Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.02.2024

Просмотров: 229

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

д г

1г _

д г

lR

 

dZ

~ 26 ’

dR ~

2ô

 

В целях исключения

погрешностей,

возможных при

замере 1г

и lR, воспользуемся равенством

(13.60), которое при у

= 0 при­

нимает вид

 

 

 

 

4б2 R

Шг г

На оси симметрии отношение R/r неопределенно (0/0). Эта неопределенность раскрывается. Предел отношения r/R на оси симметрии равен drldR. Следова­

тельно,

 

r/R — /д/26.

 

 

 

 

 

 

Окончательно имеем

 

 

 

 

 

 

 

/д/2 =

8Ô3.

(13.60а)

 

 

 

 

Этим равенством и можно поль­

 

 

 

 

зоваться ДЛЯ корректировки ТОЧ-

Рис. 64.

Схема обработки

ячеек

НОСТИ замеров /д

И 12,

соответст-

сетки, примыкающих к точке м,

вующих

точкам,

расположенным

 

лежащей на оси симметрии

на оси

симметрии.

 

 

 

 

 

 

Когда для данной точки М в осесимметричном деформируемом

теле известно пять величин:

d R

d R

dZ

dZ .

про­

 

 

 

(частные

изводные начальных координат R и Z по текущим г и г) и

R/r

(отношение начального расстояния R точки

М от оси симметрии

к ее расстоянию г от той же оси в рассматриваемой стадии про­ цесса), то можно определить значения главных компонентов деформации, направление главных осей и интенсивность ито­ говой деформации.

Для определения главных компонентов деформации ис­ пользуется теорема о преобразовании элементарной сферы ра­

диуса р0 в

эллипсоид, полуоси которого

а/р0, Ыр0 и с/р0

равны r/R.

 

 

Величины

полуосей легко определить по

формулам:

£ = W ( - 3 - ) ' + ( - | - ) ‘ + 2 T - +

+ / ( * ) ■ + « * - ) ■ - * # •

(13.64)

Главные компоненты результативной деформации:

еа = 1 п -^ ; eb= ln-^-; ec = E9 = ln-£-.

(13.65)

Индексация главных компонентов проставляется после опре­ деления их величин. Для контроля используется условие по­ стоянства объема ва + еь + е0 = 0.

Интенсивность деформированного состояния определяется по формулам (13.16).

Для определения направления главных осей результативной деформации можно воспользоваться формулой

t g ( 2 a - x ) — j f ± £ t g V,

(13.66)

z

Л

 

где а — угол между осью симметриями направлением первой глав­ ной оси результативной деформации.

Таким образом, деформированное состояние материальных частиц по всему сечению заготовки может быть полностью опре­ делено.

При выполнении условий монотонности протекания процесса формоизменения можно по деформированному состоянию судить о напряженном состоянии частиц или всего тела в данной стадии процесса, не только в случае, когда = const по всему объему тела, но и в случае, когда необходимо учесть упрочнение, пере­ менное по объему деформируемого тела.

Установим связь между компонентами напряжения и дефор­

мации при условии совпадения их главных осей.

 

Обозначим:

<ха — нормальное

напряжение

на элементарной

площадке, перпендикулярной оси

2а эллипсоида,

в который

превратилась элементарная сфера;

аь — нормальное

напряжение

на площадке,

перпендикулярной

оси 2Ь; сг0 =

ас — нормальное

напряжение на площадке, перпендикулярной оси 2с, которая лежит в меридиональной плоскости сечения. Естественно, что оа, аь и ад — главные компоненты напряжения, действующие в окрестности рассматриваемой точки М.

При осесимметричной задаче компоненты результативной де­ формации определяются, как показано выше, тремя величинами: 1) отношением rlR\ 2) отношением а/b — полуосей эллипса в пло­ скости меридионального сечения деформируемого тела; 3) углом а, составляемым большой осью эллипса с положительным направ­ лением оси симметрии Z.

Первые две величины определяют три главных компонента

результативной

деформации

 

8е =

~R * &а ~ &b=

~5~» 8а Н~ вь+ 8е — О*

Значение интенсивности результативной деформации опре­

деляется формулой

 

 

е/ —

g- f / ' -g- (еа — еб)2 +

(гь ~ 8е)2 4“ ~

(8в — е^ 2 »

которая

может быть приведена

к виду

 

8< =

У

е § + 4 (еа - г ь)* = ] /

(ln-£-)* + - g "

( l n - £ - ) 2 . ( 1 3 . 6 7 )

Поэтому, зная значения отношений rlR и alb для данной точки тела, претерпевающего монотонный или хотя бы приближенно монотонный процесс деформации, и определив функциональную зависимость а{ = / (е,) по данным испытания исследуемого ма­ териала на простое растяжение, можно всегда определить соот­ ветствующее значение а( в рассматриваемой материальной точке.

В силу пропорциональности компонентов девиатора тензора напряжений компонентам результативной деформации получаем выражения:

(13.68)

которые определяют главные компоненты девиатора тензора напряжений в рассматриваемой точке.

Поскольку -4а известен, можно определить компоненты де­ виатора тензора осесимметричного напряженного состояния. Зна­ чения этих компонентов вычисляются по следующим равенствам:

(13.69)

 

oe + P =

 

Ü L

 

( 1)

 

 

 

Ч 1п_Г '

 

oz + p =

 

<Л

 

 

 

cos 2a

 

(2)

2 « ■ ■ 0 4 +

2

■ln - r ) ;

 

 

е/

 

 

 

 

(13.70)

^ ,

2

Gi

f

1

ln —----

cos 2a

 

 

(3)

° r + P ~~

3

8 t-

(

2

2

 

 

 

 

4 --2 i-ln

sin 2a.

(4)

 

Вычисление значений компонентов самого тензора напря­ жений требует привлечения уравнений равновесия, которые всегда можно привести к виду:

дрг

_

о>

<*e

I

дтгг

,

дг

~

г

 

~г

дг

’

дрг

_

Xгг .

дхгг

(13.71)

дг

 

т

'

дг

’

 

 

Правые части этих равенств содержат только компоненты девиатора тензора напряжений и их производные по координа­ там. Действительно, тгг — один из компонентов девиатора, а ar — cr0 = (ar -f p) — (<т0 + p) — разность компонентов девиа­ тора. Вычисление значений самих компонентов девиатора, когда известна хотя бы приближенная геометрия данного процесса формоизменения, обычно не встречает затруднений. Однако можно встретить существенные трудности при определении значений их производных по координатам. Преодолеть эти трудности можно за счет некоторой потери точности. Поскольку

21Ч In аb

изменяется по объему деформируемого тела обычно значительно менее резко, чем -4а, то в пределах малой частицы тела, равнове­ сие которой исследуется, переменностью множителя (оа— <уь) в выражениях производных по координатам касательного напря­ жения можно пренебречь

 

V

= К - аь) sin 2 a

 

 

 

 

 

2

’

 

 

полагая в уравнениях

равновесия

 

 

 

 

дт2Гдг

= К -

ob) cos 2 a - |j -

=

(a2 -

<хг)

;

àrZrдг

= К -

<*ь)cos 2a

=

(а2-

<тг)

.

Смотрите также файлы