Файл: Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия.pdf

Введем функцию Гамильтона или гамильтониан:
ℋ =
[︁∑︁
????
????
˙
????
????
− ????
]︁
˙
−
→
???? = ˙
−
→
???? (−
→
???? ,−
→
???? ,????)
,
где {−
→
???? , −
→
???? , ????} — переменные Гамильтона.
Заметим аналогию между преобразованием Лежандра и обобщенным импульсом:
˙
−
→
???? → −
→
????
−
→
???? → −
→
????
???? → ????
ℋ → ????
Теперь очевидно: обобщенный импульс — потенциальное преобразова- ние, где гамильтониан играет роль потенциала обратного преобразова- ния. Обратное преобразование существует, так как выражения для обоб- щенного импульса разрешимы относительно ˙
−
→
????
????
в силу основной теоремы
Лагранжева формализма:
det
⃦
⃦
⃦
⃦
????
2
????
???? ˙
????
????
˙
????
????
⃦
⃦
⃦
⃦
̸= 0
Из выражения для гамильтониана
˙
????
????
=
????ℋ
????????
????
Из определения обобщенного импульса, для уравнений Лагранжа полу- чим:
????
????????
????
????
−
????????
????????
????
= 0 ⇔ ˙
????
????
=
????????
????????
????
Возьмем производную по обобщенной координате от гамильтониана:
41

????ℋ
????????
????
=
∑︁
????
????
???? ˙
????
????
????????
????
−
????????
????????
????
−
∑︁
????????
???? ˙
????
????
⏟ ⏞
????
????
???? ˙
????
????
????????
????
= −
????????
????????
????
⇒ ˙????
????
= −
????ℋ
????????
????
Теперь можно выписать уравнения движения в фазовых переменных:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙
????
????
=
????ℋ
????????
????
˙
????
????
= −
????ℋ
????????
????
— канонические уравнения Гамильтона.
2.1.2
Функция Гамильтона для консервативной си- стемы.
Исследуем структуру гамильтониана. Для этого напомним сначала струк- туру лагранжиана:
???? = ????
2
+ ????
1
+ ????
0
− Π
Воспользуемся теперь теоремой Эйлера об однородных функциях, кото- рая гласит: если
???? (????−
→
???? ) = ????
????
???? (−
→
???? ),
то
∑︁
????????
????????
????
????
????
= ???????? (−
→
???? )
Для функции Гамильтона, учитывая определение обобщенного импульса и то, что нулевая форма кинетической энергии и потенциальная энергия не зависят явно от обобщенной скорости, имеем:
ℋ =
∑︁
????
????
˙
????
????
− ???? =
∑︁
????????
???? ˙
????
????
˙
????
????
− ???? =
∑︁
????????
2
???? ˙
????
????
˙
????
????
+
∑︁
????????
1
???? ˙
????
????
˙
????
????
− ???? =
= (2????
2
+ ????
1
) − ???? = 2????
2
+ ????
1
− ????
2
− ????
1
− ????
0
+ Π
42

Окончательно получим
ℋ = ????
2
− ????
0
+ Π
Для консервативной системы ???? = ????
2
, откуда
ℋ = ???? + Π
— физический смысл функции Гамильтона для консервативной системы.
2.2
Первые интегралы гамильтоновых систем.
Рассмотрим решение −
→
???? (????
0
, −
→
????
0
) системы ˙
−
→
???? =
−
→
???? (????, −
→
???? ). Функция ????(????, −
→
???? )
— первый интеграл рассматриваемой системы, если
????(????, −
→
???? (????, −
→
????
0
)) = ????????????????????
Напомним также критерий первого интеграла:
????????
????????
+
∑︁
????
????
????????
????????
????
= 0 2.2.1
Скобки Пуассона.
Для гамильтоновых систем
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙
????
????
=
????ℋ
????????
????
˙
????
????
= −
????ℋ
????????
????
,
у которых ???? = ????(????, −
→
???? , −
→
???? ), крититерий первого интеграла имеет вид
????????
????????
+
∑︁
(︂ ????ℋ
????????
????
????????
????????
????
−
????ℋ
????????
????
????????
????????
????
)︂
⏟
⏞
{ℋ,????}
= 0,
43

где {ℋ, ????} — скобка Пуассона. Окончательно, критерий первого инте- грала для гамильтоновых систем получен в виде
????????
????????
+ {ℋ, ????} = 0
Отметим четыре свойства скобок Пуассона.
1. Антикоммутативность: {????, ????} = −{????, ????}
2. Линейность: {???????? + ????????, ????} = ????{????, ????} + ????{????, ????}
3. Дифферецирование:
????{????, ????}
????????
=
{︂ ????????
????????
, ????
}︂
+
{︂
????,
????????
????????
}︂
4. Тождество Пуассона: {????, {????, ????}} + {????, {????, ???? }} + {????, {????, ????}} = 0
Все четыре свойства проверяются прямой подстановкой в определение.
Тем не менее, докажем альтернативным методом тождество Пуассона.
Доказательство
1) Очевидно, конструкция вида {*, {*, *}} содержит вторые производ- ные последних двух функций, что проверяется прямой подстановкой в определение.
2) ???? , ????, ???? входят в тождество Пуассона симметрично, поэтому доста- точно доказать, что в тождество не входит, например, ???? , тогда свойство будет доказано.
Заметим теперь, что скобка Пуассона {????, ???? } может быть представлена как действие на функцию ???? дифференциального оператора:
{????, ???? } = ????
????
????,
????
????
=
∑︁
????????
????????
????
????
????????
????
−
????????
????????
????
????
????????
????
Теперь, пользуясь свойством антикоммутативности, имеем
{????, {????, ????}} + {????, {????, ???? }} = −{????, {????, ???? }} + {????, {????, ???? }} =
= −????
????
????
????
???? + ????
????
????
????
???? = (????
????
????
????
− ????
????
????
????
⏟
⏞
[????
????
,????
????
]
)????,
где [????
????
, ????
????
] — коммутатор операторов.
Очевидно, что для
44

???? =
∑︁
????
????
(−
→
???? )
????
????????
????
,
???? =
∑︁
????
????
(−
→
???? )
????
????????
????
Коммутатор
[????, ???? ] =
∑︁
[(???? ????
????
) − (???? ????
????
)]
????
????????
????
— оператор первого порядка. Поэтому и [????
????
, ????
????
] — оператор первого порядка. Тогда левая часть тождества Пуассона не содержит вторых производных функции ???? .
Свойство доказано.
2.2.2
Теорема Якоби-Пуассона.
Теорема Якоби-Пуассона: Если ???? , ???? — первые интегралы системы с функцией Гамильтона ℋ, то {????, ????} — первый интеграл.
Доказательство
???? , ???? — первые интегралы, поэтому
????????
????????
+ {ℋ, ???? } = 0,
????????
????????
+ {ℋ, ????} = 0
Покажем, что {????, ????} — первый интеграл, то есть
????{????, ????}
????????
+ {ℋ, {????, ????}} = 0
Воспользуемся свойством дифференцирования и тем, что ???? и ???? — пер- вые интегралы:
{︂ ????????
????????
, ????
}︂
+
{︂
????,
????????
????????
}︂
+ {ℋ, {????, ????}} = −{{ℋ, ???? }, ????} + {????, −{ℋ, ????}} +
+{ℋ, {????, ????}} = {????, {ℋ, ???? }} + {????, {????, ℋ}} + {ℋ, {????, ????}} = 0
Теорема доказана.
45

Пользуясь теоремой Якоби-Пуассона, можно получить любое число первых интегралов, зная только два. Но это не значит, что они будут независимыми.
Первые интегралы ????
1
, . . . , ????
????
независимы, если не существует функции
Φ такой, что
Φ(????
1
(−
→
???? ), . . . , ????
????
(−
→
???? )) = 0
Пусть {????
????
} зависимы, то есть Φ(????
1
(−
→
???? ), . . . , ????
????
(−
→
???? )) = 0. Но тогда
∑︁
????Φ
????????
????
(−
→
???? )
∇????
????
(−
→
???? ) = 0
Теперь определение независимости первых интегралов можно перефор- мулировать.
Если ???????????? = ????, где ???? = ‖∇????
1
, . . . , ∇????
????
‖, то {????
????
} независимы. Если
???????????? < ????, то первые интегралы зависимы.
2.2.3
Типичные первые интегралы Гамильтоновых си- стем.
Возьмем полный дифференциал от функции Гамильтона и преобразуем его, пользуясь уравнениями Гамильтона:
????ℋ
????????
=
????ℋ
????????
+
∑︁
⎛
⎜
⎜
⎝
????ℋ
????????
????
˙
????
????
⏟ ⏞
????ℋ
????????????
+
????ℋ
????????
????
˙
????
????
⏟ ⏞
−
????ℋ
????????????
⎞
⎟
⎟
⎠
=
????ℋ
????????
+ {ℋ, ℋ} =
????ℋ
????????
Из полученного выражения непосредственно следует, что если гамильто- ниан не зависит явно от времени, то сам гамильтониан является первым интегралом. Система, в которой функция Гамильтона не зависит явно от времени, называется обобщенно консервативной.
Пусть в системе есть циклические координаты, и, например, коорди- ната ????
1
— циклическая, то есть эта координата не входит в лагранжиан.
При выводе уравнений Гамильтона было получено, что
46

????ℋ
????????
????
= −
????????
????????
????
,
что в частности справедливо и для циклической координаты. Производ- ная функции Лагранжа по циклической координате равна нулю, но тогда и производная функции Гамильтона по этой кординате равна нулю. То есть, если координата не входит в лагранжиан, то и в гамильтониан она также не входит.
Пусть для некоторой системы функция Гамильтона имеет вид
ℋ = ℋ(????
1
(????
1
, ????
1
), . . . , ????
????
(????
????
, ????
????
), ????)
????
????
— первые интегралы, что легко показать, воспользовавшись критери- ем первого интеграла для гамильтоновых систем:
????????
????
????????
+ {ℋ, ????
????
} = {ℋ, ????
????
} =
????ℋ
????????
????
????????
????
????????
????
−
????ℋ
????????
????
????????
????
????????
????
=
=
(︂ ????ℋ
????????
????
????????
????
????????
????
)︂ ????????
????
????????
????
−
(︂ ????ℋ
????????
????
????????
????
????????
????
)︂ ????????
????
????????
????
= 0
Пусть теперь гамильтониан имеет вид "матрешки":
ℋ = ℋ [????, ????
1
(????
1
, ????
1
, ????
2
(. . . ????
????
(????
????
, ????
????
)) . . .)]
Как и в предыдущем случае доказывается, что ????
????
— первый интеграл.
Но тогда
????
????−1
= ????
????−1
(????
????−1
, ????
????−1
, ????
????
⏟ ⏞
????????????????????
),
то есть ????
????−1
зависит от ????
????
как от константы, поэтому как и для ????
????
до- казывается, что ????
????−1
— первый интеграл. Теперь по индукции несложно доказать, что все функции ????
????
— первые интегралы.
47

2.2.4
Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат.
Вернемся теперь к системе с циклическими координатами. Как было вы- яснено, если, например, ????
1
— циклическая координата, то она не входит в гамильтониан, но тогда ????
1
= ????????????????????, так как из уравнений Гамильтона
˙
????
1
= −
????ℋ
????????
1
= 0
Теперь уравнения Гамильтона примут вид
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙
????
????
=
????ℋ [????
2
, . . . , ????
????
, ????
1
, . . . , ????
????
, ????]
????????
????
˙
????
????
= −
????ℋ [????
2
, . . . , ????
????
, ????
1
, . . . , ????
????
, ????]
????????
????
Полученная система из 2???? − 2 уравнений замкнута относительно своих переменных, то есть порядок системы уравнений Гамильтона понизился на 2 единицы. При этом циклическая координата ????
1
находится из урав- нения
˙
????
1
=
????ℋ
????????
1 2.2.5
Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения
Уиттекера.
Рассмотрим теперь обобщенно консервативную систему. В ней, как было установлено, гамильтониан является первым интегралом:
ℋ(−
→
???? , −
→
???? ) = ℎ = ????????????????????
Выразим из этого уравнения обобщенный импульс ????
1
в предположении,
что гамильтониан явно зависит от ????
1
:
????
1
= −????(−
→
???? , ????
2
, . . . , ????
????
, ℎ)
48

Подставив этот обобщенный импульс обратно в гамильтониан, получим тождество
ℋ [−
→
???? , −????, ????
2
, . . . , ????
????
] ≡ ℎ
Продифференцировав полученное тождество по переменным ????
????
, ????
????
, ???? ∈
[2, ????] получим
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
????ℋ
????????
????
+
????ℋ
????????
1
(︂
−
????????
????????
????
)︂
= 0
????ℋ
????????
????
+
????ℋ
????????
1
(︂
−
????????
????????
????
)︂
= 0
Теперь уравнения Гамильтона при ???? ∈ [2, ????] можно представить в виде
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙
????
????
=
????ℋ
????????
????
=
????ℋ
????????
1
????????
????????
????
= ˙
????
1
????????
????????
????
˙
????
????
= −
????ℋ
????????
????
= −
????ℋ
????????
1
????????
????????
????
= ˙
????
1
????????
????????
????
,
откуда
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
????????
????
????????
1
=
????????
????????
????
????????
????
????????
1
= −
????????
????????
????
— уравнения Уиттекера.
Полученная система из 2???? − 2 уравнений замкнута относительно своих переменных. При этом обобщенная координата ????
1
играет роль времени.
Таким образом, порядок уравнений Гамильтона понижается на 2 едини- цы в случае обобщенно консервативной системы.
Закон движения исходной гамильтоновой системы в зависимости от вре- мени можно получить, подставив в гамильтониан в уравнении Гамиль- тона для первой координаты
˙
????
1
=
????ℋ
????????
1 49

решения уравненй Уиттекера и подставив ????
1
= −????(−
→
???? , ????
2
, . . . , ????
????
, ℎ). Из полученного уравнения находится обобщенная координата ????
1
в зависимо- сти от времени, после чего полученное выражение для ????
1
подставляется в решения уравнений Уиттекера и в выражение для обобщенного импульса
????
1
, тем самым выражая их через время.
2.3
Действие по Гамильтону. Вариация дей- ствия по Гамильтону.
Действием по Гамильтону называется функционал
???? =
????
2
ˆ
????
1
????(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)????????,
ставящий произвольной дифференцируемой кривой (траектории) −
→
???? (????)
число ????.
Возьмем некоторую траекторию −
→
???? (????) и проварьируем ее, то есть вместо исходной траектории будем рассматривать семейство траекторий
−
→
???? (????, ????), зависящих от некоторого параметра ????. Семейство задается так,
что, во-первых, −
→
???? (????, 0) = −
→
???? (????), а во-вторых, должны быть указаны на- чальная (−
→
???? (????
1
(????), ????)) и конечная (−
→
???? (????
2
(????), ????)) точки для каждого члена семейства.
Вычислим действие по Гамильтону для каждого члена семейства варьи- рующейся траектории
????(????) =
????
2
(????)
ˆ
????
1
(????)
????(−
→
???? (????), ˙
−
→
???? (????), ????)????????
и построим вариацию действия по Гамильтону — дифференциал функ- ционала по ????:
???????? = ????
′
????
(????)????????
Преобразуем полученное выражение, подставляя определение действия по Гамильтону:
50

???????? = ????
2
????????
2
− ????
1
????????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
????????
????
+
????????
???? ˙
????
????
???? ˙
????
????
)︂
????????
Здесь
???????? = ????
′
????
(????)????????,
????????
????
=
????????
????
(????, ????)
????????
????????,
???? ˙
????
????
=
???? ˙
????
????
(????, ????)
????????
????????
Заметим, что
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
????????
????
+
????????
???? ˙
????
????
???? ˙
????
????
)︂
???????? =
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
????????
????
+
+
????
????????
(︂ ????????
???? ˙
????
????
????????
????
)︂)︂
???????? =
∑︁
????????
???? ˙
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
=
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????
Так как −
→
???? = −
→
???? (????, ????), то выражая ????????
????
в концевых точках через полный дифференциал, получим для предыдущего выражения
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
=
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
−
(︁∑︁
????
????
˙
????
????
????????
2
−
∑︁
????
????
˙
????
????
????????
1
)︁
51

Теперь для вариации действия окончательно получим
???????? = ????
2
????????
2
− ????
1
????????
1
+
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
= ????
2
????????
2
− ????
1
????????
1
+
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
−
(︁∑︁
????
????
˙
????
????
????????
2
−
∑︁
????
????
˙
????
????
????????
1
)︁
+
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
−
(︁∑︁
????
????
˙
????
????
− ????
2