Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.02.2024
Просмотров: 238
Скачиваний: 3
ожидания, которая является функцией от результатов наблюде ний и задается определенными математическими формулами:
™ = - j r ? ln P'; |
(13.25) |
Эти оценки могут быть определены и через базу р;:
т = |
In р,' = |
In р; — 0,5a2 |1прг}; |
|
a2 |
{lnp(. } |
^ l n [ l + ^ L ] . |
(13.26) |
Следовательно, математическое ожидание радиуса-вектора опре деляется с некоторой ошибкой, поэтому координаты точек со держат случайную ошибку (статистический разброс).
Для получения наилучших оценок коэффициентов уравнения (13.17а) по экспериментальным данным воспользуемся методом наименьших квадратов, т. е. найдем параметры уравнения так, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений от значений, полученных из уравнения (13.17а), была наименьшей. Для функции многих переменных это условие выражается в том, что частные производные (производные по параметру) прирав ниваются нулю, причем все остальные параметры при вычислении
производных |
считаются |
постоянными. |
где |
ср (xh yh |
zh |
a(/) = |
|||||
Из условия минимума 2 |
= |
2 |
Ô?, |
||||||||
= ài «s* 0, |
определяем |
значения |
a,-,-. |
семи |
уравнений |
с |
семью |
||||
Таким |
образом, получаем |
систему |
|||||||||
|
|
$ 2 |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
неизвестными -И=- = |
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Odi] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 (апх2+ |
а22у2+ |
a33z2 -f 2апху -f 2awyz + |
|
|
|||||
|
|
|
-f- 2a31zx + |
au) x2= 0; |
|
|
|
||||
|
2 |
2 (йцХ2-f- a22y2-f- ümzl -f- 2a12xy -(- 2a2ayz -f- |
|
|
|||||||
|
|
|
-f 2a31zx + |
a44) y2= 0; |
|
|
|
||||
|
2 |
2 (anx2+ |
a22y2+ |
a33z2 -f 2anxy -f 2awyz + |
|
|
|||||
|
|
^ |
4- 2a31zx + |
a44) z2 = 0; |
|
|
|
||||
|
2 |
2 (с/цХ2-(- o22y2-f- ü.ÿ3z2 |
2anxy 4- 2a22yz 4- . |
|
(13.27) |
||||||
|
|
4 - 2aslzx 4 - «44) 2xy = 0; |
|
|
|
||||||
|
2 |
2 (anx24 - a22y2 -г «3322 4- 2a4^xy 4 - 2azsyz 4 - |
|
|
|||||||
|
|
|
4 - 2 a31zx + a44) 2 yz = 0 ; |
|
|
|
|||||
|
2 |
2 (anx2-f a22y24 - a33z2 + |
2al2xy -f 2a23yz 4 - |
|
|
||||||
|
|
|
4 - 2aslzx 4 - Û44) 2z.v = 0 ; |
|
|
|
|||||
|
2 |
2 (Пц.т2 -f* а2>У*4* aasZ2+ |
2al2xy 4 - 2a2Syz 4- |
|
|
||||||
|
|
|
4 " 2a3lzx 4 ~ O44) — 0. |
|
|
|
|||||
После преобразования система (13.27) примет вид:
ап^1 "Ь a2Sp\ “Ь #33^2 4“ 2CL12Fз -)- 2#23G3 4~ |
\ |
|
+ 2a31Fб 4~^44^1 == 0; |
|
|
с1цЕ14~^22^2 + Язз^з+ 2a12F1 4~2a23Fв 4~ |
|
|
+ SÛ^GX-f- я44Л2 = 0; |
|
|
&\\Е2-{- а22Е3+ Язз^з 4~ 2a12G2 -f- 2Ü23F4 -f- |
|
|
+ |
2a31F2 4~ я44Л3 = 0; |
|
2anF3-f- 2 C L 22F |
4 -f- 2Æ33G2 4~ 4#12£i -f- 4<223Gx 4“ |
|
+ |
4a31G3 + 2а44Ог = 0; |
|
2^nG3 4~ 2Æ22Fв ~Ь 2Û33F4 -(- 4Û12G1 -|” 4Æ23F3 4~ |
|
|
4" 4a31G2 4~ 2a44D3 = 0; |
|
|
2ûnF5 4“ 2a22Gx 4~ 2a33F2 -f- 4я12G3 4~ 4Æ23G2 4~ |
|
|
+ |
4#31£ 2 4~ 2auD2= 0; |
|
Ûni4i 4- #22^2 4- Я33Л3 4" 2tt12Dx 4“ 2CLyaPz 4“ |
|
|
4~ 2a31D 2 4“ яя44 = 0, |
j |
|
где i4<f Ct, Д-, F,-, Fh Gt и др. — коэффициенты (табл. 25). Система уравнений (13.27а) может быть решена методом по
следовательного исключения (метод Гаусса). Для уменьшения
Рис. 52. Эскиз образца на осаживание
потери точности при вычислениях вручную систему (13.27) лучше рассчитывать методом главных элементов (см. табл. 25). Однако реализовать метод главных элементов при решении'системы (13.27) на ЭВМ не удается. В этом случае расчеты необходимо проводить методом ортогонализации.
Проверка микроструктурного метода по определению дефор мированного состояния в малом объеме тела (когда направление главных осей деформации неизвестно) проводилась на образцах на осадку (рис. 52).
Для получения однородной деформации образцы изготавли вались с торцевыми выточками.
|
X |
|
Z |
X* |
y * |
Z* |
X* |
y 8 |
Z3 |
X * |
y 4 |
z * |
x y |
xz |
y z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A i . |
A % |
A t |
B t |
B t |
B t |
C t |
C t |
C t |
D t |
D t |
D t |
5,795 |
0 |
5,795 |
0 |
0 |
33,59 |
0 |
0 |
194,5 |
0 |
0 |
1127 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5,829 |
0 |
4,121 |
4,121 |
0 |
16,98 |
16,98 |
0 |
69,9 |
69,9 |
0 |
288 |
288 |
0 |
0 |
16,98 |
5,812 |
0 |
5,032 |
2,906 |
0 |
25,33 |
8,45 |
0 |
127,3 |
24,6 |
0 |
640,6 |
24,5 |
0 |
0 |
14,62 |
5,672 |
5,672 |
0 |
0 |
33,18 |
0 |
0 |
182,3 |
0 |
0 |
1034 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5,860 |
0 |
5,860 |
0 |
0 |
34,34 |
0 |
0 |
201,2 |
0 |
0 |
1179 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5,763 |
4,075 |
0 |
4,075 |
16,61 |
0 |
16,61 |
67,6 |
0 |
67,6 |
275,8 |
0 |
275,8 |
0 |
16,6 |
0 |
S |
— |
— |
— |
49,79 |
110,24 |
42,04 |
249,9 |
592,9 |
162,1 |
1310 |
3235 |
588,3 |
0 |
16,6 |
31,6 |
|
|
y |
Z |
x * y * |
X2Z2 |
y * z * |
x y 3 |
xz3 |
y x * |
y z 3 |
zx3 |
y z 3 |
x y 2z |
x y z 2 |
x 2y z |
mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
E t |
|
F t |
F t |
|
|
|
|
C l |
C t |
G t |
|
|
|
|
|
E t |
E t |
F t |
F 4 |
F t |
F t |
||||||
5,795 |
0 |
5,795 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5,829 |
0 |
4,121 |
4,121 |
0 |
0 |
288 |
0 |
0 |
0 |
288 |
0 |
288 |
0 |
0 |
0 |
5,812 |
0 |
5,032 |
2,906 |
0 |
0 |
214 |
0 |
0 |
0 |
123,7 |
0 |
369 |
0 |
0 |
0 |
5,672 |
5,672 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5,860 |
0 |
5,860 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5,763 |
4,075 |
0 |
4,075 |
0 |
275,8 |
0 |
0 |
275,8 |
0 |
0 |
275,8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
E |
— |
— |
— |
0 |
275,8 |
502 |
0 |
275,8 |
0 |
412 |
275,8 |
657 |
0 |
0 |
0 |
Исходный материал предварительно термически обрабатывался по разработанному режиму, после чего определялась база р0 в различных плоскостях и направлениях. Однородность выборок контролировалась по разработанным критериям. Была опреде
лена база т = 1пр0 = 5,776.
После осадки образцов делались сечения под -3 30 и 60° к оси осадки (см. рис. 52); приготавливались шлифы и определялись координаты точек в плоскости ZOY и ZOX (рис. 53, 54, 55) отно сительно выбранного центра О. Определение значений главных полуосей преобразованного эллипсоида производилось по из ложенной схеме.
Для решения системы уравнений (13.27а) расчет необходимых сумм сведен в табл. 25. В результате решения системы линей ных уравнений получаем общее уравнение поверхности второго порядка
|
|
32,22х2+ 33,64/ + |
31,5z2+ |
2,45xt/ - |
1082 = 0. |
(13.28) |
|||
Составим |
характеристическое уравнение: |
|
|
||||||
|
|
33,22 — X |
|
1,23 |
0 |
|
|
||
|
|
|
1,23 |
33,64 — X |
0 |
= 0, |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
31,51 - Ь |
|
|
или |
Xs — 97,37 |
X2— 3157,62 X— 34095,5 = |
0. |
|
|||||
Кубическое уравнение может быть решено тригонометриче |
|||||||||
ским |
способом, |
способом Ньютона, с помощью таблиц |
[21]. Вос |
||||||
пользуемся последним |
способом. |
|
|
|
|||||
Кубическое |
уравнение |
Xs + |
|
|
|
||||
+ ijj2+ |
1гХ+ |
/ 3 = 0 с |
помощью |
|
|
|
|||
замены переменного у —X-f IJ3, |
|
|
|
||||||
приводим |
к виду |
ys + py+ q = 0, |
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ~~ |
3 /2 — 71 |
3-3157,62 — 97,372 _ |
|
|
|
||||
3 |
~ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- |
2,7; |
|
|
|
|
|
q - |
2/‘ |
V * |
| J |
2(-97,37)» |
|
|
|
||
4 |
27 |
3 |
^ |
3 |
27 |
^ |
|
|
|
|
|
+ |
9.7’37'| -- 7’62 _ |
34995,5 = — 7. |
Рис. 53. |
К определению координат |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
точек |
в |
плоскости ZOY |
и |
ZOX |
|
После |
этого |
|
производим |
замену |
z = —(plq) J/x; |
в |
ре |
|||
зультате |
чего |
получаем |
уравнение |
г8 — А г — А = 0 , |
где |
||||||
А = p9/q2 = (—2,7)3/72 = —0,4. |
|
|
|
|
|
||||||
|
Один из корней z = —0,915 уравнения находим по таблице |
||||||||||
приложения |
[21]. |
Корень |
исходного |
уравнения |
|
|
|||||
|
|
Х9= |
“ |
у |
*i ~ Т |
= 5 7 ° ’915 “ |
-Н Г - = 34,83- |
|
|
||