Файл: Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf

готовками, толщина слоев которых (пусть разная для слоев из разных металлов) была бы возможно одинаковой во всем объеме исходной модели.

На рис. 67 и 68 представлены макрошлифы подвергнутых статическому изгибу образцов, вырезанных из квазиизотропных (рис. 67) и выраженно анизотропных (рис. 68).

Анизотропия спрессованных слоев вызвана значительным рас­ хождением их механических свойств. В результате изгиба слои

Рис. 67. Макрошлиф статически изогнутого образца из квазиизотропной многослоистой пластины

квазиизотропного многослоистого металла зафиксировали нор­ мальную картину утонения наружных растянутых слоев и уширения внутренних сжатых. Толщина слоев концевых недеформированных краев пластин осталась без изменения. Интересное явление наблюдается на макрошлифе образца с выраженной анизотропией свойств. Помимо обычного утонения слоев вблизи наружной поверхности хорошо просматривается волнистость их — своего рода потеря устойчивости деформации, вызванная, повидимому, наложением неравномерного сопротивления деформа­ ции механически анизотропного образца.

На рис. 69 и 70 показаны макрошлифы цилиндрической заго­ товки и меридионального сечения полуфабриката тонкостенного колпачка, полученного на холодноштамповочной операции вы­ давливанием. В центральной зоне дна у поверхности контакта

Значения главных компонентов тензора результативного формо­ изменения определят решение характеристического уравнения

Ах - А

(Аг — А) [(Л*— А) (Ау — А) — А*у] = 0.

Значение одного корня очевидно: А = Аг. Индекс этого компо­

нее отсутствует, то индекс оси и компонента деформации может быть только 2. Следовательно,

Остальные два главных компонента тензора результативного формоизменения установят решение квадратного уравнения

(Ах — Aï) (Ау — А) — А*у = 0.

Значения корней уравнения определяются равенствами:

Угол наклона главной оси тензора результативного формоизме­ нения к оси х можно определить известными из аналитической геометрии равенствами:

tg2а = —2Аху/(Ах — Ау)\

(13.82)

sin2а = _________ Аху________

V 2KAx - A y W + Aly

Таким образом, значения главных компонентов тензора ре­ зультативного формоизменения и направления его главных осей определяют значения частных производных начальных координат по текущим.

Определение главных компонентов тензора конечных дефор­

Вид деформированного состояния при. плоской деформации всегда соответствует сдвигу: v8 = 0.

По известным значениям главных компонентов деформации и углов наклона главных осей к координатным осям принятой системы координат можно определить значения компонентов конечных деформаций относительно принятой системы по фор­ мулам перехода, которые в случае плоской деформации имеют вид:

Ч — e1cos2a; eÿ = — e1cos2a; уху= sin 2а. (13.85)

Следовательно, задача определения деформированного состоя­ ния сводится к определению значений частных производных начальных координат по текущим, которые обычно определяются по результатам измерений искаженной в процессе деформации ортогональной координатной сетки. Методы определения частных производных базируются на следующих двух основных положе­ ниях.

Вокрестности расчетной материальной точки связь начальных

итекущих координат аппроксимируется линейными зависимостями вида

которые служат критериями однородности деформации в иссле­ дуемом объеме. Движение рассматривается с точки зрения Ла­ гранжа, т. е. используются зависимости (13.87), на основании которых и вычисляются значения частных производных.

Принципиальных затруднений такая схема расчета не вызы­ вает; поскольку известно в начальном и текущем состоянии поло­ жение линий, образующих сетку и принадлежащих семействам X = const и У = const. Таким образом, текущие и начальные координаты узловых расчетных точек легко определяются.

При исследовании деформаций на слоистых моделях в пло­ скости сечения линии раздела слоев представляют собой линии только одного семейства. На рис. 71 Y — const. Для этого семей­ ства линий справедливы равенства системы (13.87). Каждая расчетная точка требует фиксирования в деформированном состоя­ нии. Нанесение каких-либо знаков на плоскости сечения сдеформированной модели вынуждает пользоваться законом движения в Эйлеровом представлении, т. е. наряду с равенствами (13.87) необходимо использовать равенства (13.86). В этом смысле опре­ деление частных производных относится к так называемым мето­ дам смешанных координат.

Если в плоскостях сечения (см. рис. 71) провести семейство прямых линий, параллельных оси у, то в результате образуется сеточная модель с расчетными точками, лежащими в узлах пере­