Файл: Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 68
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
)︁
????????
2
+
+
(︁∑︁
????
????
˙
????
????
− ????
1
)︁
????????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
=
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
− ????
2
????????
2
+ ????
1
????????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
=
[︁∑︁
????
????
????????
????
− ℋ????????
]︁
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????
— полная вариация действия.
2.4
Вариационный принцип Гамильтона.
Рассмотрим задачу с фиксированными концами, то есть когда начальные и конечные точки членов семейства при варьировании одинаковы:
−
→
???? (????
1
, ????) = −
→
????
1
,
−
→
???? (????
2
, ????) = −
→
????
2
Выше, при выводе выражения для полной вариации действия, было по- лучено, что
???????? = ????
2
????????
2
− ????
1
????????
1
+
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????,
52
Так как варьирование, по условию теоремы, произвольное, то есть ????????
????
—
произвольные и независимые, то
????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
= 0,
то есть траектория, которую мы варьировали, удовлетворяет уравнениям
Лагранжа, а значит, является прямым путем.
Теоерма доказана.
Если на прямом пути нет кинетических фокусов, то действие по Гамиль- тону на прямом пути имеет минимум. Поэтому принцип Гамильтона ино- гда называют принципом наименьшего действия.
2.5
Преобразование лагранжиана при замене координат и времени.
Рассмотрим уравнения Лагранжа в некоторой системе {−
→
???? , ????}
????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
= 0
и сделаем замену переменных {−
→
???? , ????} → {−
→
????
′
, ????
′
}:
{︃
−
→
???? = −
→
???? (−
→
????
′
, ????
′
)
???? = ????(−
→
????
′
, ????
′
)
Запишем выражение для действия по Гамильтону в старых переменных и выразим его в новых переменных:
???? =
????
2
ˆ
????
1
????(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)???????? =
????
′
2
ˆ
????
′
1
????
[︁
−
→
???? (−
→
????
′
, ????
′
), ˙
−
→
???? (−
→
????
′
, ˙
−
→
????
′
, ????
′
), ????(−
→
????
′
, ????
′
)
]︁
????????
????????
′
????????
′
Здесь
54
˙
????
????
=
????????
????
????????
′
+
∑︀
????
????????
????
????????
′
????
˙
????
′
????
????????
????????
′
+
∑︀
????
????????
????????
′
????
˙
????
′
????
,
˙
????
′
????
=
????????
′
????
????????
′
,
????????
????????
′
=
????????
????????
′
+
∑︁
????
????????
????????
′
????
˙
????
′
????
Для образа прямого пути выполняется ???????? = 0 (где ???? выражено в новых переменных), поэтому, в силу принципа Гамильтона, образ прямого пу- ти есть прямой путь, то есть он удовлетворяет уравнениям Лагранжа в новых переменных с новым лагранжианом
????
′
= ????
????????
????????
′
Значит, при любой невырожденной замене координат и времени уравне- ния Лагранжа сохраняют форму, то есть они ковариантны по отноше- нию к этой замене.
Отметим, что функция Лагранжа обладает калибровочной инва- риантностью, а именно, если добавить к функции Лагранжа полную производную по времени от произвольной гладкой функции времени и обобщенных координат, то уравнения Лагранжа не изменятся. Действи- тельно, если
????
′
= ???? +
????Φ(????, −
→
???? )
????????
,
то
????
′
= ???? + Φ(????
2
, −
→
????
2
) − Φ(????
1
, −
→
????
1
),
поэтому
????????
′
= ????????,
то есть прямые пути систем с такими Лагранжианами совпадают. Это означает, что зная множество путей, по которым может двигаться систе- ма, нельзя однозначно восстановить лагранжиан.
2.6
Основы теории групп Ли.
Произвольное множество ???? называется группой, если
55
1. На множестве ???? определена операция умножения «∘», которая любым двум элементам ???? ∈ ????, ???? ∈ ????, взятым в определенном порядке, ставит в соответствие единственный элемент ???? ∈ ????:
???? ∘ ???? = ????
2. Существует единица группы ????:
???? ∘ ???? = ???? ∘ ???? = ???? ∀???? ∈ ????
3. Для любого ???? ∈ ???? существует обратный элемент ????
−1
:
????
−1
∘ ???? = ???? ∘ ????
−1
= ????
4. Операция умножения на этом множестве ассоциативна:
???? ∘ (???? ∘ ????) = (???? ∘ ????) ∘ ????
2.6.1
Понятие группы Ли.
Рассмотрим множество преобразований ????-мерного вещественного ариф- метического пространства в себя:
−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? )
Переход от одного преобразования к другому осуществляется изменени- ем параметра −
→
???? ∈ R
????
Выберем в качестве операции умножения, вводимой на множестве пре- образований −
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ), композицию двух преобразований, причем:
если после преобразования −
→
???? → −
→
????
′
с некоторым фиксированным −
→
????
выполняется преобразование −
→
????
′
→ −
→
????
′′
с некоторым фиксированным
−
→
???? :
−
→
????
′′
=
−
→
???? (−
→
????
′
,
−
→
???? ),
то, поскольку операция задана так, что она не должна выходить за пре- делы исходного множества, то должно выполняться
56
−
→
????
′′
=
−
→
???? (−
→
????
′
,
−
→
???? ) =
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ),
−
→
???? ) =
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ),
причем понятно, что параметр −
→
???? связан функционально с параметрами
−
→
???? и
−
→
???? :
−
→
???? = ????(−
→
???? ,
−
→
???? ),
где ???? — групповая операция.
Множество преобразований −
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ) называется группой Ли,
если
1. Операция умножения есть композиция двух преобразований, причем
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ),
−
→
???? ) =
−
→
???? (−
→
???? , ????(−
→
???? ,
−
→
???? ))
2. Тождественное преобразование принадлежит рассматриваемому мно- жеству, то есть существует единица группы −
→
???? , размерность которой сов- падает с размерностью параметра, такая, что
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ) = −
→
????
3. Для любого −
→
???? существует обратный элемент −
→
????
−1
:
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ), −
→
????
−1
) = −
→
????
4.
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ) — аналитическая функция в некоторой окрестности единицы группы −
→
???? и произвольной точки −
→
???? .
Понятно, что группа Ли является группой. Действительно, она обладает первыми тремя свойствами группы, а из курса математического анализа известно, что композиция отображений ассоциативна.
Группами Ли являются, например, ????-параметрическая группа трансля- ций (−
→
????
′
= −
→
???? +−
→
???? , −
→
???? ∈ R
????
, −
→
???? ∈ R
????
), преобразования Галилея и Лоренца.
57
2.6.2
Однопараметрические группы Ли. Теорема един- ственности.
Здесь и далее будем рассматривать группы Ли с вещественным парамет- ром (???? ∈ R). Такие группы Ли называют однопараметрическими. Сдела- ем замену переменных ???? → ???? = ???? − ????. При такой замене тождественному преобразованию соответствует ???? = 0 (
−
→
???? (−
→
???? , ???? = 0) = −
→
???? ).
Разложим уравнение группы по степеням ???? в окрестности ???? = 0:
−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , ????) = −
→
???? +
????
−
→
???? (−
→
???? , ????)
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
???? + . . . ,
где
????
−
→
???? (−
→
???? , ????)
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
= −
→
???? (−
→
???? )
— ядро группы.
Теорема единственности: для восстановления группы достаточно знать ее ядро.
Доказательство
Рассмотрим малую вариацию параметра группы, приводящую и к малой вариации точки −
→
???? , и воспользуемся сначала третьим, а затем первым свойствами группы Ли:
−
→
????
′
+ ????−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , ???? + ????????) =
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
????
′
, ????
−1
), ???? + ????????) =
=
−
→
???? (−
→
????
′
, ????(????
−1
, ???? + ????????))
Разложим групповую операцию в ряд по степеням ????????:
????(????
−1
, ???? + ????????) = ????(????
−1
, ????) +
????????(????
1
, ????
2
)
????????
2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
1
= ????
−1
????
2
=
????
???????? + . . .
Первое слагаемое обращается в ноль, что непосредственно следует из третьего свойства группы Ли, поэтому обозначив
58
????????(????
1
, ????
2
)
????????
2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
1
= ????
−1
????
2
=
????
= Γ(????),
получим, раскладывая функцию
−
→
???? в ряд по ????????
−
→
????
′
+ ????−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
????
′
, Γ(????)???????? + . . .) = −
→
????
′
+ −
→
???? (−
→
????
′
)Γ(????)???????? + . . .
Переходя к пределу при ???????? → 0, получаем
????−
→
????
′
????????
= −
→
???? (−
→
????
′
)Γ(????)
Так как параметр произвольный, то группа −
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , ????) может быть получена как решение полученной задачи Коши с начальным условием
−
→
????
′
⃒
⃒
⃒
????=0
= −
→
???? . Единственность решения следует из теоремы о существова- нии и единственности решения задачи Коши.
Введем замену ???? → ???? , где
???? =
????
ˆ
0
Γ(????)????????
— канонический параметр. Теперь найденное дифференциальное урав- нение приобретает вид
????−
→
????
′
????????
= −
→
???? (−
→
????
′
),
−
→
????
′
(0) = −
→
???? ,
правая часть которого определяется только ядром группы. Решая полу- ченное уравнение, мы восстанавливаем группу полностью с точностью до указанной замены параметра.
Теорема доказана.
Доказанная теорема означает, что между однопараметрическими груп- пами Ли и автономными дифференциальными уравнениями установлено взаимно однозначное соответствие.
59
2.6.3
Ряд Ли. Инвариант группы.
Рассмотрим некоторую скалярную функцию ???? (−
→
???? ). В окрестности ???? = 0
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? + ????−
→
???? (−
→
???? ) + . . .) = ???? (−
→
???? ) +
????????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
???? + . . . =
= ???? (−
→
???? ) + ????
∑︁
????
????
????????
????????
????
+ . . . ,
где
∑︁
????
????
????
????????
????
= ????
— инфинитезимальный оператор.
Пусть теперь группа Ли задана через канонический параметр ???? :
−
→
????
′
= −
→
???? + ???? −
→
???? (−
→
???? ) + . . .
Ей по теореме единственности эквивалентна система
????−
→
????
′
????????
= −
→
???? (−
→
????
′
)
Для исследуемой скалярной функции имеем
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? + ???? −
→
???? (−
→
???? ) + . . .) ≡ ˜
???? (−
→
???? , ???? )
Найдем производную от этой функции по параметру:
???????? (−
→
????
′
)
????????
=
???? ˜
????
????????
=
∑︁
????????
????????
′
????
????????
′
????
????????
=
∑︁
????
????
????????
????????
′
????
= ???? ???? (−
→
????
′
)
Аналогично
????
2
???? (−
→
????
′
)
????????
2
=
????
2
˜
????
????????
2
= ????
2
???? (−
→
????
′
)
60
????????
2
+
+
(︁∑︁
????
????
˙
????
????
− ????
1
)︁
????????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
=
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
− ????
2
????????
2
+ ????
1
????????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
???????? =
=
[︁∑︁
????
????
????????
????
− ℋ????????
]︁
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????
— полная вариация действия.
2.4
Вариационный принцип Гамильтона.
Рассмотрим задачу с фиксированными концами, то есть когда начальные и конечные точки членов семейства при варьировании одинаковы:
−
→
???? (????
1
, ????) = −
→
????
1
,
−
→
???? (????
2
, ????) = −
→
????
2
Выше, при выводе выражения для полной вариации действия, было по- лучено, что
???????? = ????
2
????????
2
− ????
1
????????
1
+
∑︁
????
????
????????
????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
2
????
1
+
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????,
52
но в задаче с фиксированными концами ????????
2
= ????????
1
= ????????
????
= 0, поэтому в такой задаче полная вариация действия принимает более простой вид
???????? =
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????
Если при некотором ???? путь (траектория) −
→
???? (????, ????) удовлетворяет уравне- ниям Лагранжа с заданным лагранжианом ????, то такой путь называется прямым. Остальные пути называются окольными.
Если в поставленной задаче имеется более одного прямого пути, то точ- ки пересечения прямых путей (в том числе и на концах) называются сопряженными кинетическими фокусами.
Вариационный принцип Гамильтона: путь является прямым то- гда и только тогда, когда при любом его варьировании в задаче с фик- сированными концами, выполняется
????????(0) = 0
Доказательство
Необходимость
Пусть некоторый путь −
→
???? (????) — прямой. Проварьируем его при фикси- рованных концах (теперь −
→
???? (????) = −
→
???? (????, 0)). Прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом ????, поэтому
????????(0) =
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
⏟
⏞
0
????????
????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
= 0
Достаточность
Пусть при произвольном варьировании некоторой траектории
????????(0) =
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
= 0 53
2
= ????????
1
= ????????
????
= 0, поэтому в такой задаче полная вариация действия принимает более простой вид
???????? =
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????
Если при некотором ???? путь (траектория) −
→
???? (????, ????) удовлетворяет уравне- ниям Лагранжа с заданным лагранжианом ????, то такой путь называется прямым. Остальные пути называются окольными.
Если в поставленной задаче имеется более одного прямого пути, то точ- ки пересечения прямых путей (в том числе и на концах) называются сопряженными кинетическими фокусами.
Вариационный принцип Гамильтона: путь является прямым то- гда и только тогда, когда при любом его варьировании в задаче с фик- сированными концами, выполняется
????????(0) = 0
Доказательство
Необходимость
Пусть некоторый путь −
→
???? (????) — прямой. Проварьируем его при фикси- рованных концах (теперь −
→
???? (????) = −
→
???? (????, 0)). Прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом ????, поэтому
????????(0) =
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
⏟
⏞
0
????????
????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
= 0
Достаточность
Пусть при произвольном варьировании некоторой траектории
????????(0) =
????
2
ˆ
????
1
∑︁
(︂ ????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
)︂
????????
????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
= 0 53
Так как варьирование, по условию теоремы, произвольное, то есть ????????
????
—
произвольные и независимые, то
????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
= 0,
то есть траектория, которую мы варьировали, удовлетворяет уравнениям
Лагранжа, а значит, является прямым путем.
Теоерма доказана.
Если на прямом пути нет кинетических фокусов, то действие по Гамиль- тону на прямом пути имеет минимум. Поэтому принцип Гамильтона ино- гда называют принципом наименьшего действия.
2.5
Преобразование лагранжиана при замене координат и времени.
Рассмотрим уравнения Лагранжа в некоторой системе {−
→
???? , ????}
????????
????????
????
−
????
????????
????????
???? ˙
????
????
= 0
и сделаем замену переменных {−
→
???? , ????} → {−
→
????
′
, ????
′
}:
{︃
−
→
???? = −
→
???? (−
→
????
′
, ????
′
)
???? = ????(−
→
????
′
, ????
′
)
Запишем выражение для действия по Гамильтону в старых переменных и выразим его в новых переменных:
???? =
????
2
ˆ
????
1
????(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)???????? =
????
′
2
ˆ
????
′
1
????
[︁
−
→
???? (−
→
????
′
, ????
′
), ˙
−
→
???? (−
→
????
′
, ˙
−
→
????
′
, ????
′
), ????(−
→
????
′
, ????
′
)
]︁
????????
????????
′
????????
′
Здесь
54
˙
????
????
=
????????
????
????????
′
+
∑︀
????
????????
????
????????
′
????
˙
????
′
????
????????
????????
′
+
∑︀
????
????????
????????
′
????
˙
????
′
????
,
˙
????
′
????
=
????????
′
????
????????
′
,
????????
????????
′
=
????????
????????
′
+
∑︁
????
????????
????????
′
????
˙
????
′
????
Для образа прямого пути выполняется ???????? = 0 (где ???? выражено в новых переменных), поэтому, в силу принципа Гамильтона, образ прямого пу- ти есть прямой путь, то есть он удовлетворяет уравнениям Лагранжа в новых переменных с новым лагранжианом
????
′
= ????
????????
????????
′
Значит, при любой невырожденной замене координат и времени уравне- ния Лагранжа сохраняют форму, то есть они ковариантны по отноше- нию к этой замене.
Отметим, что функция Лагранжа обладает калибровочной инва- риантностью, а именно, если добавить к функции Лагранжа полную производную по времени от произвольной гладкой функции времени и обобщенных координат, то уравнения Лагранжа не изменятся. Действи- тельно, если
????
′
= ???? +
????Φ(????, −
→
???? )
????????
,
то
????
′
= ???? + Φ(????
2
, −
→
????
2
) − Φ(????
1
, −
→
????
1
),
поэтому
????????
′
= ????????,
то есть прямые пути систем с такими Лагранжианами совпадают. Это означает, что зная множество путей, по которым может двигаться систе- ма, нельзя однозначно восстановить лагранжиан.
2.6
Основы теории групп Ли.
Произвольное множество ???? называется группой, если
55
1. На множестве ???? определена операция умножения «∘», которая любым двум элементам ???? ∈ ????, ???? ∈ ????, взятым в определенном порядке, ставит в соответствие единственный элемент ???? ∈ ????:
???? ∘ ???? = ????
2. Существует единица группы ????:
???? ∘ ???? = ???? ∘ ???? = ???? ∀???? ∈ ????
3. Для любого ???? ∈ ???? существует обратный элемент ????
−1
:
????
−1
∘ ???? = ???? ∘ ????
−1
= ????
4. Операция умножения на этом множестве ассоциативна:
???? ∘ (???? ∘ ????) = (???? ∘ ????) ∘ ????
2.6.1
Понятие группы Ли.
Рассмотрим множество преобразований ????-мерного вещественного ариф- метического пространства в себя:
−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? )
Переход от одного преобразования к другому осуществляется изменени- ем параметра −
→
???? ∈ R
????
Выберем в качестве операции умножения, вводимой на множестве пре- образований −
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ), композицию двух преобразований, причем:
если после преобразования −
→
???? → −
→
????
′
с некоторым фиксированным −
→
????
выполняется преобразование −
→
????
′
→ −
→
????
′′
с некоторым фиксированным
−
→
???? :
−
→
????
′′
=
−
→
???? (−
→
????
′
,
−
→
???? ),
то, поскольку операция задана так, что она не должна выходить за пре- делы исходного множества, то должно выполняться
56
−
→
????
′′
=
−
→
???? (−
→
????
′
,
−
→
???? ) =
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ),
−
→
???? ) =
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ),
причем понятно, что параметр −
→
???? связан функционально с параметрами
−
→
???? и
−
→
???? :
−
→
???? = ????(−
→
???? ,
−
→
???? ),
где ???? — групповая операция.
Множество преобразований −
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ) называется группой Ли,
если
1. Операция умножения есть композиция двух преобразований, причем
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ),
−
→
???? ) =
−
→
???? (−
→
???? , ????(−
→
???? ,
−
→
???? ))
2. Тождественное преобразование принадлежит рассматриваемому мно- жеству, то есть существует единица группы −
→
???? , размерность которой сов- падает с размерностью параметра, такая, что
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ) = −
→
????
3. Для любого −
→
???? существует обратный элемент −
→
????
−1
:
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ), −
→
????
−1
) = −
→
????
4.
−
→
???? (−
→
???? , −
→
???? ) — аналитическая функция в некоторой окрестности единицы группы −
→
???? и произвольной точки −
→
???? .
Понятно, что группа Ли является группой. Действительно, она обладает первыми тремя свойствами группы, а из курса математического анализа известно, что композиция отображений ассоциативна.
Группами Ли являются, например, ????-параметрическая группа трансля- ций (−
→
????
′
= −
→
???? +−
→
???? , −
→
???? ∈ R
????
, −
→
???? ∈ R
????
), преобразования Галилея и Лоренца.
57
2.6.2
Однопараметрические группы Ли. Теорема един- ственности.
Здесь и далее будем рассматривать группы Ли с вещественным парамет- ром (???? ∈ R). Такие группы Ли называют однопараметрическими. Сдела- ем замену переменных ???? → ???? = ???? − ????. При такой замене тождественному преобразованию соответствует ???? = 0 (
−
→
???? (−
→
???? , ???? = 0) = −
→
???? ).
Разложим уравнение группы по степеням ???? в окрестности ???? = 0:
−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , ????) = −
→
???? +
????
−
→
???? (−
→
???? , ????)
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
???? + . . . ,
где
????
−
→
???? (−
→
???? , ????)
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
= −
→
???? (−
→
???? )
— ядро группы.
Теорема единственности: для восстановления группы достаточно знать ее ядро.
Доказательство
Рассмотрим малую вариацию параметра группы, приводящую и к малой вариации точки −
→
???? , и воспользуемся сначала третьим, а затем первым свойствами группы Ли:
−
→
????
′
+ ????−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , ???? + ????????) =
−
→
???? (
−
→
???? (−
→
????
′
, ????
−1
), ???? + ????????) =
=
−
→
???? (−
→
????
′
, ????(????
−1
, ???? + ????????))
Разложим групповую операцию в ряд по степеням ????????:
????(????
−1
, ???? + ????????) = ????(????
−1
, ????) +
????????(????
1
, ????
2
)
????????
2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
1
= ????
−1
????
2
=
????
???????? + . . .
Первое слагаемое обращается в ноль, что непосредственно следует из третьего свойства группы Ли, поэтому обозначив
58
????????(????
1
, ????
2
)
????????
2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
1
= ????
−1
????
2
=
????
= Γ(????),
получим, раскладывая функцию
−
→
???? в ряд по ????????
−
→
????
′
+ ????−
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
????
′
, Γ(????)???????? + . . .) = −
→
????
′
+ −
→
???? (−
→
????
′
)Γ(????)???????? + . . .
Переходя к пределу при ???????? → 0, получаем
????−
→
????
′
????????
= −
→
???? (−
→
????
′
)Γ(????)
Так как параметр произвольный, то группа −
→
????
′
=
−
→
???? (−
→
???? , ????) может быть получена как решение полученной задачи Коши с начальным условием
−
→
????
′
⃒
⃒
⃒
????=0
= −
→
???? . Единственность решения следует из теоремы о существова- нии и единственности решения задачи Коши.
Введем замену ???? → ???? , где
???? =
????
ˆ
0
Γ(????)????????
— канонический параметр. Теперь найденное дифференциальное урав- нение приобретает вид
????−
→
????
′
????????
= −
→
???? (−
→
????
′
),
−
→
????
′
(0) = −
→
???? ,
правая часть которого определяется только ядром группы. Решая полу- ченное уравнение, мы восстанавливаем группу полностью с точностью до указанной замены параметра.
Теорема доказана.
Доказанная теорема означает, что между однопараметрическими груп- пами Ли и автономными дифференциальными уравнениями установлено взаимно однозначное соответствие.
59
2.6.3
Ряд Ли. Инвариант группы.
Рассмотрим некоторую скалярную функцию ???? (−
→
???? ). В окрестности ???? = 0
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? + ????−
→
???? (−
→
???? ) + . . .) = ???? (−
→
???? ) +
????????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????=0
???? + . . . =
= ???? (−
→
???? ) + ????
∑︁
????
????
????????
????????
????
+ . . . ,
где
∑︁
????
????
????
????????
????
= ????
— инфинитезимальный оператор.
Пусть теперь группа Ли задана через канонический параметр ???? :
−
→
????
′
= −
→
???? + ???? −
→
???? (−
→
???? ) + . . .
Ей по теореме единственности эквивалентна система
????−
→
????
′
????????
= −
→
???? (−
→
????
′
)
Для исследуемой скалярной функции имеем
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? + ???? −
→
???? (−
→
???? ) + . . .) ≡ ˜
???? (−
→
???? , ???? )
Найдем производную от этой функции по параметру:
???????? (−
→
????
′
)
????????
=
???? ˜
????
????????
=
∑︁
????????
????????
′
????
????????
′
????
????????
=
∑︁
????
????
????????
????????
′
????
= ???? ???? (−
→
????
′
)
Аналогично
????
2
???? (−
→
????
′
)
????????
2
=
????
2
˜
????
????????
2
= ????
2
???? (−
→
????
′
)
60
и так далее. Используя полученные соотношения и раскладывая функ- цию в ряд Тейлора, получим
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? , ???? ) = ???? (−
→
???? ) + ????
????????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
???? =0
+
????
2 2!
????
2
????
????????
2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
???? =0
+ . . . =
= ???? + ???? ???? ???? +
????
2 2!
????
2
???? + . . . = ????
???? ????
???? (−
→
???? )
Полученный ряд называется рядом Ли.
Функция ???? (−
→
???? ) называется инвариантом группы, если она не из- меняется группой:
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? )
Подставляя определение инварианта группы в ряд Ли, получаем экви- валентное определение: ???? (−
→
???? ) — инвариант группы, если
???? ???? (−
→
???? ) = 0 2.6.4
Дифференциальный и интегральный инвариан- ты группы.
Выясним, как изменяется группой функция ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????).
Пусть в пространстве (−
→
???? , ????) действует группа
−
→
????
′
= −
→
???? + ???? −
→
???? (????, −
→
???? ) + . . .
????
′
= ???? + ???? ????(????, −
→
???? ) + . . . ,
тогда
˙
−
→
????
′
=
????−
→
????
′
????????
′
=
????−
→
????
′
/????????
????????
′
/????????
=
˙
−
→
???? + ???? ˙
−
→
???? + . . .
1 + ???? ˙
???? + . . .
= ˙
−
→
???? + ???? ( ˙
−
→
???? − ˙
−
→
???? ˙
????) + . . . ,
61
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? , ???? ) = ???? (−
→
???? ) + ????
????????
????????
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
???? =0
+
????
2 2!
????
2
????
????????
2
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
???? =0
+ . . . =
= ???? + ???? ???? ???? +
????
2 2!
????
2
???? + . . . = ????
???? ????
???? (−
→
???? )
Полученный ряд называется рядом Ли.
Функция ???? (−
→
???? ) называется инвариантом группы, если она не из- меняется группой:
???? (−
→
????
′
) = ???? (−
→
???? )
Подставляя определение инварианта группы в ряд Ли, получаем экви- валентное определение: ???? (−
→
???? ) — инвариант группы, если
???? ???? (−
→
???? ) = 0 2.6.4
Дифференциальный и интегральный инвариан- ты группы.
Выясним, как изменяется группой функция ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????).
Пусть в пространстве (−
→
???? , ????) действует группа
−
→
????
′
= −
→
???? + ???? −
→
???? (????, −
→
???? ) + . . .
????
′
= ???? + ???? ????(????, −
→
???? ) + . . . ,
тогда
˙
−
→
????
′
=
????−
→
????
′
????????
′
=
????−
→
????
′
/????????
????????
′
/????????
=
˙
−
→
???? + ???? ˙
−
→
???? + . . .
1 + ???? ˙
???? + . . .
= ˙
−
→
???? + ???? ( ˙
−
→
???? − ˙
−
→
???? ˙
????) + . . . ,
61
где последнее преобразование есть применение формулы Тейлора в окрест- ности ???? = 0. Теперь видно, что можно считать, что группа действует не в пространстве (????, −
→
???? ), а в пространстве (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????) с ядрами −
→
???? , ???? и
−
→
???? = ˙
−
→
???? − ˙
−
→
???? ˙
????. Продолженная таким образом группа называется груп- пой первого продолжения. Оператор этой группы
(1)
???? = ????
????
????????
+
∑︁
????
????
????
????????
????
+
∑︁ (︁
˙
????
????
− ˙????
????
˙
????
)︁
????
???? ˙
????
????
Функция ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????) называется дифференциальным инвариан- том группы, если она не меняется под действием этой группы:
???? (−
→
????
′
, ˙
−
→
????
′
, ????
′
) = ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)
Используя ряд Ли, получаем эквивалентное определение: ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????) —
инвариант группы, если
(1)
???? ???? = 0
Рассмотрим функционал
???? =
????
2
ˆ
????
1
Φ(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)????????
Пусть в пространстве (−
→
???? , ????) действует та же группа, как и при исследо- вании функции ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????). Рассматриваемый функционал называется интегральным инвариантом группы, если он не меняется под дей- ствием этой группы:
????
′
=
????
′
2
ˆ
????
′
1
Φ(−
→
????
′
, ˙
−
→
????
′
, ????
′
)????????
′
= ????
Рассмотрим малое приращение параметра группы:
62
→
???? ), а в пространстве (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????) с ядрами −
→
???? , ???? и
−
→
???? = ˙
−
→
???? − ˙
−
→
???? ˙
????. Продолженная таким образом группа называется груп- пой первого продолжения. Оператор этой группы
(1)
???? = ????
????
????????
+
∑︁
????
????
????
????????
????
+
∑︁ (︁
˙
????
????
− ˙????
????
˙
????
)︁
????
???? ˙
????
????
Функция ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????) называется дифференциальным инвариан- том группы, если она не меняется под действием этой группы:
???? (−
→
????
′
, ˙
−
→
????
′
, ????
′
) = ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)
Используя ряд Ли, получаем эквивалентное определение: ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????) —
инвариант группы, если
(1)
???? ???? = 0
Рассмотрим функционал
???? =
????
2
ˆ
????
1
Φ(−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????)????????
Пусть в пространстве (−
→
???? , ????) действует та же группа, как и при исследо- вании функции ???? (−
→
???? , ˙
−
→
???? , ????). Рассматриваемый функционал называется интегральным инвариантом группы, если он не меняется под дей- ствием этой группы:
????
′
=
????
′
2
ˆ
????
′
1
Φ(−
→
????
′
, ˙
−
→
????
′
, ????
′
)????????
′
= ????
Рассмотрим малое приращение параметра группы:
62