ууг, у2Х, то всегда можно опреде­ лить значения (1.23) главных компонентов деформации, вычислив предварительно относительное изменение объема рассматривае­

мой частицы интенсивность деформации е,- и характери­

стику ее вида ре (или ve). Для этого следует произвести последо­ вательные вычисления по формулам (1.18), (1.19), (1.21), (1.22), (1.23) и (1.24).

При вычислении угла 30е по формуле (1.21) необходимо при­ нять 0 < ЗРЕ < 180°.

Значение правой части равенства (1.21) всегда ограничено пределами от —1 до + 1 . Следовательно, 0 < ре < 60°. Подставив это значение в правую часть равенства (1.23), получим значения главных компонентов деформации, удовлетворяющие неравен­

ствам (1.17) и

уравнению

(1.16).

5.

Главные оси конечной деформации

Выше рассматривались

только случаи малой деформации,

т. е. те случаи, когда относительные изменения расстояний между материальными точками тела предполагались заведомо малыми по сравнению с единицей. Тем не менее на практике, например в задачах по обработке материалов давлением, часто приходится иметь дело с случаями, когда расстояния между некоторыми па­ рами материальных точек в деформируемом теле изменяются значительно, т. е. увеличиваются или уменьшаются в два и более раза.

Естественно, что некоторые допущения, принятые нами выше при изложении основ теории малых деформаций, для случая конечной деформации окажутся неприменимыми, другие из этих допущений останутся в силе и в случае конечной деформации. Например, как малая, так и конечная деформация всего рассма­ триваемого тела в целом, как показывает опыт, в большинстве случаев оказывается неоднородной. Но при этом большую часть объема тела, претерпевшего малую или конечную (значительную) деформацию можно мысленно разделить на частицы так, чтобы в пределах каждой отдельной частицы были бы с практической точностью удовлетворены все условия однородности деформации, а именно: любой прямолинейный отрезок внутри такой частицы до деформации сохраняет в пределах практической точности пря­ молинейность и после деформации, а плоские сечения остаются плоскими после деформации; параллельные прямолинейные от­ резки и параллельные плоские сечения данной частицы тела остаются параллельными и после деформации; длина двух парал-

2*

35

лельных отрезков, проведенных внутри рассматриваемой частицы тела, изменяется за счет деформации в одинаковом отношении.

Докажем сначала, что при значительной деформации, как и при малой, мысленно выделенная в теле до деформации частица, имеющая форму сферы (достаточно малая, чтобы внутри ее можно было бы считать деформацию однородной), после деформации должна принять форму эллипсоида.

В случае конечной деформации мы не можем ввести какихлибо ограничений на значения перемещений и их производных по координатам, поскольку сами перемещения могут оказаться соизмеримыми с размерами деформируемого тела, а производные перемещений по координатам — соизмеримыми с единицей. Поэтому, с нашей точки зрения, при теоретическом анализе про­ цессов конечного формоизменения целесообразно введение в рас­ смотрение перемещений только при изучении перехода в данную стадию этого процесса из предшествующей близкой или же пере­ хода из данной стадии в последующую близкую.

При изучении же деформации, претерпеваемой отдельными частями (или малыми частицами) деформируемого тела за весь процесс его значительного формоизменения, введение в рассмо­ трение перемещений могло бы только усложнить математические выкладки (так как потребовало бы оперирования «лишними» переменными). Поэтому, определяя геометрическое место мате­ риальных точек в деформированном теле, располагавшихся до деформации на поверхности сферы малого радиуса р0, будем бази­ роваться только на существовании взаимно однозначной непре­ рывной функциональной связи текущих координат (х, у, г) этих материальных точек с их начальными координатами. Мы видели, что такая связь может быть задана равенствами вида (1.1) и (1.2). В окрестности материальной точки равенства эти можно аппрокси­

мировать линейными

зависимостями:

- ^ ( X - X

M) + ^ ( K - r M) + - | - ( Z - Z M); '

у -

У. = -ж <х -

+ ж

- у

+ ж V -

Z M); (1.25)

z - z u = ^ r ( X - X u) + -^r ( Y - Y M) + - ^ . ( Z - Z M)

И

 

 

 

 

 

 

 

 

X

~

Х „ =

- g j - (X — Х„) -р

- щ - {у — #м) +

 

— 2м);

 

 

=

 

+

- ( ÿ - i d

+

т г

(1.26)

Z -

ZM=

- g - (x -

xM) +

(y - y j

+

-g -(z -

z„).

В равенствах (1.25) частные производные текущих коорди­ нат по начальным, т. е.

дх .

дх .

дх .

ду .

ду .

ду .

дг .

дг .

дг

..

n-j\

дХ ’

дУ '

dZ '

дХ ’

dK ’

dZ ’

dX ’

dK ’

dZ ’

1

;

следует рассматривать как значения частных производных пра­ вых частей равенства (1.1) по своим аргументам при X = Х ы,

Y — Y K, Z = Zu.

В пределах данной частицы тела, претерпевающей однород­ ную деформацию в данной стадии процесса его формоизменения, величины (1.27) можно считать постоянными. Аналогично в равен­ ствах (1.26) частные производные начальных координат по теку­ щим, т. е.

дх .

дх .

дХ .

дУ .

дУ .

дУ .

dZ .

dZ

,

aZ ..

дх ’

ay *

az ’

ад; ’

ay ’

az ;

ад: ’

ay

’

az ’

следует рассматривать как значения частных производных пра­ вых частей равенств (1.2) по своим аргументам при х = хю у = у„ и г — zM. В пределах данной частицы тела, претерпевшей к дан­ ному моменту однородную деформацию, величины (1.28) можно считать постоянными.

Приемлемость аппроксимации равенств (1.1) и (1.2) выраже­ ниями (1.25) и (1.26) может служить критерием приемлемости допущения об однородности деформации частицы.

Подставляя выражения (1.26) в левую часть уравнения (1.8), т. е. уравнения сферической поверхности с центром в точке М, получаем уравнение геометрического места материальных точек в деформированном теле, располагавшихся до деформации на сферической поверхности малого радиуса р0. После сокращений это уравнение принимает вид

Ахх (х -

x„f + Ауу(у — Ум)2 4- Кг (г - z„)2 +

4“ 2Аху (х

лгм) (у

Ум) 4~ 2Ауг (у

уи) {z

zu) 4*

4- 2Агх(z — zH) (х — хк) = P§,

(1.29)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

л

дХ дХ

,

дУ

дУ

,

dZ

dZ

(1.30)

 

А *у ~

дх ду

^

дх:

ду

~г

дх

ду '

 

Понятно, что в пределах

данной

частицы

тела,

претерпевшей

к данному моменту однородную деформацию, величины (1.30), как и величины (1.28), можно считать постоянными.

Уравнение (1.29)—это уравнение поверхности второго порядка, все точки которой расположены на достаточно малом расстоянии от центральной точки М, заданной координатами хи, уи, zM.

Такая поверхность, как известно, может быть только поверх­ ностью эллипсоида. Главные оси этого эллипсоида назовем глав­ ными осями деформации рассматриваемой частицы деформи­ руемого тела.

Пусть Рх > р2 > р3 — длины главных полуосей эллипсоида, преобразованного деформацией из начальной сферы радиуса р0. Расстояние между любой парой материальных точек в окрест­ ности точки М, расположенных после деформации на прямолиней­ ном отрезке, параллельном большой оси эллипсоида, должно было увеличиться за счет деформации в отношении рх/роРасстоя-

В0

Рис. 5. Построения на эллипсоиде, преобразованном деформацией из сферы

ния между парами материальных точек, расположенных на от­ резках, параллельных средней и малой полуосям эллипсоида, должны были соответственно измениться за счет деформации в отношениях р2/р0 и р3/р0.

Большую главную ось эллипсоида, преобразованного из на­ чальной малой сферы, мы будем называть первой главнай осью деформации; среднюю главную ось этого эллипсоида назовем второй главной осью деформации, а малую — третьей главной осью деформации.

Следует отметить, что если мы выделим мысленно внутри некоторой части тела, претерпевшей однородную конечную де­ формацию, материальную частицу, имеющую форму прямоуголь­ ного параллелепипеда с ребрами, параллельными главным осям деформации, то окажется, что такая материальная частица и до деформации должна была иметь форму прямоугольного паралле­ лепипеда. В этом можно убедиться из следующих соображений. Пусть точки А, Б, В являются точками пересечения главных осей эллипсоида, преобразованного деформацией из сферы радиуса р0, с его поверхностью. На рис. 5 мы видим сечение этого эллипсоида плоскостью, проходящей через большую и малую его оси. Поэтому направления большой полуоси MA и малой полуоси МВ совпа-

38

дают с плоскостью чертежа, а средняя полуось МБ перпендику­ лярна плоскости чертежа. Напишем уравнение сферической по­ верхности радиуса, равного малой полуоси эллипсоида МВ = р3, центр которой в деформированном теле совпадает с материальной точкой М:

(х - *„)2 + ( у - yuf + (г - zuf = pi

(1.31)

Если подставить в левую часть этого равенства выражения (1.25), то получим уравнение эллипсоида, на поверхности кото­ рого располагались до деформации материальные точки, распо­ ложенные после деформации на поверхности сферы (1.31). Отрезки прямых, соединявших до деформации точки пересечения главных осей этого эллипсоида с его поверхностью, должны были в итоге всего процесса деформации претерпеть экстремальные изменения длины, и, следовательно, эти отрезки прямых должны после деформации совпасть с главными осями итоговой деформации. Поскольку главные оси эллипсоида всегда взаимно перпенди­ кулярны, то прямоугольный параллелепипед с ребрами, парал­ лельными главным осям итоговой деформации, должен был и до деформации иметь форму прямоугольного параллелепипеда.

Однако в случае значительной деформации нет основания утверждать, что этот параллелепипед и в промежуточных ста­ диях процесса формоизменения рассматриваемого тела должен был оставаться прямоугольным. Наоборот, экспериментальные исследования процессов конечной деформации показывают, что материальная частица, имеющая в данной стадии процесса де­ формации (например, в конечной стадии) форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными главным осям ито­ говой деформации, т. е. с главными осями эллипсоида, преобра­ зованного из начальной сферы, хотя и должна была иметь форму прямоугольного параллелепипеда до деформации, в промежуточ­ ных стадиях процесса формоизменения могла представлять собой косоугольный параллелепипед1.

Это обстоятельство в значительной мере затрудняет изучение конечной (значительной) деформации тел и вызывает необходи­ мость во многих случаях рассматривать процессы конечной деформации как совокупности последовательных малых дефор­ маций. И это, несмотря на то, что отношения pjpo, р2/р0 и р3/р0 (длин plt р2, р3 полуосей эллипсоида, преобразованного деформа­ цией из начальной элементарной сферы к радиусу р0 этой сферы) определяют то изменение формы, которое должна была претер­ петь малая материальная частица в окрестности любой данной точки М за весь предшествующий данному моменту процесс своей конечной деформации^

1 Данное явление имеет место, в частности, в том случае, когда плоская де­ формация осуществляется путем параллельного сдвига слоев.

Смотрите также файлы