Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 234

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для выполнения расчетов удобно пользоваться координатами точек касания А, В, С и D, а полученные характеристики фор­ моизменения считать локальными для точки О в центре ячейки (см. рис. 58).

Метод Пашкова [501: исходная квадратная ячейка делитель­ ной сетки, нанесенной в главной плоскости, превращается в па­ раллелограмм (рис. 59). Система координат XOY принимается с началом в точке О— центре ячейки.

Параметрами, отображающими искажение ячейки, как и

раньше, будут

стороны

параллелограмма 2

ах

и

2

и

угол

между

ними Ьъ

а

поворот

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно

 

фиксирован­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ных

на плоскости

осей

ко­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ординат характеризуют -4а х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и -4 0 1 , причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б1 =

 

я / 2 - ( а 1 -(-р1).

(13.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Длина

/х

и направление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(-4 фх)

некоторого

отрезка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2Nlt

имеющего до дефор­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мации

длину

L 0 и

направ­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ление,

определяемое

пара­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

метром п (п =

tg ф0),

значе­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние

которого

по

условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

однородности

 

деформации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянно, используется для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определения

 

деформации

рис. 5 9

Искажение

квадратной

ячейки

удлинения

ЭТОГО отрезка

 

 

делительной сетки по Пашкову

 

 

 

 

 

 

 

1

,

 

+

2А/ta j6?j c+o s

ô j

 

 

(13.34)

 

 

 

 

8ф‘ =

X 1П

 

( l+ n 2K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответственно определяется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

го

- n r r t r

bl Stn Pl +

^ lC O S » !

a

x

 

 

(13.35)

 

 

 

 

 

<^1

 

 

 

bt c o ®s p4x-

na1

s in

 

 

Значения

параметра

n,

определяющие

направления

главных

осей деформации, находятся из условия их экстремума

 

 

 

 

 

 

 

 

с?1 — Ь\± j/~(af —

bf)2 +

4aIb1 c o 2s 6 ,

 

(13.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2atbt c o s ô j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перед

радикалом знак

плюс

соответствует

 

п2,

а

минус ■— п2.

Подставляя значения пх и па в уравнение (13.34),

получим

 

 

 

 

 

 

 

а\ +

Ь\ ± у

( о2 +

62) 2 - 4а 262

s i n2Ô,

 

 

2^

т. e. тот же результат, что и по методу Зибеля уравнение (13.31). Интенсивность деформированного состояния определяется по уравнению (13.32).

Расчетные формулы методов Зибеля и Пашкова таковы, что исходная ячейка делительной сетки должна обязательно иметь квадратную форму. Погрешность в нанесении ортогональной сетки

может привести к

ошибке в определении как значений главных

компонентов деформаций, так и направлений главных осей.

Однако Ренне

[56] показал,

что можно получить формулы

и для более общего случая, когда исходная

ячейка

имеет форму

параллелограмма, т. е. ее параметрами являются

размеры 2а0

и 2Ь0 и -4 00, положение

ее

относительно

фиксированных осей

координат определяется

4 а 0 и 4 р0

(рис.

60). В этом случае

главные компоненты

деформации

определяются по формулам:

 

1

.

b\ +

nfaf +

2n1albl c o s

ô ;

 

 

~

n 6 o' +

n ï a o +

2 n i a o6 o c o s ô o

 

1

 

b\ -f-

n |a i

+^n2a‘ -[bl c o s

ô t

(13.38)

 

 

 

8<S

2

ln *0 + n2a0 + 2n2a0b0C0S ô0 ’

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„

_ B ± V B * + 4 A C .

 

(13.39)

 

 

« 1 .2 - --------2Â------- ’

 

A = a0büa\ cos ô0 — aiMo cos ôi;

B =

alb\ ■ «

C = a0b0bi cos ô0 — a\bib\ cos ôi.

Направление главных осей в исходном и деформированном состоянии находится по формулам:

t g

t g

Ф о =

<Pi =

bp s in

Ро

+пи 2а 0

c o s

«

0 .

’

(13.40)

bpc o s

Ро

+ 2«ахо.

s in

а

0

bt s in

Px

1 , 2° « i c o«s1

 

 

(13.41)

&X COS Px +

«X. 2a l

sln a l

 

 

 

 

 

Интенсивность деформированного состояния как и в преды­ дущем случае определяется по формуле (13.32). Такое обобщение формул Пашкова оказывается полезным при поэтапном иссле­ довании процессов конечного формоизменения.

Отметим, что полученные характеристики процесса конечного формоизменения однозначно определяют удельную работу де­ формации только в случае монотонного протекания процесса.

Переходим к группе поэтапных методов исследования, бази­ рующихся на деформационной теории. На каждом этапе формо­ изменения (в локальном объеме, ограниченном размерами сетки) все характеристики процесса определяются так же, как и в слу­ чае конечных деформаций. Результирующее значение интенсив-

292

ности главных логарифмических деформацией е,- получается

суммированием этапных значений &in:

П

~ Х| ®/л-

1 Поэтапные методы исследования конечных деформаций могут

быть использованы для изучения немонотонных процессов; не­ обходимо только, чтобы каждый этап, на который разбивается немонотонной процесс конечного формоизменения, удовлетворял хотя бы приближенно условиям монотонности.

Естественно, что напра­ вление главных осей де­ формации на каждом этапе должно совпадать с направлениями глав­ ных осей напряжения.

Основной задачей по­ этапного исследования является получение ло­ кальной характеристи­ ки степени деформации в результате немоно­ тонного формоизмене­ ния в условиях слож­ ного нагружения. Из­

вестно, что в условиях

 

 

 

немонотонного процесса

Рис. 60. Схема искажения

исходной

ячейки

единственной сопоста­

формы параллелограмма по Ренне

 

вимой характеристикой

 

 

 

 

формоизменения,

кото­

 

этом

работу

рая позволяет

определить затрачиваемую при

и изменение механических свойств деформируемого тела, явля­ ется степень деформации. Для поэтапного исследования могут быть использованы как формулы (13.38) — (13.41), так и формулы (13.5) и (13.14), которые удобны тем, что с их помощью по текущим параметрам искажения ячейки (2ah 26,- и Ô,) могут быть непо­ средственно определены приращения главных деформаций, ин­ тенсивности деформаций и (с несколько меньшей точностью) те­ кущее положение главных осей деформации.

Очевидно, при монотонном процессе формоизменения, когда главные оси деформации в течение всего процесса формоизменения совпадают с одними и теми же материальными волокнами тела, значения nt и я 2, определяемые по уравнению (13.39), должны оставаться неизменными. В этом случае нет необходимости при­ бегать к поэтапному методу изучения процесса формоизменения.

К этой же группе исследований можно отнести и так называ­ емый метод визиопластичности, предложенный Е. Томсоном, В за-

Рис. 61. Схема изменения формы ячейки делительной сетки при ее движении вдоль линии тока

ключение обратимся к группе исследований, основанных на при­ менении теории течения. Здесь непрерывно наблюдаемые изме­ нения формы и размеров ячейки делительной сетки рассматри­ ваются как непрерывные функции некоторого параметра, чаще всего времени (хотя за таковой могут быть приняты и геометри­ ческие факторы процесса). Текущие значения компонентов де­ формации определяются на любой стадии процесса в произвольной системе координат и используются как для нахождения текущего

положения главных осей скоростей де­ формации, так и для определения ин­ тенсивности скорости деформирования

ег. Значение степени деформации нахо­ дится интегрированием по параметру

— [ 8idt

и, согласно теории пластического тече­ ния, главные оси скорости деформации совпадают с главными осями напря­ жений.

"Попытка создания эксперименталь­ ного метода, базирующегося на теории течения, была сделана Зибелем, кото­ рый его применил при изучении ста­ ционарных процессов осесимметричного течения при волочении, прессовании и обратном выдавливании, а в последую­ щем был разработан рядом исследова­ телей и в том числе Ренне.

Практически делительную сетку рекомендуется наносить в ме­ ридиональной плоскости так, чтобы ее продольные риски совпадали при стационарном течении с линиями тока. Тогда для любого положения на линии тока малого объема, ограниченного разме­ рами ячейки делительной сетки, можно получить характеристики конечных деформаций удлинения по крайней мере в трех направ­ лениях [57].

В направлении продольных рисок, т. е. в направлении, сов­

падающем с направлением линии тока (рис. 61)

 

е* = 1п (а/а0),

(13.42)

где а и н д — текущий и начальный размеры ячейки вдоль про­ дольной риски, совпадающей с линией тока.

В тангенциальном направлении из условия симметрии

где t 0 и t — начальное и текущее расстояние центра ячейки, расположенного на линии тока, от оси симметрии меридиональ­

ного

сечения тела.

совпадающем

с

направлением

поперечной

В

направлении,

риски, пересекающей

продольную

в

центре ячейки,

 

 

 

еЛ = 1п(6/&0),

(13.44)

где b и Ь0— текущий и начальный размеры ячейки вдоль по­ перечной риски.

Линейные компоненты тензора бесконечно малых деформаций находятся дифференцированием по параметру 5 — перемещение

вдоль линии тока

 

dex = ^ P - d S ;

(13.45)

<tee= ^ p - d S - ,

(13.46)

Третий линейный компонент в направлении оси у, перпенди­ кулярной к направлению линии тока, находится из условия постоянства объема

deу — — dex — de0.

(13.47)

Угол а, определяющий направление приращения наибольшей главной деформации относительно линии тока

(13.48)

Для определения значения углового коэффициента восполь­ зуемся тензорным преобразованием при повороте осей координат. Приращение линейной деформации в направлении оси хи состав­

ляющим угол

я/2 — у с

направлением

оси

х, будет

dexl =

de, cos2

- у) - f dey sin2 (-£- — у)

+

 

+ dyxycos (-2- - y) sin ( f

-

y ) .

(13.49)

Используя для определения значений de, и dexl уравнения (13.1) и (13.3) и для определения dey дополнительно условие постоянства объема d (2лrab cos у) = 0, из уравнения (13.32) найдем

^ y ^ ^ ^ - à S - i à e x — dey) tgy,

(13.50)

где

 

de, = — ^ -d S ; dey = b dS dS — tg y

dS.

Смотрите также файлы